2022年數學分析教案_(華東師大版)第一章實數集與函數

1、學習必備歡迎下載第一章 實數集與函數導言數學分析課程簡介 2學時 一、數學分析 mathematical analysis簡介:1. 背景:從切線、面積、運算sin 32、實數定義等問題引入 .2. 極限 limit 變量數學的基本運算：3. 數學分析的基本內容： 數學分析以極限為基本思想和基本運算討論變實值函數. 主要討論微分 differential和積分 integration兩種特殊的極限運算 , 利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面討論函數,并依據這些運算引進并討論 一些非初等函數 .數學分析基本上是連續(xù)函數的微積分理論.微積運算是高等數學的基本運算.數學分析與微積分 calculus

2、的區(qū)分.二、數學分析的形成過程：1. 孕育于古希臘時期：在我國，很早就有極限思想 .紀元前三世紀 , archimedes 就有了積分思想 .2. 十七世紀以前是一個漫長的醞釀時期 , 是微積分思想的進展、成果的積存時期.3. 十七世紀下半葉到十九世紀上半葉 微積分的創(chuàng)建時期 .4. 十九世紀上半葉到二十世紀上半葉 分析學理論的完善和重建時期：三、數學分析課的特點 :規(guī)律性很強 ,很細致,很深刻;先難后易 ,是說開頭四章有肯定的難度 ,倘能努力學懂前四章 或前四章的,后面的學習就會簡潔一些 ;只要在課堂上用心聽講 ,一般是可以聽得懂的 ,但即便能聽懂 ,習題仍是難以順當 完成.這是由于數學分析

3、技巧性很強 ,只明白基本的理論和方法 ,不輔以相應的技巧 ,是很難順當應用理論和方法的 .論證訓練是數學分析課基本的 , 也是重要的內容之一 ,也是最難的內容之一 .一般懂得了證明后 ,能把證明精確、嚴密、簡練地用數學的語言和符號書寫出來，好像是更難的一件事 .因此,懂得證明的思維方式 ,學習基本的證明方法 ,把握表達和書寫證明的一般語言和格 式,是數學分析教學貫穿始終的一項任務 .有鑒于此 ,建議的學習方法是 :預習,課堂上仔細聽講 ,必需記筆記 ,但要留意以聽為主 ,力爭在課堂上能聽懂七、八成 .課后不要急于完成作業(yè) , 先仔細整理筆記 ,補充課堂講授中太簡或跳過的推導 ,閱讀教科書 ,學

4、習證明或推導的表達和書寫 .基本把握了課堂教學內容后 ,再去做作業(yè) .在學習中 , 要養(yǎng)成多想問題的習慣 .四、課堂講授方法 :1. 關于教材及參考書 : 這是高校與中學教學不同的地方 ,本課程主要從以下教科書中取材 :1 華東師范高校數學系編，數學分析，高等訓練出版社，2001；2 劉玉璉 傅沛仁 編，數學分析講義，高等訓練出版社，1992；3 謝惠民，惲自求 等 數學分析習題課講義，高等訓練出版社，2003；4 馬振民，數學分析的方法與技巧選講，蘭州高校出版社， 1999；5 林源渠，方企勤 數學分析解題指南，北京高校出版社， 2003.2. 本課程按 1 的規(guī)律次序并在其中取材 . 本課

5、程為適應教學改革的要求， 只介紹數學分析最基本的內容， 并加強實踐環(huán)節(jié)， 留意同學的創(chuàng)新才能的培育； 帶星號的內容略講或刪去，相應的內容作為選修課將在數學分析選講課開設.3. 內容多, 課時緊:高校課堂教學與中學不同的是 ,這里每次課介紹的內容許多,因此,內容重復的次數少 ,講課只留意思想性與基本思路 ,具體內容或推導,特殊是同類型或較簡的推理論證及推導運算,可能講得很簡 ,留給課后的學習任務一般很重 .4. 講解的重點 : 概念的意義與懂得 , 幾何直觀 , 理論的體系 , 定理的意義、條件、結論 . 定理證明的分析與思路 , 具有代表性的證明方法 , 解題的方法與技巧 . 某些精細概念之間

6、的本質差別 .五. 要求、輔導及考試：1. 學習方法 : 盡快適應高校的學習方法 ,盡快進入角色 .課堂上以聽為主 , 但要做課堂筆記 . 課后肯定要仔細復習消化 ,補充筆記 . 一般課堂教學與課外復習的時間比例應為: 3 ；對將來從事數學教學工作的師范高校本科生來說 , 課堂聽講的內容應當更為豐富: 要仔細評判老師的課堂教學 , 把老師在課堂上的勝利與失敗變?yōu)樽约旱捏w會 . 這對將來的教學工作是很有用的 .2. 作業(yè):作業(yè)以練習題中劃線以上的部分習題為主要內容.大體上每周收一次作業(yè) ,一次收清 .每次重點檢查作業(yè)總數的三分之一 .作業(yè)的收交和完成情形有一個較具體的登記 ,缺交作業(yè)將直接影響學

