2022年數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練五年級(jí)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載教學(xué)系列之七：等差數(shù)列求和（ 1教學(xué)目標(biāo)：1、讓同學(xué)明白數(shù)學(xué)家高斯的生平，感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱忱；2、在趣味數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，提高同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題的才能；教學(xué)過(guò)程：一、高斯的故事德國(guó)聞名大科學(xué)家高斯1777 1855 誕生在一個(gè)貧困的家庭；高斯在仍不會(huì)講話就自己學(xué)運(yùn)算，在三歲時(shí)有一天晚上他看著父親在算工錢(qián)時(shí)，仍訂正父親運(yùn)算的錯(cuò)誤；長(zhǎng)大后他成為當(dāng)代最杰出的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家；他在物理的電磁學(xué)方面有一些奉獻(xiàn)，現(xiàn)在電磁學(xué)的一個(gè)單位就是用他的名字命名；數(shù)學(xué)家們就稱(chēng)呼他為“數(shù)學(xué)王子”；他八歲時(shí)進(jìn)入鄉(xiāng)村學(xué)校讀書(shū)；教數(shù)學(xué)的老師是一個(gè)從城里來(lái)的人，

2、覺(jué)得在一個(gè)窮鄉(xiāng)僻壤教幾個(gè)小猢猻讀書(shū)，真是大材小用；而他又有些偏見(jiàn)： 窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子念書(shū)不必仔細(xì)，假如有機(jī)會(huì)仍應(yīng)當(dāng)懲罰他們，使自己在這枯燥的生活里添一些樂(lè)趣；這一天正是數(shù)學(xué)老師心情低落的一天；同學(xué)們看到老師那抑郁的臉孔， 心里畏縮起來(lái)，知道老師又會(huì)在今日捉這些同學(xué)懲罰了；“你們今日替我算從1 加 2 加 3 始終到 100 的和；誰(shuí)算不出來(lái)就罰他不能回家吃午飯；”老師講了這句話后就一言不發(fā)的拿起一本小說(shuō)坐在椅子上看去了；教室里的小伴侶們拿起石板開(kāi)頭運(yùn)算：“1 加 2 等于 3， 3 加 3 等于 6，6 加 4 等于 10”一些小伴侶加到一個(gè)數(shù)后就擦掉石板上的結(jié)果，再加

3、下去，數(shù)越來(lái)越大，很不好算；有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心、額 上滲出了汗來(lái)；仍不到半個(gè)小時(shí)，小高斯拿起了他的石板走上前去；“老師，答案是不是這樣？”學(xué)習(xí)必備歡迎下載老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說(shuō)：“去，回去再算！錯(cuò)了；”他想不行能這么快就會(huì)有答案了；可是高斯卻站著不動(dòng)，把石板伸向老師面前：“老師！我想這個(gè)答案是對(duì)的；”數(shù)學(xué)老師原來(lái)想怒吼起來(lái)，可是一看石板上整整齊齊寫(xiě)了這樣的數(shù)： 5050，他詫異起來(lái)，由于他自己曾經(jīng)算過(guò)，得到的數(shù)也是5050，這個(gè) 8 歲的小鬼怎么這樣快就得到了這個(gè)數(shù)值呢？高斯說(shuō)明他發(fā)覺(jué)的一個(gè)方法，這個(gè)方法就是古時(shí)希臘人和中國(guó)人用來(lái) 運(yùn)算級(jí)數(shù) 1+2+3+ +n 的方法；

