概率論與數(shù)理統(tǒng)計第六章統(tǒng)計量,樣本及抽樣分布ppt課件

1、 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是一門運用性很強的學(xué)科數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是一門運用性很強的學(xué)科. 它是研討它是研討怎樣以有效的方式搜集、怎樣以有效的方式搜集、 整理和分析帶有隨機性的整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以便對所調(diào)查的問題作出推斷和預(yù)測數(shù)據(jù)，以便對所調(diào)查的問題作出推斷和預(yù)測. 由于大量隨機景象必然呈現(xiàn)它規(guī)由于大量隨機景象必然呈現(xiàn)它規(guī)律性，只需對隨機景象進展足夠多次律性，只需對隨機景象進展足夠多次察看，被研討的規(guī)律性一定能清楚地察看，被研討的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來呈現(xiàn)出來. 客觀上，客觀上， 只允許我們對隨機景象只允許我們對隨機景象進展次數(shù)不多的察看實驗進展次數(shù)不多的察看實驗 ，我們只，我們只能獲得部分察看資料能

2、獲得部分察看資料.第一節(jié)第一節(jié) 隨機樣本隨機樣本 在數(shù)理統(tǒng)計中，不是對所研討的對象全體在數(shù)理統(tǒng)計中，不是對所研討的對象全體 ( 稱稱為總體為總體)進展察看，而是抽取其中的部分進展察看，而是抽取其中的部分(稱為樣本稱為樣本)進展察看獲得數(shù)據(jù)抽樣，并經(jīng)過這些數(shù)據(jù)對總進展察看獲得數(shù)據(jù)抽樣，并經(jīng)過這些數(shù)據(jù)對總體進展推斷體進展推斷.數(shù)理統(tǒng)計方法具有數(shù)理統(tǒng)計方法具有“部分推斷整體的部分推斷整體的特征特征 . 在數(shù)理統(tǒng)計研討中，人們往往研討有關(guān)對象的在數(shù)理統(tǒng)計研討中，人們往往研討有關(guān)對象的某一項某一項(或幾項或幾項)數(shù)量目的和為此，對這一目的進展數(shù)量目的和為此，對這一目的進展隨機實驗，察看實驗結(jié)果全部察看值

3、，從而調(diào)查該隨機實驗，察看實驗結(jié)果全部察看值，從而調(diào)查該數(shù)量目的的分布情況數(shù)量目的的分布情況.這時，每個具有的數(shù)量目的的這時，每個具有的數(shù)量目的的全體就是總體全體就是總體.每個數(shù)量目的就是個體每個數(shù)量目的就是個體.某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命該批燈泡壽命的全該批燈泡壽命的全體就是總體體就是總體國產(chǎn)轎車每公里國產(chǎn)轎車每公里的耗油量的耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體的全體就是總體 一個統(tǒng)計問題總有它明確的研討對象一個統(tǒng)計問題總有它明確的研討對象.1.1.總體總體研討某批燈泡的質(zhì)量研討某批燈泡的質(zhì)量 研討對象的全體稱為總體，研討對象的全體稱為總體，總體總體一、總體和樣本一

4、、總體和樣本總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量.總體中每個成員稱為個體，總體中每個成員稱為個體，總體總體有限總體有限總體無限總體無限總體 因此在實際上可以把總體與概率分布等同起來因此在實際上可以把總體與概率分布等同起來. . 我們關(guān)懷的是總體中的個體的某項目的我們關(guān)懷的是總體中的個體的某項目的( (如人的如人的身高、燈泡的壽命身高、燈泡的壽命, ,汽車的耗油量汽車的耗油量) .) . 由于每個個體的出現(xiàn)是隨機的，所以相應(yīng)的數(shù)量目由于每個個體的出現(xiàn)是隨機的，所以相應(yīng)的數(shù)量目的的出現(xiàn)也帶有隨機性的的出現(xiàn)也帶有隨機性 . 從而可以把這種數(shù)量目的看從而可以把這

