2015高考數(shù)學（理）一輪突破熱點題型：第8章 第5節(jié)　橢圓（數(shù)學大師網(wǎng) 為您收集整理）

1、第五節(jié)橢圓 考點一橢圓的定義和標準方程 例1(1)(2013·廣東高考)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2014·岳陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交橢圓C于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為_自主解答(1)由右焦點為F(1,0)，可知c1，因為離心率為，即，故a2，由a2b2c2，知b2a2c23，因此橢圓C的方程為1.(2)由ABF2的周長為4a16，得a4，又知離心率為，即，ca2，所以a216，b2a

2、2c21688，所以橢圓C的方程為1.答案(1)D(2)1【互動探究】在本例(2)中若將條件“焦點在x軸上”去掉，結果如何？解：由例1(2)知：當焦點在x軸上時，橢圓的方程為1；當焦點在y軸上時，橢圓的方程為1.綜上可知C的方程為1或1.【方法規(guī)律】用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟(1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能；(2)設方程：根據(jù)上述判斷設方程1(a>b>0)，1(a>b>0)或mx2ny21(m>0，n>0)；(3)找關系：根據(jù)已知條件，建立關于a，b，c或m，n的方程組；(4)得方程：解方程組，將解代

3、入所設方程，即為所求注意：用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量”，不能確定焦點的位置時，可進行分類討論或把橢圓的方程設為mx2ny21(m>0，n>0).1已知ABC的頂點B，C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是()A2 B 6 C4 D122 / 9解析：選C根據(jù)橢圓定義，ABC的周長等于橢圓長軸長的2倍，即4.2(2012·山東高考)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.

4、1 D.1解析：選D橢圓的離心率為，a2b.橢圓的方程為x24y24b2.雙曲線x2y21的漸近線方程為x±y0，漸近線x±y0與橢圓x24y24b2在第一象限的交點為，由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為b×b4，b25，a24b220.橢圓C的方程為1.考點二橢圓的幾何性質(zhì)及應用 例2(1)已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓x22y22的左、右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D2 (2)(2013·遼寧高考)已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF

5、.若|AB|10，|AF|6，cosABF，則C的離心率e_.自主解答(1)設P(x0，y0)，則(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.點P在橢圓上，0y1，當y1時，|取最小值為2. (2)如圖，設右焦點為F1，|BF|x，則cosABF.解得x8，故AFB90°.由橢圓及直線關于原點對稱可知|AF1|8，且FAF190°，F(xiàn)AF1是直角三角形，|F1F2|10，故2a8614，2c10，e.答案：(1)C(2)【方法規(guī)律】1利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點及技巧(1)注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關系在求與橢圓有關的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經(jīng)常用

6、到橢圓標準方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關系(2)利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧求解與橢圓幾何性質(zhì)有關的問題時，要結合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系2求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據(jù)題設得出一個關于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，F(xiàn)1AF260°.(1)求橢圓C的離心率；(2)已知AF1B的面積為40，求a，b的值解：(1)由題意

7、可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直線AB的方程為y(xc)將其代入橢圓方程3x24y212c2，得B.又A(0，c)，所以|AB| c.由SAF1B|AF1|·|AB|sin F1ABa·c·a240，解得a10，c5，則b275，即b5.法二：設|AB|t.因為|AF2|a，所以|BF2|ta.由橢圓定義|BF1|BF2|2a，可知|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60°，可得ta.由SAF1B|AF1|·|AB|·sinF1ABa·a

8、3;a240，解得a10，則c5，b5.高頻考點考點三 直線與橢圓的綜合問題1直線與橢圓的綜合問題，是近年來高考命題的熱點，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較高，多為中檔題2高考對直線與橢圓的綜合問題的考查主要有以下幾個命題角度：(1)已知某條件，求直線的方程；(2)求三角形(或其他幾何圖形)的面積；(3)判斷幾何圖形的形狀；(4)弦長問題；(5)中點弦或弦的中點問題例3(2013·浙江高考)如圖，點P(0，1)是橢圓C1：1(a>b>0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2y24的直徑l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另

9、一點D.(1)求橢圓C1的方程；(2)求ABD面積取最大值時直線l1的方程自主解答(1)由題意得所以橢圓C1的方程為y21.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由題意知直線l1的斜率存在，不妨設其為k，則直線l1的方程為ykx1.又圓C2：x2y24，故點O到直線l1的距離d，所以|AB|22 .又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.設ABD的面積為S，當k0時，則D(0,1)，A(，1)，B(，1)，此時，|AB|2，|PD|2，所以S|AB|·|PD|×2×22.當k0時，由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以|PD|

10、.則S|AB|·|PD|，所以S，當且僅當k±時取等號而當k0時，S2<，故當k±時ABD面積取得最大值所以所求直線l1的方程為y±x1.直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略(1)求直線方程可依題條件，尋找確定該直線的兩個條件，進而得到直線方程(2)求面積先確定圖形的形狀，再利用條件尋找確定面積的條件，進而得出面積的值(3)判斷圖形的形狀可依據(jù)平行、垂直的條件判斷邊角關系，再依據(jù)距離公式得出邊之間的關系(4)弦長問題利用根與系數(shù)的關系、弦長公式求解(5)中點弦或弦的中點一般利用點差法求解，注意判斷直線與方程是否相交(2013·重慶高考)

11、如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A，A兩點，|AA|4.(1)求該橢圓的標準方程；(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P，P，過P，P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外求PPQ的面積S的最大值，并寫出對應的圓Q 的標準方程解：(1)設橢圓方程為1(a>b>0)，由題意知點A(c,2)在橢圓上，則1.從而e21.由e，得b28，從而a216.故該橢圓的標準方程為1.(2)由橢圓的對稱性，可設Q(x0,0)又設M(x，y)是橢圓上任意一點，則|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8×(x2x0)2x8(x4

12、,4)設P(x1，y1)，由題意知，點P是橢圓上到點Q的距離最小的點，因此，上式當xx1時取最小值，又因x1(4,4)，所以上式當x2x0時取最小值，從而x12x0，且|QP|28x.由對稱性知P(x1，y1)，故|PP|2y1|，所以S|2y1|x1x0|×2 |x0|× × 當x0±時，PPQ的面積S取到最大值2.此時對應的圓Q的圓心坐標為Q(±，0)，半徑|QP|，因此，這樣的圓有兩個，其標準方程分別為(x)2y26，(x)2y26.課堂歸納通法領悟1個規(guī)律橢圓焦點位置與x2，y2系數(shù)之間的關系給出橢圓方程1時，橢圓的焦點在x軸上a>b>0；橢圓的焦點在y軸上0<a<b.1種思想數(shù)形結合思想在橢圓幾何性質(zhì)中的運用求解與橢圓幾何性質(zhì)有關的問題時要結合圖形進行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形當涉及到頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系2種方法求橢圓標準方程的方法(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在x軸還是y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出橢圓的標準方程3種技巧與橢圓性質(zhì)