高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題四 數(shù)列 1.4.1 等差數(shù)列、等比數(shù)列課件 理 新人教版

1、第一講等差數(shù)列、等比數(shù)列【知識(shí)回顧】【知識(shí)回顧】1.1.等差數(shù)列等差數(shù)列(1)(1)通項(xiàng)通項(xiàng)公式公式:a:an n=_=a=_=am m+_.+_.(2)(2)等差中項(xiàng)公式等差中項(xiàng)公式:2a:2an n=_(nn=_(nn* *,n2).,n2).(3)(3)前前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式:s:sn n=_=_.=_=_.a a1 1+(n-1)d+(n-1)d(n-m)d(n-m)da an-1n-1+a+an+1n+11nn(aa )21n n1nad2(4)(4)性質(zhì)性質(zhì)(n,m,(n,m,l,k,p,k,p均為正整數(shù)均為正整數(shù)):):若若m+n=m+n=l+k,+k,則則a am m+a+

2、an n=_(=_(反之不一定成立反之不一定成立););特別特別地地, ,當(dāng)當(dāng)m+n=2pm+n=2p時(shí)時(shí), ,有有a am m+a+an n=_;=_;若若aan n 、bbn n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,則則kakan n+tb+tbn n(k(k、t t是非零是非零常數(shù)常數(shù)) )是等差數(shù)列是等差數(shù)列; ;a al+a+ak k2a2ap p等差數(shù)列的等差數(shù)列的“依次每依次每m m項(xiàng)的和項(xiàng)的和”即即s sm m,s,s2m2m-s-sm m,s,s3m3m-s-s2m2m,仍是等差數(shù)列仍是等差數(shù)列. .2.2.等比數(shù)列等比數(shù)列(1)(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:a:an n

3、=_=_.=_=_.(2)(2)等比中項(xiàng)公式等比中項(xiàng)公式:a:an n2 2 =_(nn =_(nn* *,n2).,n2).(3)(3)等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式: :s sn n= =_(q=1)_(q=1)，_=_,(q1)._=_,(q1). a a1 1q qn-1n-1a am mq qn-mn-ma an-1n-1aan+1n+1nana1 11naa q1 qn1a (1 q )1 q(4)(4)性質(zhì)性質(zhì)(n,m,(n,m,l,k,p,k,p均為正整數(shù)均為正整數(shù)):):若若m+n=m+n=l+k,+k,則則a am maan n=_(=_(反之反之不一定成立

4、不一定成立););特別地特別地, ,當(dāng)當(dāng)m+n=2pm+n=2p時(shí)時(shí), ,有有a am maan n=_;=_;當(dāng)當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí), =q(, =q(公比公比););s sm m,s,s2m2m-s-sm m,s,s3m3m-s-s2m2m,(s,(sm m0)0)成等比數(shù)列成等比數(shù)列. .a alaak kss偶奇a ap p2 2【易錯(cuò)提醒】【易錯(cuò)提醒】1.1.忽略條件致誤忽略條件致誤: :應(yīng)用公式應(yīng)用公式a an n=s=sn n-s-sn-1n-1時(shí)忽略其成立的條時(shí)忽略其成立的條件件n2,nnn2,nn* *. .2.2.不能準(zhǔn)確掌握數(shù)列的單調(diào)性致誤不能準(zhǔn)確掌握數(shù)列的單調(diào)性致誤

5、: :等差數(shù)列的單調(diào)性等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差只取決于公差d d的正負(fù)的正負(fù), ,等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q,q,又要考慮首項(xiàng)又要考慮首項(xiàng). .3.3.忽略對(duì)公比的討論致誤忽略對(duì)公比的討論致誤: :求等比數(shù)列的前求等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和時(shí)項(xiàng)和時(shí), ,一一定要先討論公比定要先討論公比q q是否為是否為1,1,然后選用相應(yīng)的公式求解然后選用相應(yīng)的公式求解. .4.4.注意隱含條件注意隱含條件: :利用二次函數(shù)求利用二次函數(shù)求a an n或或s sn n的最值時(shí)的最值時(shí), ,易忽易忽略條件略條件nnnn* *. .【考題回訪】【考題回訪】1.(20161.(201

