類型一線段、周長(zhǎng)最值問(wèn)題

1、類型一線段、周長(zhǎng)最值問(wèn)題1. 如圖，拋物線y=2x+3交x軸于c兩點(diǎn)(點(diǎn)/在c的左邊)，拋物 線交y軸于點(diǎn)點(diǎn)d是拋物線的頂點(diǎn).(1) 求線段的長(zhǎng)；(2) 點(diǎn)p是直線ab上方的拋物線上一點(diǎn)(不與昇，b重合)，過(guò)點(diǎn)p作x軸的垂線, 交兀軸于點(diǎn)交直線于點(diǎn)f,作fg丄力3于點(diǎn)g,求出pfg周長(zhǎng)的最 大值；2. 已知二次函數(shù)的圖象和x軸相交于點(diǎn)力、與y軸交于點(diǎn)c, 過(guò)直線bc的下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)p作pq/ac交線段bc于點(diǎn)q,再過(guò)p作 pe丄x軸于點(diǎn)e,交bc于點(diǎn)、d.(1) 求直線/c的解析式；(2) 求p0d周長(zhǎng)的最大值；(3) 當(dāng)p0d的周長(zhǎng)最大值時(shí)，在尹軸上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)m、n(m在n的上方)，若m

2、n=,求pn+mn+am的最小值.圖圖3. (2017重慶大渡口二模)如圖，拋物線j；=x2-2x-3與x軸交于/、3兩點(diǎn)(點(diǎn)/在點(diǎn)的左側(cè))，與卩軸交于點(diǎn)c,該拋物線的頂點(diǎn)為d,對(duì)稱軸交兀軸于(1) 求力、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 設(shè)點(diǎn)p在x軸下方的拋物線上，當(dāng)zabp=zcdb時(shí)，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；(3) 以ob為邊在第四象限內(nèi)作等邊oem,設(shè)點(diǎn)e為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn) (oe>oh),連接me,把線段me繞點(diǎn)m旋轉(zhuǎn)60。得mf,求線段df的長(zhǎng)的最 小值.圖圖備用圖4. （2017遵義改編）如圖，拋物線y=ax2+bx-ab（a<0, a、b為常數(shù)）與x軸交 于/、c兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，

3、直線的函數(shù)關(guān)系式為j=|x+y.（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與c點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)m（加，0）是線段0/1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)m作x軸的垂線/分別與直線ab和拋物線交于d、e兩點(diǎn)當(dāng)bde恰好是以de為底邊的等腰三角形時(shí),動(dòng)點(diǎn)m相應(yīng)位:i記為點(diǎn)m,將繞原點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到on（旋轉(zhuǎn)角在0°到90。之間）；i :探究：線段上是否存在定點(diǎn)p（p不與o、b重合），無(wú)論on如何旋轉(zhuǎn),等始終保持不變，若存在,試求出p點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;3ii：試求出此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的最小值.第4題圖5. (2016重慶渝中區(qū)校級(jí)二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知拋物線夕=一筋兀+斗交x軸于力，兩點(diǎn)，交

4、y軸于點(diǎn)c,拋物線上一點(diǎn)d的橫坐 標(biāo)為一5.(1) 求直線的解析式；(2) 點(diǎn)e是線段bd上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)e作兀軸的垂線交拋物線于點(diǎn)f,當(dāng)折線ef+be最大時(shí)，在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)p,在尹軸上找一點(diǎn)0連接0e、op、pq, 求op+pq+qe的最小值；(3) 如圖，連接ec,把obc沿兀軸翻折，翻折后的 obc id為o3c,現(xiàn) 將obc沿著x軸平移，平移后obc記為 o'b'c”,連接do'、c”b,記c"b6. (2017重慶西大附中月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx +43與x軸交于力，b兩點(diǎn)(點(diǎn)力在點(diǎn)3左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)c,拋物線的頂

5、點(diǎn)為點(diǎn)d,且b(3書,0),對(duì)稱軸為直線x=£，點(diǎn)£(23, 0),連接ce交對(duì) 稱軸于點(diǎn)f,連接/f交拋物線于點(diǎn)g.(1) 求拋物線的解析式和直線ce的解析式；(2) 如圖，過(guò)e作ep丄x軸交拋物線于點(diǎn)p,點(diǎn)0是線段bc上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4a/tsqg+qb最小時(shí)，線段mn在線段ce上移動(dòng)，點(diǎn)m在點(diǎn)n上方，且mn=勞, 請(qǐng)求出四邊形pqmn周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)n的橫坐標(biāo).圖圖八第6題圖答案1.解:(1)拋物線y=-x2-2x+3f令y=0,則一x22r+3=0,(x-l)(x+3) = 0,x = l,兀2= 3,點(diǎn)/在點(diǎn)c的左邊，/(3, 0), c(l, 0),令兀=0,得y=3,

