第3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分62336

1、1定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某一一 第三節(jié)第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx xyxfyxxfx ),(),(lim00000，00yyxxxz .00yyxxxz 或或增增量量x 時時，如如果果極極限限 處對處對x的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，記為，記為 2類似類似可定義可定義函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對 y 的偏的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，為為 yyxfyyxfy ),(),(lim00000偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)：記為記為，00yyxxyz .00yyx

2、xyz 或或,yzxz .yxzz ，或或2.2.偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù).說明說明：1.1.偏導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上仍然是一元函數(shù)的微分問題偏導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上仍然是一元函數(shù)的微分問題. . 3一階偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是: 表示曲面z=f(x,y)與平面y=y0的交線在空間點m0(x0,y0,f(x0,y0)處的切線tx的斜率，如圖所示.00(,)xfxy4 表示曲面z=f(x,y)與平面x=x0的交線在空間點m0(x0,y0,f(x0,y0)處的切線ty的斜率，如圖所示.00(,)yfxy5求求 223yxyxz 在在點點)2 , 1(處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)

3、數(shù)數(shù) 解解 xz,32yx yz,23yx ，821 yxxz.721 yxyz例例1 16設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx， 證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 所以原結(jié)論成立所以原結(jié)論成立例例2 2求求證證 zyzxxzyx2ln1 . 7解解例例3 3.)arctan(偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)求求的的zyxu ；zzyxyxzxu21)(1)( ；zzyxyxzyu21)(1)( .)(1)ln()(2zzyxyxyxzu 8設(shè)設(shè) 223arctan)2(),(yxxyxxyyxf , ,求求)1, 2(yf . . 此題若

4、先求出此題若先求出),(yxfy , ,再代入再代入, ,則麻煩則麻煩. . 解解例例4 4.6)1 , 2( yf，26), 2(yyfy ，32), 2(yyf 9求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義定義求求.解解xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0，0 .0)0 , 0( yf例例5 5同理同理, ,xx 00lim0，設(shè)設(shè) 0 , 0 0 ,),(222222yxyxyxxyyxf).0 , 0( ),0 , 0(yxff 求求10多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存

5、在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,已已經(jīng)經(jīng)求求得得，0)0 , 0()0 , 0( yxff. 但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).11二、全微分二、全微分回顧：回顧：如如果果對對一一元元函函數(shù)數(shù)),(xfy ,)(0可可微微在在點點則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxfy , )( xoxay )0( x)()(00 xfxxfy 能表示成能表示成的的微微分分為為并并且且稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy ,ddxaxay 實際上實際上, )(xfa .d)(dxxfy

6、即即12二元函數(shù)的可微性和全微分二元函數(shù)的可微性和全微分定義定義二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx處處的的全全增增量量 ),(),(0000yxfyyxxfz 如果可以表示為如果可以表示為 )0( )( oybxaz其其中中ba,與與yx ,無無關(guān)關(guān), ,22yx , , 則則稱稱),(yxfz 在在點點),(00yx處處可可微微分分, ,而而 ybxa 稱稱為為),(yxfz 在在),(00yx處處的的全全微微分分, ,記記為為 zd, ,即即 ybxaz d13如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx可可微微分分，則則函函數(shù)數(shù)在在該該點點必必有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)

7、數(shù)),(),(0000yxfyxfyx ，且且 ),( ),(0000yxfbyxfayx 證證，)( oybxaz 令令 0 y， 則則| x , xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000同理可得同理可得. ),(00yxfby xxoxax |)(|lim0,a 可微可微 可偏導(dǎo)可偏導(dǎo) 定理定理1 1yyzxxzzddd 14.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在點點)0 , 0(處處有有 0)0 , 0()0 , 0( yxff, )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 注注：可偏導(dǎo)不一定可微：可偏導(dǎo)不一定可微, ,見

8、下面反例見下面反例. . 22220/limyxyxyxxyx 220limxxxxx 21 ，0 所以所以，)()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 即即),(yxf在在) 0 , 0(處處不不可可微微. . 15如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx可微可微分分, 則函數(shù)在該點連續(xù)則函數(shù)在該點連續(xù). 事實上事實上, )( oybxaz 若若,0lim0 z 則則),(lim00)0, 0(),(yyxxfyx ),(lim000zyxf ，),(00yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx處處連連續(xù)續(xù). 即即證明證明可微可微 連續(xù)連續(xù) 定理定理2

9、 216定理定理3 3 這個定理給出了二元函數(shù)在一點處可微的充分這個定理給出了二元函數(shù)在一點處可微的充分條件，證明從略條件，證明從略. . 上述定理均不可逆上述定理均不可逆. .17多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可偏導(dǎo)函數(shù)可偏導(dǎo)18yyzxxzzddd 全微分的計算公式：全微分的計算公式：二元函數(shù)的微分法則：二元函數(shù)的微分法則：設(shè)設(shè)),(),(yxvyxu可微，可微，則則 ,dd)(dvuvu ,dd)(dvuuvvu )0( dd)(d2 vvvuuvvu19求求22yyxz 的的全全微微分分. . 解解例

10、例6 6，xyxz2 ，yxyz22 .d)2(d2d2 yyxxxyz 所所以以20例例7 7求求221lnyxz 在在)1, 1(處處的的.dz 解解,)1ln(2122yxz yyzxxzzddd ,d1d12222yyxyxyxx . )d(d31d 11yxzyx 所所以以21例例8 8解解,)e1(exyzxyzyzyzyzxu ,)e1(xyzxzyu ,)e1(xyzxyzu 所以所以.)ddd)(e1(dzxyyxzxyzuxyz 22全微分在近似計算中的應(yīng)用全微分在近似計算中的應(yīng)用若若函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx可可微微分分，即即 ),(),(0000yxfyyxxfz )0( )(),(),(0000 oyyxfxyxfyx當當|,|yx 充充分分小小時時， yyxfxyxfzzyx ),(),(d000023例例9 9解解,),( yxyxfz 令令, )2, 1(),(00 yx,03. 0 x,02. 0 y,2)2, 1()2, 1(1 yxxyf,0ln)2, 1()2, 1( xxfyy,1)2, 1( f所以所以yfxffyx )2, 1()2, 1()2, 1()97. 0(02. 202. 00)03. 0(21 .94. 0