5、種數(shù)量目的看作一個隨機變量作一個隨機變量X ，因此隨機變量，因此隨機變量X的分布就是該數(shù)的分布就是該數(shù)量目的在總體中的分布量目的在總體中的分布. 總體就可以用一個隨機變量及其分布來描畫總體就可以用一個隨機變量及其分布來描畫. 例如例如:研討某批燈泡的壽命時，關(guān)懷的數(shù)量目的研討某批燈泡的壽命時，關(guān)懷的數(shù)量目的就是壽命，那么，此總體就可以用隨機變量就是壽命，那么，此總體就可以用隨機變量X表示，表示，或用其分布函數(shù)或用其分布函數(shù)F(x)表示表示.X:某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命總體總體 壽命壽命 X 可用一概率分可用一概率分布布如指數(shù)分布來刻劃如指數(shù)分布來刻劃鑒于此，常用隨機變量的記號鑒于此，常用隨

6、機變量的記號或用其分布函數(shù)表示總體或用其分布函數(shù)表示總體. 如如說總體說總體X或總體或總體F(x) . 類似地，在研討某地域中學(xué)生的營養(yǎng)情類似地，在研討某地域中學(xué)生的營養(yǎng)情況時況時 ，假設(shè)關(guān)懷的數(shù)量目的是身高和體重，假設(shè)關(guān)懷的數(shù)量目的是身高和體重，我們用我們用X 和和Y 分別表示身高和體重，那么此分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機變量總體就可用二維隨機變量(X,Y)或其結(jié)合分布或其結(jié)合分布函數(shù)函數(shù) F(x,y)來表示來表示. 統(tǒng)計中，總體這個概念統(tǒng)計中，總體這個概念 的要旨是：總體就是一個概的要旨是：總體就是一個概率分布率分布.參數(shù)的分布，為推斷總體分布及各種特征，按一參數(shù)的分布，為

7、推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)那么從總體中抽取假設(shè)干個體進展察看實驗，定規(guī)那么從總體中抽取假設(shè)干個體進展察看實驗，以獲得有關(guān)總體的信息以獲得有關(guān)總體的信息 ，這一抽取過程稱為，這一抽取過程稱為 “抽抽樣，所抽取的部分個體稱為樣本樣，所抽取的部分個體稱為樣本. 樣本中所包樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量含的個體數(shù)目稱為樣本容量.2. 樣本樣本從國產(chǎn)轎車中抽從國產(chǎn)轎車中抽5輛輛進展耗油量實驗進展耗油量實驗樣本容量為樣本容量為5抽到哪抽到哪5輛是隨機的輛是隨機的 總體分布普通是未知，或只知道是包含未知總體分布普通是未知，或只知道是包含未知 一旦取定一組樣本一旦取定一組樣本X1， ,Xn ,得到得

8、到n個詳個詳細的數(shù)細的數(shù) (x1,x2,xn)，稱為樣本的一次察看值，稱為樣本的一次察看值，簡稱樣本值簡稱樣本值 .n稱為這個樣本的容量稱為這個樣本的容量.21nXXXnX，觀察，其結(jié)果依次記為觀察，其結(jié)果依次記為次重復(fù)、獨立次重復(fù)、獨立在相同的條件下，進行在相同的條件下，進行對總體對總體.,21分布分布同的同的與總體隨機變量具有相與總體隨機變量具有相的一個簡單隨機樣本，的一個簡單隨機樣本，是來自總體是來自總體這樣得到的隨機變量這樣得到的隨機變量XXXXn最常用的一種抽樣叫作最常用的一種抽樣叫作“簡單隨機抽樣，其特點：簡單隨機抽樣，其特點：1. 代表性：代表性： X1,X2,Xn中每一個與所調(diào)