6、 b(0, 3),:.ab=y/32+32 = 3y/2f 線段肋長(zhǎng)為32.(2)由題意可知pfg是等腰直角三角形，設(shè)p(m, 2加+ 3),；f(m,加+ 3),:pg=fg=pf,hpfg 周長(zhǎng)為:pg=fg+pf=pf+y/2pf= -m2-3m+邁(一 m2 一 3 加)=一(邁9 (、佢+1) ：hpfg周長(zhǎng)的最大值為一2. 解:(1)令y=0, x2-x-2=0 兀 1=1,兀2 = 2,/(1, 0), 5(2, 0),令兀=0,尹=一2,c(0, -2),設(shè)直線ac的解析式為伙h0),直線過(guò)點(diǎn)/、c,k=-2 b=2.jo=k+bb=-2：直線ac解析式為y=2x2；(2)v5

7、(9= co,上boc=90。,:.zabc=45°9 zaco= kepq,/. tan z4co=tanzepq=g,過(guò)0作pe的垂線垂足是h.設(shè) qh=a, ph=2af dh=a, a+2a=pd, a=gpd,設(shè) p(m,加2加一2), d(m, m 2),cpqd=pq+qd+pd=(£+& + 3)a=®半旦pd,訴+邁+ 3諺+邁+32丄。、 v5+v2 + 3二丄c、pqd 2 pd = q ( m + 2m) ? (m 1) +:當(dāng) m 吋，c、pqd 最人=，此吋 p(1, 2)；(3) 把點(diǎn)/向下平移1個(gè)單位到點(diǎn)"，則川(

8、一1, 一1)連接力屮, :.am+mn+pn 最小值=at+mn=y5 +1.第2題解圖第2題解圖3. 解:(1)尹=/2x_3=(x_3)(x+1),令卩=0,解得兀1 = 1,也=3,則 >1(-1, 0), 5(3, 0)；過(guò)點(diǎn)p作pq-lx軸于0,過(guò)點(diǎn)d作dk丄y軸于k,如解圖，由 c(0, 3), d(l, -4),得 oc=ob=3, ck=dk= 1, a zbco=zdck=45。,750=32, cd=£, bd=2y5f :.bc1 + cb1=bd2, :. z5cz)=90° ,當(dāng) zabp=zcdb 時(shí)，pq bc 32有 rt'p

9、qbsrthbcd, 故bq=邁=3，即 pq=3bq.設(shè) p(x, x22x3),則 50=|3x|, p0=|x22x3|.tp點(diǎn)在x軸下方時(shí)，/. x2+2x+3 = 3(3x),整理得x2-5x+6 = 0,解得xi=2,兀2 = 3(不合題意，舍去).此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2, 3)當(dāng)zabp=zcdb時(shí)，p的坐標(biāo)為(2, 3).奶d第3題解圖(3) 易證 0me9hbmf,故zmbf=zmoe=60° .連接fb并延長(zhǎng)交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)g,如解圖，當(dāng)df丄bg時(shí)，df取得最小值.: zgbh=60° ,zg=30° , hg=y3bh= 2書.df=dg=

10、2 +羽,線段df的長(zhǎng)的最小值為2+3.第3題解圖4. 解：(1)在中,令x=0,貝2=學(xué)，令夕=0,則兀=6,/.5(0,乎)，a(6, 0),36a6bab = 0把 5(0,乎)，a( 6, 0)代入 y = ax2 + bxa b 得165rbp拋物線的函數(shù)關(guān)系式為尸一*2譽(yù)r+學(xué)令y=0,則_魯疋一奪+學(xué)=o,c（1, 0）；點(diǎn)m伽，0）,過(guò)點(diǎn)m作x軸的垂線/分別與直線力3和拋物線交于d、e兩點(diǎn)，如解圖，d（加，初+乎），當(dāng)qe為等腰三角形的底時(shí),作 bg丄qe 于 g,則 eg=gd=edf gm=ob=y,: dm+dg=gm=ob,解得：加i = 4,加2=0（不合題意，舍去）