7、期總評成果 . 作業(yè)要按數學排版格式書寫工整 .3. 輔導:大體每周一次 ,第一學期要求輔導時不缺席 .4. 考試:按教學大綱的要求 ,只以最基本的內容進行考試 ,大體上考課堂教學和所布置作業(yè)的內容 ,包括1 中的典型例題 .考試題為標準化試題， 理論證明題逐步增多 .第一章 實數集與函數教學目的：1. 使同學把握實數的概念， 建立起實數集確界的清楚概念； 2. 使同學深刻懂得函數的概念， 熟識與函數性態(tài)有關的一些常見術語； 要求同學： 懂得并嫻熟運用實數的有序性、 稠密性與封閉性； 把握鄰域的概念； 牢記并嫻熟運用實數肯定值的有關性質以及幾個常見的不等式；懂得實數確界的定義及確界原理， 并在

8、有關命題證明中正確地加以應用； 深刻懂得函數的定義以及復合函數、 反函數、有界函數、單調函數和初等函數的定義， 熟識函數的各種表示方法； 牢記基本初等函數的定義、性質及其圖象，會求函數的定義域，會分析函數的復合關系；教學重點： 函數、確界的概念及其有關性質；教學時數： 10 學時§ 1實數（2 學時） 教學目的： 使同學把握實數的基本性質 教學重點：1. 懂得并嫻熟運用實數的有序性、稠密性和封閉性；2. 牢記并嫻熟運用實數肯定值的有關性質以及幾個常見的不等式（它們是分析論證的重要工具）教學難點： 實數集的概念及其應用 教學方法： 講授（部分內容自學） 一復習引新：1. 實數集： 回憶

9、中學中關于實數集的定義 .2. 四就運算封閉性 :3. 三歧性即有序性 :4. rrchimedes 性:5. 稠密性 :有理數和無理數的稠密性 ,給出稠密性的定義 .6. 實數集的幾何表示 數軸:7. 兩實數相等的充要條件 :8. 區(qū)間和鄰域 :二.講授新課：（一） .幾個重要不等式 :1. 肯定值不等式 :定義1p3的六個不等式 .2. 其他不等式 : 均值不等式 :對記算術平均值 幾何平均值 調和平均值 有平均值不等式 :等號當且僅當時成立. bernoulli不等式: 在中學已用數學歸納法證明過 有不等式當且,且時,有嚴格不等式證： 由且 利用二項綻開式得到的不等式 :對由二項綻開式有

10、上式右端任何一項 .作業(yè)： （）（）、（）§ 2數集 確界原理 （ 4 時）教學目的 ：使同學把握確界原理，建立起實數確界的清楚概念；教學要求：1. 把握鄰域的概念；2. 懂得實數確界的定義及確界原理，并在有關命題的證明中正確地加以運用；教學重點 ：確界的概念及其有關性質（確界原理） ；教學難點 ：確界的定義及其應用；教學方法 ：講授為主；一、區(qū)間與鄰域二、有界數集與確界原理 :1. 有界數集 :定義 上、下有界 ,有界 ， 閉區(qū)間、為有限數）、鄰域等都是有界數集，集合也是有界數集 .無界數集 :定義,等都是無界數集 ,集合也是無界數集 .2. 確界: 給出直觀和刻畫兩種定義 .例

11、1就就例 2非空有界數集的上（或下）確界是唯獨的.例 3設 和 是非空數集，且有就有.例 4設 和 是非空數集 .如對和都有就有證是 的上界,是 的下界,例 5和 為非空數集 ,試證明:證有或由和分別是和 的下界, 有或即是數集的下界,又的下界就是的下界,是 的下界,是的下界,同理有于是有. 綜上, 有.3.數集與確界的關系 :釋.確界不肯定屬于原集合 .以例 1為例做解4.確界與最值的關系 :設為數集.的最值必屬于,但確界未必 , 確界是一種臨界點 .非空有界數集必有確界 見下面的確界原理 ,但未必有最值 .如存在,必有對下確界有類似的結論 .三、確界原理 : th1.1 確界原理 設s 為

12、非空數集；如 s 有上界，就 s必有上確界；如 s 有下界，就 s必有下確界；作業(yè)：；§ 3函數概念 2學時 教學目的 ：使同學深刻懂得函數概念；教學要求 ：1. 深刻懂得函數的定義以及復合函數、反函數和初等函數的定義，熟識函數的各種表示方法；2. 牢記基本初等函數的定義、性質及其圖象；會求初等函數的存在域，會分析初等函數的復合關系；教學重點 ：函數的概念；教學難點 ：初等函數復合關系的分析；一、函數 :1.函數:1p10 11 的四點說明 .2. 定義域 :定義域和存在域 .3. 函數的表示法 :4. 反函數 :一一對應 , 反函數存在定理 .5. 函數的代數運算 :二、分段函數 :以函數和為例介紹概念 .例 1去掉肯定值符號 .例 2求例 3設求答案為 8三、函數的復合 :例 4求并求定義域.例 5就a. b.c.d.4p407 e62.四、初等函數 :1. 基本初等函數 :2. 初等函數 :3. 初等函數的幾個特例 :設函數和都是初等函數 ,就是初等函數 ,由于和都是初等函數 ,由于,.冪指函數是初等函數 , 由于作業(yè)：p153；4.23； 5. 2； 7: 3；11§ 4 具有某些特性的函數 2學時 教學目的