第四章 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(2013)

1、14.1 穩(wěn)定性基本概念穩(wěn)定性基本概念4.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義 4.3 李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法4.4 李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法4.5 線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法第四章第四章 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析李雅普諾夫穩(wěn)定性分析4.6構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一些方法構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一些方法21.正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普諾夫意義穩(wěn)正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普諾夫意義穩(wěn)定性概念。定性概念。2.熟練掌握李氏第一法熟練掌握李氏第一法,李氏第二法。李氏第二法。3.掌握線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析和離散系統(tǒng)漸近掌握線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析和離散

2、系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析方法。穩(wěn)定性分析方法。重點(diǎn)內(nèi)容：重點(diǎn)內(nèi)容： 李雅普諾夫第一、第二法的主要定義與定理，李雅普諾夫第一、第二法的主要定義與定理，李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造。李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造。線性定常系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理與判別線性定常系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理與判別李雅普諾夫方程，漸近穩(wěn)定性的分析與判別。李雅普諾夫方程，漸近穩(wěn)定性的分析與判別。3v研究的目的和意義研究的目的和意義:穩(wěn)定性是自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性是自動(dòng)控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是一個(gè)重要特征。正常工作的必要條件，是一個(gè)重要特征。v要求：要求：在受到外界擾動(dòng)后，雖然其原平衡在受到外界擾動(dòng)后，雖然其原平衡狀態(tài)被打破，但在擾動(dòng)消失后，仍

3、然能恢狀態(tài)被打破，但在擾動(dòng)消失后，仍然能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡狀態(tài)繼續(xù)工作。狀態(tài)繼續(xù)工作。v穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：系統(tǒng)在受到小的外界擾動(dòng)后，系系統(tǒng)在受到小的外界擾動(dòng)后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用無(wú)統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用無(wú)關(guān)。關(guān)。4v經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：勞斯判據(jù)，勞斯判據(jù)，奈魁斯特判據(jù)，對(duì)數(shù)判據(jù)。奈魁斯特判據(jù)，對(duì)數(shù)判據(jù)。 v非線性系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)：相平面法相平面法(適用于一，二階非線適用于一，二階非線性系統(tǒng)性系統(tǒng))v1892年，俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性年，俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性定

4、理采用了狀態(tài)向量來(lái)描述，適用于單變量，定理采用了狀態(tài)向量來(lái)描述，適用于單變量，線性，非線性，定常，時(shí)變，多變量等系統(tǒng)。線性，非線性，定常，時(shí)變，多變量等系統(tǒng)。v應(yīng)用：自適應(yīng)控制，最優(yōu)控制，非線性控制應(yīng)用：自適應(yīng)控制，最優(yōu)控制，非線性控制等。等。5主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：李雅普諾夫第一法（間接法）李雅普諾夫第一法（間接法） 利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，它適用于線性定常、線性時(shí)變及可線性方法，它適用于線性定常、線性時(shí)變及可線性化的非線性系統(tǒng)。化的非線性系統(tǒng)。李雅普諾夫第二法（直接法）李雅普諾夫第二法（直接法） 直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，利用經(jīng)驗(yàn)和技巧構(gòu)造

5、直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，利用經(jīng)驗(yàn)和技巧構(gòu)造一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)V(x)，根據(jù)，根據(jù) 符號(hào)性質(zhì)判符號(hào)性質(zhì)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性斷系統(tǒng)穩(wěn)定性-對(duì)任何系統(tǒng)都適用。對(duì)任何系統(tǒng)都適用。)(xV64.1 穩(wěn)定性基本概念穩(wěn)定性基本概念 1.自治系統(tǒng)：自治系統(tǒng)：輸入為輸入為0的系統(tǒng)的系統(tǒng) 2.初態(tài)初態(tài) 的解為的解為 初態(tài)初態(tài) 3.平衡狀態(tài)：平衡狀態(tài)： 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)系統(tǒng)的平衡狀態(tài) a.線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) A非奇異：非奇異： A奇異：奇異： 有無(wú)窮多個(gè)有無(wú)窮多個(gè)) 0( uBuAxx ),( txfx00( ;, )x t x t0000),(xtxtx0),(txfxeeexAxx nRx00eexAx 0