6、6全國(guó)卷全國(guó)卷)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 前前9 9項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為27,a27,a1010=8,=8,則則a a100100= =( () )a.100a.100b.99b.99c.98c.98d.97d.97【解析】【解析】選選c.c.方法一方法一: :由題意可知由題意可知, , 解得解得a a1 1=-1,d=1,=-1,d=1,所以所以a a100100=-1+99=-1+991=98.1=98.方法二方法二: :由等差數(shù)列性質(zhì)可知由等差數(shù)列性質(zhì)可知: :s s9 9= =9a= =9a5 5=27,=27,故故a a5 5=3,=3,而而a a1010=8,=8,因此公差因

7、此公差d= =1,d= =1,所以所以a a100100=a=a1010+90d=98.+90d=98.11a4d3,a9d8,1959 aa9 2a22105aa1052.(20152.(2015全國(guó)卷全國(guó)卷)設(shè)設(shè)s sn n是等差數(shù)列是等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,若若a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3,=3,則則s s5 5= =( () )a.5a.5b.7b.7c.9c.9d.11d.11【解析】【解析】選選a.aa.a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3a=3a3 3=3=3a a3 3=1,s=1,s5 5= = =5a=5a3 3=5.=5.155

8、 aa23.(20143.(2014全國(guó)卷全國(guó)卷)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為2,2,若若a a2 2, ,a a4 4,a,a8 8成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,則則aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和s sn n= =( () )a.n(n+1) b.n(n-1)a.n(n+1) b.n(n-1)c.c. d. d.n n12n n12【解析】【解析】選選a.a.因?yàn)橐驗(yàn)閐=2,ad=2,a2 2,a,a4 4,a,a8 8成等比成等比, ,所以所以a a4 42 2=a=a2 2a a8 8, ,即即(a(a2 2+2d)+2d)2 2=a=a2 2(a(a2 2+6d),+6

9、d),解得解得a a2 2=4,a=4,a1 1=2.=2.所以利用等差數(shù)所以利用等差數(shù)列的求和公式可求得列的求和公式可求得s sn n=n(n+1).=n(n+1).4.(20164.(2016江蘇高考江蘇高考) )已知已知aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列,s,sn n是其前是其前n n項(xiàng)項(xiàng)和和. .若若a a1 1+a+a2 22 2=-3,s=-3,s5 5=10,=10,則則a a9 9的值是的值是_._.【解析】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為設(shè)等差數(shù)列的公差為d,d,則由則由s s5 5=10=10得得a a3 3=2,=2,因?yàn)橐驗(yàn)閍 a1 1+a+a2 22 2=-3,=-3,所以所

10、以(2-2d)+(2-d)(2-2d)+(2-d)2 2=-3,=-3,整理解得整理解得d=3,d=3,所以所以a a9 9=a=a3 3+6d=2+18=20.+6d=2+18=20.答案答案: :20205.(20155.(2015全國(guó)卷全國(guó)卷)數(shù)列數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=2a=2an n,s,sn n為為aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,若若s sn n=126,=126,則則n=_.n=_.【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍 an+1n+1=2a=2an n, ,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 是首項(xiàng)是首項(xiàng)a a1 1=2,=2,公比公比q=2q=2的

11、等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,由由s sn n=126,=126,可得可得n=6.n=6.答案答案: :6 6熱點(diǎn)考向一熱點(diǎn)考向一等差等差( (比比) )數(shù)列的基本運(yùn)算數(shù)列的基本運(yùn)算命題解讀命題解讀: :主要考查利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、主要考查利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式, ,在這兩種數(shù)列中的五個(gè)基本量的在這兩種數(shù)列中的五個(gè)基本量的“知三求知三求二二”運(yùn)算以及求最值運(yùn)算以及求最值, ,以選擇題、填空題為主以選擇題、填空題為主. .【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015全國(guó)卷全國(guó)卷)已知已知aan n 是公差為是公差為1 1的的等差數(shù)列等差數(shù)列,s,sn

