縮放圓法巧解磁場中粒子運動的臨界問題

1、課程信息高中物理縮放圓法巧解磁場中粒子運動的臨界問題編稿老師劉汝發(fā)校楊雪二校黃楠審核王紅仙uu£瀕學(xué)刃目標(biāo)憨學(xué)目楠瞞矢】、考點突破:知識點考綱要求題型說明縮放圓法巧 解磁場屮粒 子運動的臨 界問題1. 進(jìn)一步熟悉粒了在磁 場中做圓周運動的圓 心、半徑，及軌跡的確 定方法;2. 理解縮放圓法確定臨 界的技巧;乙3. 理解移動圓法確定臨 界的技巧。選擇題、計算題本知識點屬于高考重點難點,縮 放圓和旋轉(zhuǎn)圓是確定臨界非常有 效的方法，在考杳同學(xué)們想象能 力的同吋，也考查了數(shù)學(xué)運算能 力，因此高考命題者対這種方法 情有獨鐘。二、重難點提示：重點：1.粒子在磁場中做岡周運動的圓心、半徑及軌跡的確

2、定方法；2. 縮放圓法和移動圓法確定臨界的技巧。難點：縮放圓法和移動圓法確定臨界的技巧。e wfc驀點翻爾帶電粒子在有界磁場中的運動這類問題綜合性較強，解答時既要用到物理中的洛倫茲力、圓周運動的知識，又要用到 數(shù)學(xué)中的平面幾何中圓及解析幾何知識。1. 一個基本思路：定圓心、找半徑、畫軌跡、求時間（1）圓心的確定：因為洛倫茲力f指向圓心，根據(jù)f丄v畫出粒子運動軌跡中任意兩 點（-般是射入和射出磁場兩點）的f的方向，沿兩個洛倫茲力f畫其延長線，兩延長線 的交點即為圓心；或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置。（2）半徑的確定和計算：qvb = m, r=rbq或是利用平面幾何關(guān)系，

3、求出該圓的可能半徑（或圓心角）。（3）粒子在磁場中運動時間的確定：山公式t = 匝,t = t或/=空?？汕蟪隽Ｗ釉诖艌鲋械倪\動時間。qb2 兀v2. 兩個重要結(jié)論（1）如下圖，帶電粒子以速度v指向圓形磁場的圓心入射，出磁場時速度方向的反向 延長線肯定經(jīng)過圓形磁場的圓心。(2)粒了從圓形磁場邊界上某一點射入磁場區(qū)域，若粒子軌道半徑和磁場半徑相同， 則粒子飛出磁場吋速度方向相同；反z若從圓形磁場邊界平行射出，則粒子的軌道半徑和圓 形磁場半徑相同二、解決帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題的兩種方法1. 軌跡圓的縮放當(dāng)入射粒子的入射方向不變而速度大小可變時，粒子做圓周運動的圓心一定在入射點所 受洛倫

4、茲力所表示的射線上，但位置(半徑r)不確定，用圓規(guī)作出一系列人小不同的軌跡 圖，從圓的動態(tài)變化中即可發(fā)現(xiàn)“臨界點如下圖：2. 軌跡圓的旋轉(zhuǎn)當(dāng)粒了的入射速度人小確定而方向不確定時,所有不同方向入射的粒了的軌跡圓是一樣 大的，只是位置繞入射點發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，從定圓的動態(tài)旋轉(zhuǎn)中，也容易發(fā)現(xiàn)“臨界點=如下圖：liw典例骷臨慎麗刪瞬贈?例題1如圖所示，止方形abed區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，o點是cd邊的 屮點。一個帶正電的粒子（重力忽略不計）若從0點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方 形內(nèi)，經(jīng)過時間to剛好從c點射出磁場?，F(xiàn)設(shè)法使該帶電粒了從0點沿紙面以與od成30。 角的方向（如圖中虛線所示），

5、以各種不同的速率射入正方形內(nèi)，那么卜冽說法中疋確的是 （ ）a. 該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點射出磁場b. 若該帶電粒子從ab邊射出磁場，它在磁場小經(jīng)歷的時間可能是sc. 若該帶電粒子從be邊射出磁場，它在磁場屮經(jīng)歷的時間可能是如2d. 若該帶電粒子從cd邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)丿力的時間一定是3思路分析：隨粒子速度逐漸增大，軌跡由t一依次漸變，由圖可知粒子從四 個邊射出時，射出范圍分別為og、fe、dc、baz間，不可能從四個頂點射出，故a正 確；當(dāng)粒子從o點沿紙面垂直于cd邊射入正方形內(nèi)，軌跡恰好為半個圓周，即吋間to剛好 為半周期，從ab邊射出的粒子所用時間小于半周期（t