6、eAxex7b.非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 可能有多個(gè)可能有多個(gè) 例例4-1: 令令 0),(txfxeex3221211xxxxxx01x 02x 001ex102ex103ex8n 孤立的平衡狀態(tài)：孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分在某一平衡狀態(tài)的充分小的鄰域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。小的鄰域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。n 對(duì)于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)對(duì)于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，把它變換到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。的坐標(biāo)變換，把它變換到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。所以討論零平衡狀態(tài)所以討論零平衡狀態(tài) 的穩(wěn)定性具有普的穩(wěn)定性具有普遍意義。遍意義。 0ex94.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫穩(wěn)定性的

7、定義 1.李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定如果對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)如果對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù) 都對(duì)應(yīng)存在另一都對(duì)應(yīng)存在另一個(gè)實(shí)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù) 滿足滿足00),(0t),(00txxe的任意初始態(tài)的任意初始態(tài) 出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡0 x00( ;, )x t x t，在，在 都滿足：都滿足：t000( ;, ) , ex t x txtt則稱則稱 xe 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。10時(shí)變系統(tǒng)：時(shí)變系統(tǒng)： 與與 有關(guān)有關(guān) 定常系統(tǒng)：定常系統(tǒng)： 與與 無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)， 是一致穩(wěn)定的。是一致穩(wěn)定的。注意：注意： 向量范數(shù)向量范數(shù)(表示空間距離表示空間距離) 歐幾里得范數(shù)。歐幾里得范數(shù)。e

8、x0t0t 212021100)()(neneexxxxxx112.漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定1）xe是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定2） 一致漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定3.大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定對(duì)于對(duì)于 都有都有00lim( ;, )0etx t x tx無(wú)關(guān)與0t)(0sx 00lim( ;, )0etx t x tx12x ( ),sex初始條件擴(kuò)展到整個(gè)空間，且是漸近穩(wěn)定性。初始條件擴(kuò)展到整個(gè)空間，且是漸近穩(wěn)定性。v線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)(嚴(yán)格嚴(yán)格)：如果它是漸近穩(wěn)定的，必如果它是漸近穩(wěn)定的，必 是有大范圍漸近穩(wěn)定性是有大范圍漸近穩(wěn)定性(線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初 始條件的大

9、小無(wú)關(guān)始條件的大小無(wú)關(guān))。v非線性系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)：只能在小范圍一致穩(wěn)定，由狀只能在小范圍一致穩(wěn)定，由狀 態(tài)空間出發(fā)的軌跡都收斂態(tài)空間出發(fā)的軌跡都收斂 或其附近?；蚱涓浇?。大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定13v 當(dāng)當(dāng) 與與 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) 大范圍一致漸近穩(wěn)定。大范圍一致漸近穩(wěn)定。v 必要條件：必要條件：在整個(gè)狀態(tài)空間中只有一個(gè)平在整個(gè)狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡狀態(tài)衡狀態(tài) 。 v 不穩(wěn)定性：不穩(wěn)定性：不管不管 ， 有多小，只要有多小，只要 4. 內(nèi)由內(nèi)由 出發(fā)的軌跡超出出發(fā)的軌跡超出 以外，則以外，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。0tex)(s0 x)(s14 線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定線性系

10、統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定 表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。 非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定 只說(shuō)明軌跡只說(shuō)明軌跡離開了離開了S( ），這說(shuō)明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。），這說(shuō)明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。然而卻不能說(shuō)明軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，這是因?yàn)槿欢鴧s不能說(shuō)明軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，這是因?yàn)檐壽E還可能趨于在軌跡還可能趨于在S( ）外的某個(gè)極限環(huán)）外的某個(gè)極限環(huán),若存在若存在極限環(huán)，則系統(tǒng)仍是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。極限環(huán)，則系統(tǒng)仍是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。15圖圖4.1 穩(wěn)定性的平面幾何表示穩(wěn)定性的平面幾何表示 （c）不穩(wěn)定）不穩(wěn)定性性（b）漸近穩(wěn)定性）漸近穩(wěn)定性（a）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性）