9、查的總體有中每一個與所調(diào)查的總體有 一樣的分布一樣的分布.2. 獨立性：獨立性： X1,X2,Xn是相互獨立的隨機變是相互獨立的隨機變量量.定義：定義： 由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本，它可以用與總體獨立同分布的機樣本，它可以用與總體獨立同分布的n個相個相互獨立的隨機變量互獨立的隨機變量X1,X2,Xn表示表示.),(21*nxxxF=F(x1) F(x2) F(xn) ),(21*nxxxf=f(x1) f(x2) f(xn) 假設(shè)總體的分布函數(shù)為假設(shè)總體的分布函數(shù)為F(x)、概率密度函數(shù)、概率密度函數(shù)為為f(x),那么其簡單隨機樣本的結(jié)合分布函數(shù)

10、為那么其簡單隨機樣本的結(jié)合分布函數(shù)為其簡單隨機樣本的結(jié)合概率密度函數(shù)為其簡單隨機樣本的結(jié)合概率密度函數(shù)為的的取取值值是是總總體體隨隨機機樣樣本本這這里里),(),(2121nnXXXxxx 現(xiàn)實上我們抽樣后得到的資料都是詳細的現(xiàn)實上我們抽樣后得到的資料都是詳細的、確定的值、確定的值. 如我們從某班大學(xué)生中抽取如我們從某班大學(xué)生中抽取10人人丈量身高丈量身高,得到得到10個數(shù)，它們是樣本取到的值個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本而不是樣本. 我們只能察看到隨機變量取的我們只能察看到隨機變量取的值而見不到隨機變量值而見不到隨機變量.3. 總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體實際分布

11、總體實際分布 ？ 樣本樣本 樣本值樣本值 統(tǒng)計是從手中已有的資料統(tǒng)計是從手中已有的資料-樣本值，去推斷總樣本值，去推斷總體的情況體的情況-總體分布總體分布F(x)的性質(zhì)的性質(zhì). 總體分布決議了樣本取值的概率規(guī)律，也就是總體分布決議了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因此可以由樣本值去推斷樣本取到樣本值的規(guī)律，因此可以由樣本值去推斷總體總體. 樣本是聯(lián)絡(luò)二者的橋梁樣本是聯(lián)絡(luò)二者的橋梁總體：研討對象的全體稱為總體總體：研討對象的全體稱為總體個體：總體中每個成員稱為個體個體：總體中每個成員稱為個體:簡單隨機樣本簡單隨機樣本 由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為

12、簡單隨機樣本，它可以用與總體機樣本，它可以用與總體X獨立同分布的獨立同分布的n個個相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量 X1,X2,Xn表示表示, n為為樣本容量樣本容量,其察看值為其察看值為.,21nxxx統(tǒng)計模型：統(tǒng)計模型：)(),(21獨獨立立同同分分布布的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布樣樣本本nXXX小結(jié)小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計三大抽樣分布統(tǒng)計三大抽樣分布幾個重要的抽樣分布定理幾個重要的抽樣分布定理 由樣本值去推斷總體情況，需求對樣本值進由樣本值去推斷總體情況，需求對樣本值進展展“加工，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把加工，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所

13、含的某一方面的信息集中起來樣本中所含的某一方面的信息集中起來.1. 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù) 稱為統(tǒng)計量稱為統(tǒng)計量. 它是完全由樣本決議的量它是完全由樣本決議的量,其取值其取值(察看值察看值)是是一、統(tǒng)計量一、統(tǒng)計量),(21nXXXg),(21nxxxg 幾個常見統(tǒng)計量幾個常見統(tǒng)計量樣本平均值樣本平均值niiXnX11它反映了總體均值它反映了總體均值的信息的信息樣本方差樣本方差niiXXnS122)(11它反映了總體它反映了總體方差的信息方差的信息 niiXnXn12211樣本規(guī)范差樣本規(guī)范差 niiXXnS12)(11常用的統(tǒng)計量常用的