6、76;）,從be邊射出的粒子所用時間小2 45t5于土周期（t0）,所冇從cd邊射出的粒了圓心角都是300°,所用時間為（即-t0）,3 363故b、c錯誤，d正確。答案：ad例題2電子質(zhì)量為2,電荷量為從坐標(biāo)原點。處沿歡為平面射入第一象限，射入 時速度方向不同，速度人小均為"0，如圖所示?，F(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外l垂直于xoy 平面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為b,若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏m/v上，熒 光屏與y軸平行，求：（1）熒光屏上光斑的長度；（2）所加磁場范圍的最小而積。思路分析：木題可先作岀這些射入第一象限的電子做圓周運動的軌道圓心的集合，必在 弧上（如下

7、圖所示），然后設(shè)想以該弧上的各點（如圖中的q等四點）為圓心作出粒了運動的軌跡，最終垂 臣射到mn上的pq間，所以熒光屏上光斑的長度即為pq=r=mvq/eb；所加磁場范圍即為 圖中由弧004。3。所用的區(qū)域，其屮弧。3。4可看成是由弧。1。2向上平移r得到的。（1）如圖所示，求光斑長度，關(guān)鍵是找到兩個邊界點，初速度方向沿x軸正方向的電 子，沿弧ob運動到p；初速度方向沿y軸正方向的電子，沿弧oc運動到q,電子在磁場中的半徑讐由圖可知pg* =醫(yī)（2）沿任一方向射入第一象限的電了經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)示都能垂直打到熒光屏mn上，所加 最小面積的磁場的邊界是以ct （0, r）為圓心，r為半徑的圓的一部分，如

8、圖屮實線所示, 所以磁場范圍的最小面積為答案：（1）s = -nr24-r2-7ir44（分1）（即2 be屐外華朋倉璋】【易錯警示】靜摩擦力和洛倫茲力參與情況下的臨界問題要點1. 能否相對滑動的依據(jù)是兩物體間摩擦力是否達(dá)到最大值。2. 洛倫茲力通常會影響最大靜摩擦力，但不一定影響靜摩擦力。3. 常見的幾種臨界：（1）恰好滑動；（2）恰好勻速；（3）恰好無摩擦力。滿分訓(xùn)練：如圖所示，一根不光滑的長豎直絕緣桿，套有一個質(zhì)量為m,帶正電q的小 球，勻強電場e 勻強磁場b互相垂直，e和b都與桿垂直，當(dāng)小球由靜止開始下落后（ ）a. 小球加速度不斷減小，最后為零b. 小球加速度先增加后減小，最后為零c

9、. 小球速度先增加后減小，最后為零d. 小球動能不斷增大，直到達(dá)到某一最大值思路分析：小球下滑過程屮，受到重力、摩擦力（可能有）、彈力（可能有）、向右的 洛倫茲力、向右的電場力，開始階段，摩擦力小于重力時，小球向下做加速運動時，速度增 大，洛倫茲力增大，小球所受的桿的彈力向左，大小為n=qe+qvb, n隨著v的增大而增大, 滑動摩擦力&1n也增大，小球所受的合力f =mg-f, f增人，f合減小，加速度a減??；當(dāng) 合力等于重力時，加速度最小為零；此時小球速度達(dá)到最人，以示小球?qū)⒆鰟蛩龠\動，故選 項ad正確，bc錯誤。答案：ad（答題時間：30分鐘）1. 如圖所示，o點處有一粒了源，在

10、某時刻發(fā)射人量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的 粒了，它們的速度人小相等、速度方向均在xoy平而內(nèi)，在直線x=a與x=2a之間存在垂 直于xoy平面向外的磁感應(yīng)強度為b的勻強磁場，與y軸正方向成60。角發(fā)射的粒子恰好垂 肓于磁場右邊界射出，不計粒了的重力和粒了間的相互作用力.關(guān)于這些粒了的運動，下列 說法正確的是（）a. 粒子的速度大小為絲些mb. 粒子的速度大小為凹mc. 與y軸正方向成120。角射出的粒子在磁場中運動的吋間最長d. 與y軸正方向成90。角射出的粒子在磁場中運動的時間最長2. 如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)侑一垂肓紙面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為b，p為磁場 邊界上的一點，相同的帯正電

11、荷粒子，以相同的速率從p點射入磁場區(qū)域，速度方向沿位于紙血內(nèi)的各個方向，這些粒子射出邊界的位置均處于邊界的某一段弧上，這段圓弧的弧長是圓周長的'o若將磁感應(yīng)強度的大小變?yōu)閎2,結(jié)果相應(yīng)的弧長變?yōu)閳A周長的"，不計粒34了的垂力和粒了間的相互影響，則邑等于（）b.2d.3a.43. 如圖所示，在一個邊長為/的菱形區(qū)域內(nèi)，冇垂直于紙面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小 為b,菱形的一個銳角為60%在菱形中心有一粒子源s,向紙而內(nèi)各個方向發(fā)射速度大小 相同的同種帶電粒了，這些粒了電量為q、質(zhì)量為m。如果要求菱形內(nèi)的所冇區(qū)域都能夠冇 粒了到達(dá)，則下列粒了速度能夠滿足要求的冇（）a如2m6mc.