11、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性164.3 李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法（間接法）（間接法） 利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)1）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定的充要條件：）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定的充要條件： 2）漸近穩(wěn)定的充要條件：）漸近穩(wěn)定的充要條件：Axx 0)0(xx0tRe()0ini, 2 , 10)Re(i ni, 2 , 13）不穩(wěn)定的充要條件：）不穩(wěn)定的充要條件：0)Re(i 17以上討論的都是指系統(tǒng)的以上討論的都是指系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性平衡狀態(tài)穩(wěn)定性也稱也稱內(nèi)部穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性。2

12、. 外部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性(有界輸入有界輸出穩(wěn)定性有界輸入有界輸出穩(wěn)定性) 考慮一個(gè)線性定常系統(tǒng)考慮一個(gè)線性定常系統(tǒng),在零初始條件下在零初始條件下,如果對(duì)應(yīng)如果對(duì)應(yīng)于任意有界輸入于任意有界輸入u所引起的輸出所引起的輸出y均為有界，則稱該系統(tǒng)均為有界，則稱該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。是外部穩(wěn)定的。 系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性也稱有界輸入有界輸出系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性也稱有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定性。）穩(wěn)定性。 對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，外部穩(wěn)定的充要條件是外部穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部。 18例例4-2：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：已知系統(tǒng)的

13、狀態(tài)空間表達(dá)式為：試分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性。試分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性。解：解：(1)xyuxx01,1110010) 1)(1(1001AI特征值特征值:1,121故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處不是漸近穩(wěn)定的。故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處不是漸近穩(wěn)定的。19(2)11) 1)(1(111100101)()(11ssssssbAsICsG傳遞函數(shù)的極點(diǎn)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) s= -1,故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。203. 能控、能觀系統(tǒng)外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的等價(jià)能控、能觀系統(tǒng)外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的等價(jià) 所以，系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性包含了系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性，所以，系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性包含了系統(tǒng)

14、的外部穩(wěn)定性，即如果一個(gè)線性定常系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即如果一個(gè)線性定常系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則它也必是則它也必是BIBO穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。 結(jié)論：系統(tǒng)外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性等價(jià)的條件是結(jié)論：系統(tǒng)外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性等價(jià)的條件是系統(tǒng)既能控又能觀。系統(tǒng)既能控又能觀。 李雅普諾夫第一法：線性定常連續(xù)系統(tǒng)平衡狀態(tài)為李雅普諾夫第一法：線性定常連續(xù)系統(tǒng)平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)矩陣漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都具有的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部。負(fù)實(shí)部。 外部穩(wěn)定的充要條件：外部穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于左半位于左半s平面。平面。 線性定

15、常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)都包含在線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)都包含在A的的特征值中。特征值中。就單輸入單輸出系統(tǒng)解釋這一結(jié)論：就單輸入單輸出系統(tǒng)解釋這一結(jié)論： 21 這時(shí)，系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性完全等價(jià)于系統(tǒng)的內(nèi)部這時(shí)，系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性完全等價(jià)于系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。 這時(shí)，系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性也只反映了既能控又這時(shí)，系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性也只反映了既能控又能觀子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而不能反映系統(tǒng)中其它部分能觀子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而不能反映系統(tǒng)中其它部分的穩(wěn)定性。所以，系統(tǒng)的外部穩(wěn)定不能保證系統(tǒng)的的穩(wěn)定性。所以，系統(tǒng)的外部穩(wěn)定不能保證系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定內(nèi)部穩(wěn)定 。 傳遞函數(shù)出現(xiàn)零極點(diǎn)相消現(xiàn)象時(shí)，傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)出現(xiàn)

16、零極點(diǎn)相消現(xiàn)象時(shí)，傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)不等價(jià)于系統(tǒng)矩陣全部極點(diǎn)不等價(jià)于系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。系統(tǒng)的所有特征值。系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性也就不等價(jià)于系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性了。的外部穩(wěn)定性也就不等價(jià)于系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性了。 當(dāng)線性定常系統(tǒng)既能控又能觀時(shí)，傳遞函數(shù)不會(huì)當(dāng)線性定常系統(tǒng)既能控又能觀時(shí)，傳遞函數(shù)不會(huì)出現(xiàn)零極點(diǎn)相消現(xiàn)象，傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)等價(jià)于系統(tǒng)出現(xiàn)零極點(diǎn)相消現(xiàn)象，傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)等價(jià)于系統(tǒng)矩陣矩陣A的所有特征值。的所有特征值。224. 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，可用線性化系統(tǒng)的特征值開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，可用線性