12、 n為為aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,若若s s8 8=4s=4s4 4, ,則則a a1010=(=() )a. b. c.10 d.12a. b. c.10 d.12172192(2)(2016(2)(2016全國(guó)卷全國(guó)卷)設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1+a+a3 3=10, =10, a a2 2+a+a4 4=5,=5,則則a a1 1a a2 2aan n的最大值為的最大值為_._.【解題導(dǎo)引】【解題導(dǎo)引】(1)(1)依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n n項(xiàng)和公項(xiàng)和公式求解式求解. .(2)(2)先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式構(gòu)建首項(xiàng)先利

13、用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式構(gòu)建首項(xiàng)a a1 1與公式與公式q q的方的方程組程組, ,求出求出a a1 1,q,q,得到得到aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式, ,再將再將a a1 1a a2 2 a an n表示為表示為n n的函數(shù)的函數(shù), ,進(jìn)而求最大值進(jìn)而求最大值. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選b.b.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a a1 1, ,則則s s8 8=8a=8a1 1+ =8a+ =8a1 1+28,+28,s s4 4=4a=4a1 1+ =4a+ =4a1 1+6,+6,因?yàn)橐驗(yàn)閟 s8 8=4s=4s4 4, ,即即8a8a1 1+28=16a+28=1

14、6a1 1+24,+24,所以所以a a1 1= ,= ,則則a a1010=a=a1 1+(10-1)d=+(10-1)d= 88 11244 112121199.22(2)(2)由于由于aan n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,設(shè)設(shè)a an n=a=a1 1q qn-1n-1, ,其中其中a a1 1是首項(xiàng)是首項(xiàng),q,q是是公比公比. . 所以所以a a1 1aa2 2aan n= = 21131132411n 4na8,aa10,aa q10,1aa5,q.a qa q5,21a( ),2所以即解得：故 211749n n 7(n)32n 42224111( )( )( ).222 當(dāng)當(dāng)n=

15、3n=3或或4 4時(shí)時(shí), , 取到最小值取到最小值-6,-6,此時(shí)此時(shí) 取到最大值取到最大值2 26 6. .所以所以a a1 1aa2 2aan n的最大值為的最大值為64.64.答案答案: :646421749(n)22421749(n)2241( )2【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】等差等差( (比比) )數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路(1)(1)設(shè)基本量設(shè)基本量a a1 1和公差和公差d(d(公比公比q).q).(2)(2)列、解方程組列、解方程組: :把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a a1 1和和d(q)d(q)的方程的方程( (組組),),然后求解然后求解, ,注意整體計(jì)算

16、注意整體計(jì)算, ,以減少運(yùn)算量以減少運(yùn)算量. .【題組過關(guān)】【題組過關(guān)】1.(20161.(2016呂梁一模呂梁一模) )已知已知s sn n是公差不為是公差不為0 0的等差數(shù)列的等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,且且s s1 1,s,s2 2,s,s4 4成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,則則 等于等于 ( () )a.4a.4b.6b.6c.8c.8d.10d.10231aaa【解析】【解析】選選c.c.設(shè)公差為設(shè)公差為d,d,則則s s1 1=a=a1 1,s,s2 2=2a=2a1 1+d,s+d,s4 4=4a=4a1 1+6d,+6d,因?yàn)橐驗(yàn)閟 s1 1,s,s2 2,s,

17、s4 4成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,所以所以s s2 22 2=s=s1 1s s4 4, ,即即(2a(2a1 1+d)+d)2 2= = a a1 1(4a(4a1 1+6d),+6d),解得解得d=0(d=0(舍去舍去) )或或d=2ad=2a1 1, ,所以所以 11111ada2d8a8.aa231aaa2.(20162.(2016邯鄲一模邯鄲一模) )設(shè)設(shè)aan n 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為a a1 1, ,公差為公差為-1-1的等的等差數(shù)列差數(shù)列,s,sn n為其前為其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,若若s s1 1,s,s2 2,s,s4 4成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,則則a a1 1= = ( (