4、高斯的發(fā)覺(jué)使老師覺(jué)得慚愧，覺(jué)得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點(diǎn)是不對(duì)的；他以后也仔細(xì)教起書(shū)來(lái)， 并且仍常從城里買(mǎi)些數(shù)學(xué)書(shū)自己進(jìn)修并借給高斯看；在他的勉勵(lì)下，高斯 以后便在數(shù)學(xué)上作了一些重要的爭(zhēng)論了；二、趣味數(shù)學(xué)之等差數(shù)列一 等差數(shù)列的基本學(xué)問(wèn)1.數(shù)列的基本學(xué)問(wèn)2.等差數(shù)列的基本學(xué)問(wèn)二 等差數(shù)列的項(xiàng)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1.等差數(shù)列的某一項(xiàng) =首項(xiàng) +公差×（項(xiàng)數(shù) -1 ） 例： 已知數(shù)列 2、5、8、11、14求：（ 1）它的第 10 項(xiàng)是多少？（ 2）它的第 98 項(xiàng)是多少？（ 3）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同的余數(shù)？2. 等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng) -首項(xiàng)）÷公差 +1例：

5、 已知數(shù)列 2、5、8、11、14、17，這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)？3. 小結(jié)等差數(shù)列項(xiàng)的有關(guān)規(guī)律4. 練習(xí)1、一串?dāng)?shù)： 1、3、5、7、9、 49；（ 1）它的第 21 項(xiàng)是多少 .（ 2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？2、一串?dāng)?shù)： 2、4、6、8、 2021；（ 1）它的第 25 項(xiàng)是多少 .（ 2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？3、一串?dāng)?shù)： 101 、102 、103、104 、 199；（ 1）它的第 30 項(xiàng)是多少 .（ 2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？4、一串?dāng)?shù)： 7、12、17、22 ；（ 1）它的第 60 項(xiàng)是多少 .（ 2）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同的余數(shù)？三、總結(jié)：說(shuō)說(shuō)上課后的感想學(xué)習(xí)必備歡迎下載教學(xué)系列之八：等差數(shù)

6、列求和（ 2）教學(xué)目標(biāo)：1、讓同學(xué)明白數(shù)學(xué)家斐波納契的生平，提升同學(xué)的學(xué)習(xí)愛(ài)好，激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱忱；2、在趣味數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，提高同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題的才能；教學(xué)過(guò)程：一、意大利數(shù)學(xué)家斐波那契經(jīng)過(guò) 12 世紀(jì)的傳播時(shí)期之后，初等數(shù)學(xué)在歐洲獲得了相應(yīng)的進(jìn)展在13 世紀(jì)歐洲大多數(shù)國(guó)家里，城市成為商業(yè)和手工業(yè)進(jìn)展的中心特殊是商業(yè)的進(jìn)展，帶來(lái)了相當(dāng)復(fù)雜的運(yùn)算這時(shí)的歐洲顯現(xiàn)了第一批理論數(shù)學(xué) 家意大利作為當(dāng)時(shí)的商業(yè)中心，培養(yǎng)了中世紀(jì)最杰出的教學(xué)家斐波那契；斐波那契是一個(gè)商人的兒子，早年隨父到過(guò)北非，跟從阿拉伯老師學(xué)習(xí)運(yùn)算；后來(lái)到埃及、敘利亞、希臘、西西里和法國(guó)旅行，拜望各

7、地的學(xué)者，熟識(shí)了不同國(guó)家在商業(yè)上使用的算術(shù)體系；經(jīng)過(guò)爭(zhēng)論和比較，他認(rèn)為其他數(shù)系無(wú)一能與印度阿拉伯?dāng)?shù)系相媲美；斐波那契于 1200 年回到家鄉(xiāng)，把在各地學(xué)得的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)加以總結(jié)，寫(xiě)成算盤(pán)書(shū)這是向西歐介紹印度阿拉伯?dāng)?shù)系和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的最早的著作；這本書(shū)的開(kāi)頭介紹了一些算盤(pán)學(xué)問(wèn)，而后卻偏離了這一課題；因此，書(shū)名中“算盤(pán)”一詞已失去它作為運(yùn)算工具的本意，而應(yīng)懂得為“算術(shù)”或由印度阿拉伯?dāng)?shù)系而產(chǎn)生的“算法”；斐波那契大量吸取并系統(tǒng)地總結(jié)了來(lái)自阿拉伯文獻(xiàn)的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)，改進(jìn)了歐氏幾何的某些技巧，歸納了同種類(lèi)型的方法和習(xí)題；在算術(shù)和一、二次方程的代數(shù)學(xué)方面，已成為中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)之典范；下面簡(jiǎn)要介紹一下算盤(pán)書(shū)的主要內(nèi)