14、統(tǒng)計量 niixnx11觀察值觀察值 niixnxns122211觀觀察察值值 niixxns12)(11觀察值觀察值nikikXnA11它反映了總體它反映了總體k 階矩的信息階矩的信息樣本樣本k階原點矩階原點矩樣本樣本k階中心矩階中心矩nikikXXnB1)(1 k=1,2,它反映了總體它反映了總體k 階階中心矩的信息中心矩的信息請留意請留意 :., 2 , 11)(1 kXnAnXEkXkpnikikkk時時，存存在在，則則當(dāng)當(dāng)階階矩矩的的若若總總體體.),(),(2121為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中可將上述性質(zhì)推廣為可將上述性質(zhì)推廣為由依概率收斂性質(zhì)知，由依概率收斂性質(zhì)知，再再ggAAA

15、gkpk .根據(jù)根據(jù)這就是矩估計法的理論這就是矩估計法的理論., 2 , 1)(,2121上述結(jié)論上述結(jié)論再由辛欽大數(shù)定律可得再由辛欽大數(shù)定律可得同分布同分布獨立且與獨立且與有有同分布，同分布，獨立且與獨立且與由由事實上事實上nkXEXXXXXXXXkkikknkkn 二、統(tǒng)計三大抽樣分布二、統(tǒng)計三大抽樣分布定義定義: 設(shè)設(shè) 相互獨立相互獨立, 都服從正態(tài)分都服從正態(tài)分布布N(0,1), 那么稱隨機變量：那么稱隨機變量： nXXX,21222212nXXX2分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布. .分布分布2. 1 )(22nn 分分布布，記記為為的的為為所所服

16、服從從的的分分布布為為自自由由度度)()(1),()1(212222nXNXniii 則則若若獨獨立立，則則21222121,),(),()2(XXnXnX ).(21221nnXX .,2)(,)(),()3(2nXDnXEnX分布的分位點分布的分位點2).4( )(222)()(ndyyfnP, 10 ，對對于于給給定定的的正正數(shù)數(shù)稱滿足條件稱滿足條件.381.34)25()(.)()(20.1222 可通過查表求，例可通過查表求，例如圖所示如圖所示分位點，分位點，分布的上分布的上為為的點的點nnn)(2n 386,25, 1 . 0Pn見見 概率密度函數(shù)為：概率密度函數(shù)為： tntnnn

17、thn212)1()2(2)1()( 定義: 設(shè)XN(0,1) , Y , 且X與Y相互 獨立，那么稱變量nYXt 所服從的分布為自在度為所服從的分布為自在度為 n的的 t 分布分布.)(2n).(ntt記記為為分布的密度分布的密度分布又稱為學(xué)生氏分布分布又稱為學(xué)生氏分布)(. ntt分布分布t. 2分布的性質(zhì)：分布的性質(zhì)：t)2()2()(, 0)(),(. 1 nnntDtEntttn與與方方差差為為：其其數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望分分布布的的具具有有自自由由度度為為.21)(lim,.0. 222tnethntt 函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)有有由由再再分分布布概概率率密密度度的的圖圖形形，其其圖圖形形近

18、近似似于于標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)充充分分大大時時當(dāng)當(dāng)對對稱稱分分布布的的密密度度函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于).1 , 0(Ntn近似近似足夠大時，足夠大時，即當(dāng)即當(dāng)分布分布t. 2.)()(如圖所示如圖所示分位點分位點分布的上分布的上為為的點的點 ntnt)(nt )()()(ntdtthnttp稱稱滿滿足足條條件件，對對于于給給定定的的分分布布的的分分位位點點, 10. 3 t)(nt )()(1ntntt 分位點的性質(zhì)：分位點的性質(zhì)：分布的上分布的上.1315. 2)15(P285)(025. 0 tntt求求得得，例例可可查查表表見見分分位位點點分分布布的的上上 zntn)(45的的值值，可可用用正正態(tài)