18、) )a.2 b.-2 c. d.-a.2 b.-2 c. d.-1212【解析】【解析】選選d.d.因?yàn)橐驗(yàn)閟 s1 1,s,s2 2,s,s4 4成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,所以所以s s2 22 2=s=s1 1s s4 4, ,即即(a(a1 1+a+a1 1-1)-1)2 2=a=a1 1 , ,解得解得a a1 1=- .=- .11(4a4 3)2 123.3.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an n=a=an-1n-1+ (n2),+ (n2),則數(shù)列則數(shù)列aan n 的前的前9 9項(xiàng)和等于項(xiàng)和等于_._.12【解析】【解析】當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí),a,an

19、 n=a=an-1n-1+ + 且且a a2 2=a=a1 1+ ,+ ,所以所以aan n 是是首項(xiàng)為首項(xiàng)為1,1,公差是公差是 的等差數(shù)列的等差數(shù)列, ,所以所以s s9 9=9=91+ 1+ =9+18=27.=9+18=27.答案答案: :27271212129 8212【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)練】1.1.等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和s sn n, ,若若a a1 1=2,s=2,s3 3=12,=12,則則a a6 6=(=() )a.8a.8b.10b.10c.12c.12d.14d.14【解析】【解析】選選c.c.由題意得由題意得, , 解得解得 所以所以a a

20、6 6=a=a1 1+5d=12.+5d=12.11a23a3d 12 ，1a2d2 ， ，2.(20162.(2016重慶一模重慶一模) )在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,a3 3+a+a5 5=10,=10,則則a a7 7= =( () )a.5a.5b.8b.8c.10c.10d.14d.14【解析】【解析】選選b.b.設(shè)公差為設(shè)公差為d,d,因?yàn)橐驗(yàn)閍 a1 1=2,=2,所以所以a a3 3+a+a5 5=2+2d+2+4d=4+6d=10,=2+2d+2+4d=4+6d=10,解得解得d=1,d=1,所以所以a a7 7=a=a1 1+6d=2+6

21、=8.+6d=2+6=8.3.(20163.(2016唐山二模唐山二模) )設(shè)設(shè)x,y,zx,y,z是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù), ,若若9x,12y,15z9x,12y,15z成成等比數(shù)列等比數(shù)列, ,且且 成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,則則 =_.=_.1 1 1x y z，xzzx【解析】【解析】由題意知由題意知 解得解得 從而從而答案答案: : 212y9x 15z211yxz，222121632xzyyxzy9 151515，2222xz2xzxzxzxz2zxxzxzxz22232() y15216y15341534.15熱點(diǎn)考向二熱點(diǎn)考向二等差等差( (比比) )數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì)命題解讀命題解讀

22、: :主要考查利用性質(zhì)求解基本量及前主要考查利用性質(zhì)求解基本量及前n n項(xiàng)和的最項(xiàng)和的最值問題值問題, ,以選擇題、填空題為主以選擇題、填空題為主. .【典例【典例2 2】(1)(2016(1)(2016長(zhǎng)沙一模長(zhǎng)沙一模) )等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 中中, ,若若a a4 4+a+a6 6+a+a8 8+a+a1010+a+a1212=120,=120,則則s s1515的值為的值為( () )a.180a.180b.240b.240c.360c.360d.720d.720(2)(2016(2)(2016開封一模開封一模) )設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為s s

23、n n, ,若若s sm-1m-1=5,s=5,sm m=-11,s=-11,sm+1m+1=21,=21,則則m=m=( () )a.3a.3b.4b.4c.5c.5d.6d.6【解題導(dǎo)引】【解題導(dǎo)引】(1)(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n n項(xiàng)和公式求項(xiàng)和公式求解解. .(2)(2)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式, ,建立方程建立方程組即可解得組即可解得m m的值的值. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選c.c.因?yàn)閿?shù)列因?yàn)閿?shù)列aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,所以所以a a4 4+a+a6 6+a+a8 8+a+