8、容；算盤(pán)書(shū)共有 15 章第 1 5 章介紹印度阿拉伯?dāng)?shù)碼記數(shù)法學(xué)習(xí)必備歡迎下載及其四就運(yùn)算；第 6， 7 章介紹分?jǐn)?shù)記法及其運(yùn)算；第 8 11 章?tīng)?zhēng)論商業(yè)上有用的各種算術(shù)問(wèn)題的解法；在第 11 章?tīng)?zhēng)論的混合問(wèn)題；第 12 章的內(nèi)容最為豐富，涉及各種類(lèi)型的問(wèn)題，如各種數(shù)列的求和法：算術(shù)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、平方數(shù)數(shù)列和遞歸數(shù)列等幾何級(jí)數(shù)的求和是為解決來(lái)自埃及紙草書(shū)中的問(wèn)題，而遞歸數(shù)列的求和就顯現(xiàn)在關(guān)于家兔繁衍的問(wèn)題中：假定每對(duì)大兔每月能生一對(duì)小兔，每對(duì)小兔生長(zhǎng)兩個(gè)月就成大兔，問(wèn)在不發(fā)生死亡的條件下，由一對(duì)小兔開(kāi)頭，一年之后可繁衍成多少對(duì)兔子？這個(gè)問(wèn)題使斐波那契名垂史冊(cè)問(wèn)題的答案由以下和式給出：1 1

9、2 3 5 8 233其中從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和；這個(gè)數(shù)列現(xiàn)稱(chēng)斐波那契數(shù)列，這是在歐洲最早顯現(xiàn)的遞歸數(shù)列，它有很多重要而好玩的性質(zhì)，在以后的近 800 年中始終是很多學(xué)者爭(zhēng)論的對(duì)象；第13 章是用雙設(shè)法解線性方程；第 14 章介紹平方根和立方根的近似運(yùn)算；第15 章是問(wèn)題匯編；算盤(pán)書(shū)以它的內(nèi)容豐富、方法有效、多樣化的習(xí)題和令人信服的論證而名列 12 14 世紀(jì)數(shù)學(xué)著作之冠，對(duì)歐洲數(shù)學(xué)的進(jìn)展產(chǎn)生了重要的影響；二、趣味數(shù)學(xué)之等差數(shù)列求和1.例： 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 382.例：運(yùn)算 1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26

10、+.+ 2763.練習(xí)：（ 1） 7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（ 2） 7+11+15+19+.+403（ 3） 9+19+29+39+.+99（ 4） 1+3+5+7+.+99三、等差數(shù)列學(xué)問(wèn)總結(jié)：怎樣判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列怎樣求出等差數(shù)列的任意一項(xiàng)或項(xiàng)數(shù)怎樣求出等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和必需牢記等差數(shù)列的基本公式和重要結(jié)論學(xué)習(xí)必備歡迎下載教學(xué)系列之九：等差數(shù)列求和（ 3教學(xué)目標(biāo)：1、讓同學(xué)明白數(shù)學(xué)家韓信的生平， 感受數(shù)學(xué)魅力， 激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱忱；2、在趣味數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，提高同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題的才能；教學(xué)過(guò)程：一、韓信的故事韓

11、信是中國(guó)歷史上最出名的軍事家之一，被劉邦和呂后出于嫉妒和私心害死了；歷史上很多史家和學(xué)者為他平反，眾多的詩(shī)人為他留下大量的詩(shī)篇；環(huán)圍著韓信仍流傳了各種各樣的傳奇；在今日我們所介紹的兩就傳奇中，人們把他作為聰明的化身，就寄托著歷代人們對(duì)他的深切的憐憫和懷念；韓信分油據(jù)說(shuō)有一天，韓信騎馬走在路上，觀察兩個(gè)人正在路邊為分油發(fā)愁； 這兩個(gè)人有一只容量10 斤的簍子，里面裝滿了油；仍有一只空的罐和一只空的葫蘆，罐可裝7 斤油，葫蘆可裝3 斤油；要把這 10 斤油平分，每人5斤；但是誰(shuí)也沒(méi)有帶秤， 只能拿手頭的三個(gè)容器倒來(lái)倒去；應(yīng)當(dāng)怎樣分呢？韓信騎在立刻，明白情形以后，說(shuō)：“葫蘆歸罐罐歸簍，二人分油回 家