19、態(tài)近近似似時時，對對于于常常用用的的當(dāng)當(dāng)由定義可見，由定義可見，3、F分布分布121nUnVF F(n2,n1)分布分布F. 3服從自在度為服從自在度為n1及及 n2 的的F分布，分布，n1稱為第稱為第自在度，自在度，n2稱為第二自在度，記作稱為第二自在度，記作21nVnUF FF(n1,n2) .則則稱稱隨隨機機變變量量定定義義：設(shè)設(shè)),(),(2212nVnU 三、幾個重要的抽樣分布定理三、幾個重要的抽樣分布定理有有和樣本方差和樣本方差則樣本均值則樣本均值來自總體的一個樣本，來自總體的一個樣本，是是，方差為，方差為的均值為的均值為設(shè)總體設(shè)總體2212,XSXXXXn 2(),(),E XD

20、 Xn 22)()( XDSE 定理定理 1 (樣本均值的分布樣本均值的分布) 設(shè)設(shè) X1, X2, , Xn 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體),(2 N的樣本，的樣本， 是樣本均值，那么有是樣本均值，那么有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 即即X）本均值本均值已知，可由該定理求樣已知，可由該定理求樣，（若正態(tài)總體的（若正態(tài)總體的X2 0 1( , )XNn n取不同值時樣本取不同值時樣本均值均值 的分布的分布X請留意請留意 :),(2nNX 定理定理 2 (樣本方差的分布樣本方差的分布) 1() 1() 1 (222nSn 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體),(2 N的

21、樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,那么那么有有.)2(2獨獨立立與與SXn取不同值時取不同值時 的分布的分布22) 1(Sn ）本本方方差差已已知知，可可由由該該定定理理求求樣樣，（若若正正態(tài)態(tài)總總體體的的22S 定理定理 3 (樣本均值的分布樣本均值的分布) 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,那么那么有有) 1(ntnSX 且且相相互互獨獨立立分分布布的的定定義義可可得得、由由定定理理證證)1()1(,)1 , 0(t2,1222 nSnNnX)1()1(22

22、 ntSnnX則則 iixnxnS2222211s.X(的值是的值是這里樣本方差這里樣本方差本均值本均值時，可用本定理計算樣時，可用本定理計算樣，在未知總體在未知總體 .),3 . 0 , 0(,. 23;,N(0,1)X. 1210122101232221232221321nXccNXXXXXXXXXXXXXiii分布，并求自由度分布，并求自由度服從服從使使的值，的值，求求獨立同分布，獨立同分布，設(shè)設(shè)是樣本，則是樣本，則，設(shè)總體設(shè)總體例例 )3(2 )3( t),1 , 0(3 . 0,3 . 03 . 03 . 0)()3 . 0(222NXXDXDiii )10(3 . 03 . 03

23、. 022102221 XXX)10(3 . 012122 iiX09. 01c分分布布，使使得得服服從從求求常常數(shù)數(shù)，來來自自總總體體設(shè)設(shè)樣樣本本226542321621C)()()1 , 0(,. 3 XXXXXXYNXXX )3 , 0(),3 , 0(654321NXXXNXXX )1 , 0(3),1 , 0(3654321NXXXNXXX )2(32 Y31 C上上的的均均勻勻分分布布。分分布布的的樣樣本本，求求來來自自總總體體設(shè)設(shè)例例2 , 0. 2;)10(. 1)(),(),(),(21 XXSEXDXEXXXn ,)(,)(. 1pqXDpXE 解解 niiXnX11)()(1)(;)(1)(212SEnpqXDnXDpXnEnXEni 342)(;2E(X). 22202220 dxxXEdxx解解)(3)()()(2222SEXEXEXD nXDnXDXnEnXEni3)(1)(;)(1)(212 的的概概率率。于于樣樣本本均均值值差差的的絕絕對對值值大大的的兩兩獨獨立立的的容容量量分分別別為為求求總總體體例例3 . 015,10)3 ,20(NY，為為解解：兩兩樣樣本本均均值值分