24、a1010+a+a1212=5a=5a8 8, ,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍 a4 4+a+a6 6+a+a8 8+a+a1010+a+a1212=120,=120,所所以以5a5a8 8=120,s=120,s1515= =15a= =15a8 8=3=3120=360.120=360.11515 aa2(2)(2)選選c.c.在等比數(shù)列中在等比數(shù)列中, ,因?yàn)橐驗(yàn)閟 sm-1m-1=5,s=5,sm m=-11,s=-11,sm+1m+1=21,=21,所以所以a am m=s=sm m-s-sm-1m-1=-11-5=-16,a=-11-5=-16,am+1m+1=s=sm+1m+1-s-sm m=

25、21-(-11)=32,=21-(-11)=32,則公比則公比q= =-2,q= =-2,因?yàn)橐驗(yàn)閟 sm m=-11,=-11,所以所以 =-11, =-11,又又a am+1m+1=a=a1 1(-2)(-2)m m=32,=32,兩式聯(lián)立解得兩式聯(lián)立解得m=5,am=5,a1 1=-1.=-1.m 1ma32a16m1a 1212 【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略(1)(1)解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵: :抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系關(guān)系, ,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解從這些特點(diǎn)入手選

26、擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解. .(2)(2)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì): :數(shù)列是一種特殊的函數(shù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù), ,具有函數(shù)的具有函數(shù)的一些性質(zhì)一些性質(zhì), ,如單調(diào)性、周期性等如單調(diào)性、周期性等, ,可利用函數(shù)的性質(zhì)解題可利用函數(shù)的性質(zhì)解題. .【題組過關(guān)】【題組過關(guān)】1.(20161.(2016太原一模太原一模) )在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中, ,有有3(a3(a3 3+a+a5 5)+ )+ 2(a2(a7 7+a+a1010+a+a1313)=48,)=48,則此數(shù)列的前則此數(shù)列的前1313項(xiàng)和為項(xiàng)和為( () )a.24a.24b.39b.39c.52c.52d.104d.10

27、4【解析】【解析】選選c.c.因?yàn)橐驗(yàn)?(a3(a3 3+a+a5 5)+2(a)+2(a7 7+a+a1010+a+a1313)=48,)=48,利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得6a6a4 4+6a+6a1010=48,=48,所以所以a a1 1+a+a1313=a=a4 4+a+a1010=8,=8,所以所以s s1313= =52.= =52.11313 aa13 8222.2.設(shè)等差數(shù)列的公差為設(shè)等差數(shù)列的公差為d,d,若數(shù)列若數(shù)列 為遞減數(shù)列為遞減數(shù)列, ,則則( () )a.d0a.d0b.d0b.d0d0d.ad.a1 1d0d01 na a2【解析】【解析】選選d

28、.d.由于數(shù)列由于數(shù)列 為遞減數(shù)列為遞減數(shù)列, ,得得 再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得a a1 1a an naa1 1a an-1n-1, ,由等差數(shù)列的公差為由等差數(shù)列的公差為d d知知,a,an n-a-an-1n-1=d,=d,所以所以a a1 1a an naa1 1a an-1n-1,a,a1 1a an n-a-a1 1a an-1n-10,0,所以所以a a1 1(a(an n-a-an-1n-1)0,)0,即即a a1 1d0.d0,0,所以所以a a2525= .= .所以所以a a1 1aa2 2aa2525aa4848aa4949=(a=(a2525) )5 5=9 .=9 .334.(20164.(2016衡陽二模衡陽二模) )設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為s sn n, ,若若-a-a2 0152 015aa1 1-a0,0,且且s s2 0172 01700b.sb.s2 0152 0150,00c.ac.a2 0152 0150,0,且且a a2 0172 01700d.ad.a2 0152 0150,00【解析】【解析】選選a.a.因?yàn)橐驗(yàn)?a-a2 0152 015aa1 1-a0,a0,a1 1+a+a2 0172 0170,0