12、 旳d.旳2mm4. 如圖所示，以直角三角形aoc為邊界的有界勻強磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強度為b, za=60° , ao=l,在0點放置一個粒子源，可以向各個方向發(fā)射某種帶負(fù)電粒子。己知粒子的比荷為 2,發(fā)射速度大小都為v嚴(yán)業(yè)。設(shè)粒了發(fā)射方向與oc邊的夾角為&,不計粒了間相互 mm作用及重力。對于粒子進(jìn)入磁場后的運動，下列說法正確的是（）a. 當(dāng)& =45°時，粒子將從ac邊射出b. 所有從oa邊射出的粒子在磁場中運動時間相等c. 隨著0角的增大，粒子在磁場中運動的時間先變?nèi)撕笞冃. 在ac邊界上只有一半?yún)^(qū)域有粒子射岀5. 如圖所示，在x>0、y>

13、0的空間中有恒定的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的方向垂直于xoy平 面向里，大小為b,現(xiàn)有一一質(zhì)最為m、電最為q的帶正電粒了，從在x軸上的某點p沿著與 x軸成30。角的方向射入磁場。不計重力影響，則下列說法中正確的是（）rxxxxx 1xxxxxxxxx*xxxxxxxxxx-xxxa. 粒子在磁場小運動所經(jīng)歷的時i'可可能為凹3bqb. 粒了在磁場中運動所經(jīng)歷的時間可能為如2bq77777c. 粒子在磁場中運動所經(jīng)歷的時間可能為bqd. 粒子一定不能通過坐標(biāo)原點6. 如圖所示，在豎直放置的金屬板m上放一個放射源c,可向紙而內(nèi)各個方向射出速率 均為v的q粒子，p是為金屬板m平行的足夠大的熒光屏

14、，到m的距離為d,現(xiàn)在p少金 丿成板m間加上垂直紙面的勻強磁場，調(diào)整磁感應(yīng)強度的大小，恰使沿m板向上射出的a粒子剛好垂直打在熒光屏上。若g粒子的質(zhì)量為m,電荷量為2e。則（）a.磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強度酗人小為第b磁場方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強度b的大小為爲(wèi)c. 在熒光屏上能觀察到的亮斑區(qū)的長度為2dd. 在熒光屏上能觀察到的亮斑區(qū)的長度為3d7. 如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙血向內(nèi)的勻強磁場，三個質(zhì)量和電荷量都相同的帶電 粒子a、b、c,以不同的速率対準(zhǔn)圓心0沿著ao方向射入磁場，其運動軌跡如圖，若帶電 粒了只受磁場力的作用，則下列說法錯誤的是（）a. 三個粒子都帶正電荷b. c粒子

15、速率最小c. c粒子在磁場中運動時間最短d. 它們做圓周運動的周期ta =tb =tc&如圖所示，半徑為廠的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為b, 磁場邊界上a點有一粒子源，源源不斷地向磁場發(fā)射各種方向（均平行于紙血）且速度大 小相等的帶正電的粒子（重力不計），已知粒子的比荷為速度大小為2kbr o則粒子在 磁場中運動的最長時間為（）兀兀兀兀a.b.c.d.kb2kb3kb4kb9.如圖甲，真空中豎肓放置兩塊相距為d的平行金屬板p、q,兩板間加上如圖乙所示， 最大值為u。的周期性變化的電壓，在q板右側(cè)某個區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強度大小為b、方向 垂直于紙而向里的有界勻強磁場

16、，在緊靠p板處有一粒子源a, 口 t=0開始連續(xù)釋放初速不 計的粒了，經(jīng)一段時間從q板小孔o射入磁場，然示射出磁場，射出時所有粒了的速度方 向均豎直向上，已知電場變化周期t=2d如,粒子質(zhì)量為m,電荷量為+q,不計粒子 重力及相互間的作用力。求:q o.srn.5r27審乙(1) t=0時刻釋放的粒子在p、q間運動的時間;(2) 粒了射入磁場時的最人速率和最小速率；(3) 有界磁場區(qū)域的最小面積。天行健，君子以自強不息。4昨團試題巻樂/77 v1.ac解析：粒子在磁場中受洛倫茲力作用，做勻速圓周運動，qvb=,由題意：r與y軸正方向成60。角發(fā)射的粒了恰好垂直于磁場右邊界射出，說明該方向上的粒