11、，當(dāng)加=4吋，hbde恰好是以de為底邊的等腰三角形;i :存在，：on=om'=4, ob=學(xué). znop= /bon,op np on 3.當(dāng)°nops厶bon 時(shí),qn=b = qb=4,.np#nb不變,33即 op=on=x4=3,f(0, 3)ii：如解圖，n在以o為圓心，4為半徑的半圓上，由(i)知,np_op_3nb = on=4'3/. (na +nb)的最小值=na+np,此時(shí)n, a,卩三點(diǎn)共線，：(na + nb)的最小值=3+6?=35.5. 解:(1)令y=0,貝lj羽x+¥=0,解得兀=4 或 1,/(一4, 0), 5(1,

12、0),令x=0,貝.c（0,華），當(dāng)x=5時(shí)，尹=駕信+5邁+蘭¥=2羽,點(diǎn) d 坐標(biāo)（一5, -23）,設(shè)直線解析式為y=kx+h,則有5k+b= 2羽k+b=o解得s直線bd的解析式為夕=凈一¥（2）如解圖中，設(shè)bd交，軸于k,則k（0, 申）,設(shè)e（m, ¥加一平），則_¥滬書皿+豊，tanaabd=i zabd=30%.ef+eb= 筋加(¥ 加一¥)+ 2(¥¥?)= ¥(加 + 3)2 +16小3 ，加=3時(shí)，ef+eb的值最大，此時(shí)點(diǎn)e坐標(biāo)（一3, 華）, 如解圖，作點(diǎn)e關(guān)于尹軸的對(duì)稱點(diǎn)n,

13、 em丄4b于m,連接mn,交對(duì)稱軸于p,交尹軸于0,第5題解圖tm、o關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,：op=pm,e、n關(guān)于y軸對(duì)稱，:qe=qn,：.op+pq+qe=pm+pq+qn,當(dāng)m、n、p、0共線時(shí)，op+pq+qe最小，最小值為mn的長(zhǎng),在 rt/mne 中,mn=yjem2 + en2=2 + 62 =：.op+pq+qe的最小值為嚮3(3)如解圖中，作 om丄于 m, bd=yl (1+5) 2+ (23)2=43，設(shè) o，b=a,則 om=*q, bm=a, dm= bd-bm= 43a,第5題解圖vz（9, dm= zc,bo, zof md=zboc = 90。,o' md

14、sg o' b, o' m _ dm （y c =bo,12a4y3 a./+4q 32 = 0,解得 a=4 或一8（舍去）,c坐標(biāo)為（一3, 華）.6.解：（1）由拋物線y=ax2+bx+4y3的對(duì)稱軸一£=萌 ,點(diǎn)e（2書,0）在拋物線上，貝"3筋）咕+ 3羽5+4邁=0，_ - 43a_ 9由解得 小 ， 則拋物線的解析式為y=+|+4萌,又點(diǎn) c（0, 43）, e（2書,0）,設(shè)直線ce的解析式為y=kx+m,0+b=4羽， 叫 2岳+1）=0,k=2解得仁皿直線ce的解析式為y=2x+4jl由拋物線尹=一空+|x+4羽知, 當(dāng)x=2yi吋，夕=

15、4羽，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2萌，4筋）， 根據(jù)對(duì)稱性得a（y3, 0）,由 y=2x+4y3知，解方程組卜常備+血、y=x+羽解得s13潔y= 1點(diǎn)g的坐標(biāo)為（學(xué)，呼）.由sinzobc=pcbc5、當(dāng)x=羽時(shí)，y=2y3, f速,2羽）, 直線？1f的解析式為：y=x+y3,4當(dāng)0g丄x軸時(shí)，qg+-qb最小, 直線bc的解析式為尸一老+4、療,當(dāng)兀=卑時(shí)，y=書,點(diǎn)0（學(xué)v3）.a/ts如解圖，過(guò)點(diǎn)p作pk/mn,取pk=mn=,則四邊形rwnk是平行四邊形，四邊形 ponm 的周長(zhǎng)=pm+mn+nq+pq=nk+mn+nq+pq,由于mn、f0的值不變，所以只需nk+nq最短，所以作k關(guān)于直線ce的對(duì)稱點(diǎn)k,連接k0,交ce于n,即當(dāng)k、n、0三點(diǎn)共線時(shí)，四邊形pqnm的周長(zhǎng)最短.tp的坐標(biāo)為（2羽，4邁），pk=睜,pk/ce,:.k 點(diǎn)橫坐標(biāo) xk=2y3 +-coszceo=2y/3k 點(diǎn)縱坐標(biāo)為 *=4書冷i曲 zceo=4