17、化系統(tǒng)的特征值判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。性。 設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程：設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程： 在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 附近存在各階偏導(dǎo)數(shù)，附近存在各階偏導(dǎo)數(shù)，于是：于是： )(xfx )(xf-非線性向量函數(shù)非線性向量函數(shù)ex23()()( )eeeTx xfxf xxxg xx其中：其中：)(xg-級(jí)數(shù)展開式中二階以上各項(xiàng)之和級(jí)數(shù)展開式中二階以上各項(xiàng)之和nnnnnnTxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxf212221212111)(24v上式為向量函數(shù)的上式為向量函數(shù)的雅可比矩陣雅可比矩陣。 令令 則則非線性系統(tǒng)線性化狀態(tài)方程為非線性系統(tǒng)線性

18、化狀態(tài)方程為Tnffff21Tnxxxx21()exxf x exxxexxTxfAxA x 25結(jié)論：結(jié)論：n 若若 ，則非線性系，則非線性系統(tǒng)在統(tǒng)在 處是處是漸近穩(wěn)定的漸近穩(wěn)定的，與，與n 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。n 若若 , n 則非線性系統(tǒng)則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定不穩(wěn)定。n 若若 ，穩(wěn)定性與穩(wěn)定性與 有關(guān)，有關(guān)， n n 則是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。則是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。 Re()0ini, 2 , 1ex)(xgRe()0iRe()0jnji, 1,Re()0i)(xg0)(xg26例例4-3：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：2111xxxx2122xxxx試分析系統(tǒng)在平

19、衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。試分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。解：解：令令0021xxTeTexx1100212111xxxf2122xxxf27121211,1xxfxxf1222121,xxfxxfTex00110010, 02212211121xxxfxfxfxfA281,10) 1)(1(100121AI可見(jiàn)非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)可見(jiàn)非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe1處不穩(wěn)定。處不穩(wěn)定。0110112AxTejAI2, 120111不能確定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)不能確定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe2處穩(wěn)定性。處穩(wěn)定性。29 李雅普諾夫第二法（直接法）基本原理李雅普諾夫第二法（直接法）基本原理 ：根據(jù)物理學(xué)原理，根

20、據(jù)物理學(xué)原理，若系統(tǒng)貯存的能量（含動(dòng)能與位能）隨時(shí)間推移而衰減，系統(tǒng)遲若系統(tǒng)貯存的能量（含動(dòng)能與位能）隨時(shí)間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會(huì)到達(dá)平衡狀態(tài)。早會(huì)到達(dá)平衡狀態(tài)。 實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式相當(dāng)難找，因此李雅普諾夫引入實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式相當(dāng)難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數(shù)，稱之為李雅普諾夫函數(shù)。它與了廣義能量函數(shù)，稱之為李雅普諾夫函數(shù)。它與 及及t 有關(guān)，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，記以有關(guān)，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，記以 ；若不顯含；若不顯含t ，則記，則記以以 。 考慮到能量總大于零，故為正定函數(shù)。能量衰減特性用考慮到能量總大于零，故為正定函數(shù)。能量衰減特性用 或或 表示。表示。 實(shí)踐表明，對(duì)于大多數(shù)

21、系統(tǒng)，可先嘗試用二次型函數(shù)實(shí)踐表明，對(duì)于大多數(shù)系統(tǒng)，可先嘗試用二次型函數(shù) 作為李雅普諾夫函數(shù)。作為李雅普諾夫函數(shù)。nxx,1( , )V x t( )V xPxxT4.4 李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法(直接法直接法),(txV)(xV30v4.4.1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)31 32 33 5.V(x)不定不定: V(x) 0或或V(x)0 則則 V(x) 是不定的。是不定的。12( )V xx x如：如：34352.如果如果P是奇異矩陣，且它的所有主子行列式均非負(fù)，則是奇異矩陣，且它的所有主子行列式均非負(fù)，則PxxxVT)(是正半定的。是正半定的。3.如果如果矩陣矩陣P的的奇數(shù)階奇數(shù)階主子行列