17、了勻速閲 周運動的圓心正好在2a點處，山兒何關(guān)系可得：rcos60°=a:所以勻速圓周運動的半徑r=2a,所以粒子的速度 qbr = 2aqb ,故人正確，b錯誤；而粒子在磁場屮運動的時間由圓心角決定，根據(jù) m m圓的對稱性門j知，粒子與y軸正方向成120。角射出時在磁場中運動對應(yīng)的圓心角最大，故 運動時間越長，故c正確，d錯謀，故選ac。2.c解析：設(shè)磁場所在関的半徑為匚則磁感應(yīng)強度為b時，從p點射入的粒了與磁場邊界的最遠(yuǎn)交點為m,披遠(yuǎn)的點是軌跡上直徑與磁場邊界圓的交點，即打到圓弧上的粒子在pm之間,則zpom=120°,如圖所示:所以粒了做圓周運動的半徑r為:r = r

18、 sin 60°2同理，磁感應(yīng)強度為b2吋，從p點射入的粒子與磁場邊界的最遠(yuǎn)交點為n,最遠(yuǎn)的點 是軌跡上直徑與磁場邊界圓的交點，zpon=90°,如圖所示；所以粒子做圓周運動的半徑卍 為:r= rf由帶電粒子做圓周運動滿足bqv = m ,則得：屍=r =旦 故選c。2rb、r 2mv23. ad解析：粒了在磁場屮做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律，有：qvb=，解mv得：r = 則速度越大，軌道半徑越大；臨界軌跡是軌跡經(jīng)過菱形的上頂點（或下頂點） qbr與邊相切，如圖所示：昨團臨界軌跡對應(yīng)的圓心角為60。，故軌道半徑為:要想菱形內(nèi)的所有區(qū)域都能夠有粒子到達(dá)，則cr；聯(lián)立解得

19、：故ad正確，bc錯誤；故選ad。 2m4. ad解析：粒子在磁場中運動的半徑為r二如=厶，當(dāng)0=45°時，由幾何關(guān)系可知,qb粒子將從ac邊射出，選項a正確；所有從oa邊射出的粒子在磁場中運動時所對應(yīng)的弧長 不相等，故時間不相等，選項b錯誤；當(dāng)0=0。飛入的粒子在磁場中，粒了恰好從ac中點 飛出，在磁場屮運動時間也恰好是當(dāng)8=60。飛入的粒子在磁場屮運動時間恰好也是丁，6 6 是在磁場中運動時間最氏，故0從0。到60。，粒了在磁場中運動時間先減小后增大，當(dāng)0從 60。增人到90。過程中，粒了從oa邊射出，此時在磁場中運動的時間逐漸減小，故c錯込 當(dāng)0=0。飛入的粒子在磁場屮，粒子恰

20、好從ac中點飛出，因此在ac邊界上只有一半?yún)^(qū)域有 粒子射出，故d正確；故選ad。27z7775. acd解析：粒了在磁場中運動的周期為廠=；由于p點的位置不定，所以粒了qb在磁場中的運動闘弧對應(yīng)的闘心角也不同，當(dāng)粒了從p點射入，并能從x軸上射出時，軌跡 st s7tit1對應(yīng)的圓心角最大，此時的圓心角為300%則運動的吋間為t = = ；而最小的圓心6 3qb t 2 龍777角為p點從坐標(biāo)原點出發(fā)，圓心角為120。,所以運動時間,故粒子在磁場屮 3 3qb運動所經(jīng)歷的時間為<r<,選項ac正確，b錯詵 粒了由p點成30。角入射,3qb 3qb則圓心在過p點與速度方向垂直的方向上，

21、粒子在磁場中要想到達(dá)o點，轉(zhuǎn)過的圓心角肯 定人于180°,而因磁場為有界，故粒了不可能通過坐標(biāo)原點，故d正確。6. bc解析：因為沿m板向上射出的。粒子剛好垂直打在熒光屏上，由左手定則可判斷 y2mv磁場方向垂直紙面向外，粒子的運動半徑為r=d，根據(jù)b 2e v = m ，解得:b= ,rled選項a錯謀，b正確；沿m板向上射出的0粒子，打到屏上時最遠(yuǎn)距離為d,同樣沿m板 向下射出的q粒了，打到屏上時授遠(yuǎn)距離也為d,所以在熒光屏上能觀察到的亮斑區(qū)的長度為2d,選項che確，d錯誤；故選bc。7. b解析：從圖屮可得三個粒子都向上偏轉(zhuǎn)，受到向上的洛倫茲力，所以根據(jù)左手定則 可得三個粒了都帶正電，a正確；因為三個粒了的電荷量、質(zhì)量都相同，又是在同一個勻強 /77v磁場屮運動，所以根據(jù)公式r=nj得半徑越大，速度越大，故。粒子的速度最大，b錯bq0.7tjv誤；根據(jù)公式t =