12、走；”說(shuō)完了，打馬就走；兩個(gè)人根據(jù)韓信的方法倒來(lái)倒去，果真把油 平均分成兩半，每人5 斤，高興奮興，各自回家；到底是怎樣倒來(lái)倒去的呢？三種容器各自裝油斤數(shù)的變化過(guò)程，可從下面的表中看出；簍107744118855罐00336670225葫蘆03030322030韓信所說(shuō)的“葫蘆歸罐”，是指把葫蘆里的油往罐里倒；“罐歸簍” 是指把罐里的油往簍里倒；通常分油要把油從大容器往小容器里倒，現(xiàn)在卻把小容器里的油往大容器里“歸”；往油葫蘆里倒油，只能得到3 斤的油量；把葫蘆里的油往罐里“歸”，“歸”到第三次，葫蘆里就顯現(xiàn)2 斤的油量；再把滿滿一罐油“歸”到簍里，騰出空來(lái)， 把葫蘆里的2 斤油“歸” 到空罐

13、里；最終再倒一葫蘆3 斤油，“歸”到罐里，就完成分油任務(wù)了；韓信點(diǎn)兵秦朝末年， 楚漢相爭(zhēng)； 一次， 韓信將 1500 名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)；苦戰(zhàn)一場(chǎng)，楚軍不敵，敗退回營(yíng)，漢軍也死傷四五百人，于是韓信整頓兵馬也返回大本營(yíng)；當(dāng)行至一山坡，忽有后軍來(lái)報(bào)，說(shuō)有楚軍騎兵追來(lái)；只見(jiàn)遠(yuǎn)方塵土飛揚(yáng)，殺聲震天；漢軍原來(lái)已非常疲乏，這時(shí)隊(duì)伍大嘩；韓信兵馬到坡頂，見(jiàn)來(lái)敵不足五百騎，便急速點(diǎn)兵迎敵；他命令士兵3 人一排，結(jié)果多出 2 名；接著命令士兵5 人一排，結(jié)果多出3 名；他又命令士兵7人一排，結(jié)果又多出2 名；韓信立刻向?qū)⑹總冃迹何臆娪?073 名勇士， 敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，肯定能打敗敵

14、人；漢軍原來(lái)就信服自己的統(tǒng)領(lǐng)，這一來(lái)更信任韓信是“神仙下凡”、“神機(jī)妙算”；于是士氣大振；一時(shí)間旌旗搖動(dòng)，鼓聲喧天，漢軍步步進(jìn)逼，楚軍亂作一團(tuán)；交戰(zhàn)不久，楚軍大敗而逃；二、趣味數(shù)學(xué)之等差數(shù)列求和應(yīng)用1. 例：在一個(gè)分成 64 小格的方板的每個(gè)格子中放入石子；假如第一格放入 2 粒，其次格放入4 粒，第 3 格放入 6 粒，第四格放入 8 粒 依次類(lèi)推， 放滿 64 格，一共要放入多少粒石子？2. 例：在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12 厘米 2，邊長(zhǎng)是 1 根火柴棍；（ 1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（ 2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？3. 練習(xí)：（ 1）麗麗學(xué)英語(yǔ)單詞，第一天學(xué)會(huì)了6 個(gè)，以后每天都比前一天多學(xué)會(huì) 1 個(gè)，最終一天學(xué)會(huì)了 16 個(gè)；麗麗在這些天中共學(xué)會(huì)了多少個(gè)單詞？（ 2）有一家電影院，共有 30 排座位，后一排都比前一排多兩個(gè)