22、式為主子行列式為負(fù)負(fù)值，值，偶數(shù)階偶數(shù)階主子行列式為正值，則主子行列式為正值，則是是負(fù)負(fù)定的。定的。 PxxxVT)(0) 1( , 0) 1(, 0) 1(21222211121122211211211nnnnnnnpppppppppppppp即即: 3637v4.4.2 幾個(gè)穩(wěn)定性定理幾個(gè)穩(wěn)定性定理 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程： 其平衡狀態(tài)滿足其平衡狀態(tài)滿足 ，假定狀假定狀態(tài)空間原點(diǎn)態(tài)空間原點(diǎn)作為平衡狀態(tài)作為平衡狀態(tài)( )，并設(shè)在原，并設(shè)在原點(diǎn)鄰域存在點(diǎn)鄰域存在 對(duì)對(duì) x 的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。),(txfx 0), 0(tf0ex),(txV38v定理定理1：若若

23、(1) 正定；正定； (2) 負(fù)定；負(fù)定； 則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) ,則系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。則系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。 說(shuō)明：說(shuō)明： 負(fù)定負(fù)定 系統(tǒng)能量隨時(shí)間連系統(tǒng)能量隨時(shí)間連續(xù)單調(diào)衰減。續(xù)單調(diào)衰減。),(txV),(txV),(txVx),(txV39v定理定理2：若若(1) 正定；正定； (2) 負(fù)半定；負(fù)半定； (3) 在非零狀態(tài)不恒在非零狀態(tài)不恒為零，為零，即對(duì)于有即對(duì)于有 ；則原點(diǎn)則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。是漸近穩(wěn)定的。說(shuō)明：條件說(shuō)明：條件(2)、(3)表示在某處會(huì)出表示在某處會(huì)出現(xiàn)但不恒為零的情況，這時(shí)系統(tǒng)現(xiàn)但不恒為零的情況，這時(shí)系

24、統(tǒng)向著向著“能量能量”越來(lái)越小方向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中越來(lái)越小方向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與某個(gè)等與某個(gè)等“能量能量”面相切，但通過(guò)切點(diǎn)面相切，但通過(guò)切點(diǎn)后并不停留而繼續(xù)趨向于最小后并不停留而繼續(xù)趨向于最小“能量能量”的平衡點(diǎn)，所以該平衡狀態(tài)仍然的平衡點(diǎn)，所以該平衡狀態(tài)仍然是漸近穩(wěn)定的。是漸近穩(wěn)定的。 ),(txV),(txV),(txV0 x( , )0Vt x0 x( , ) 0V t x0ex40v定理定理3：若若(1) 正定；正定； (2) 負(fù)半定；負(fù)半定；則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。說(shuō)明：說(shuō)明：條件（條件（2）不強(qiáng)調(diào)不）不強(qiáng)調(diào)不恒為零，意味著系統(tǒng)向著小恒為零，意味著系統(tǒng)向

25、著小“能量能量”方向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中與某個(gè)等方向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中與某個(gè)等“能量能量”面相切，但可能不再離開該等面相切，但可能不再離開該等“能能量量”面，形成有界但不具有漸近性面，形成有界但不具有漸近性的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 ),(txV),(txV),(txV41v定理定理4：若若(1) 正定；正定； (2) 正定；正定； 則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。說(shuō)明：說(shuō)明： 正定正定 能量函數(shù)隨時(shí)間增能量函數(shù)隨時(shí)間增大，大， 在在 處發(fā)散。處發(fā)散。),(txV),(txV),(txV00( ;, )x t x tex42v推論：推論：當(dāng)當(dāng) 正定，正定， 正半定，正半定，且且 在非零狀態(tài)不恒為零時(shí)在非零

26、狀態(tài)不恒為零時(shí),則原則原點(diǎn)不穩(wěn)定。點(diǎn)不穩(wěn)定。),(txV),(txV),(txV43幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：n 選取不唯一，但沒(méi)有通用辦法，選取不唯一，但沒(méi)有通用辦法，n 選取不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致選取不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致 不定的結(jié)果。不定的結(jié)果。1)2)李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理所述條件李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理所述條件都是充分條件。都是充分條件。),(txV),(txV),(txV具體分析時(shí)，先構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)具體分析時(shí)，先構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)V(x,t),通常選二次型函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)通常選二次型函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù) 再將狀態(tài)方再將狀態(tài)方),( txV程代入，最后根據(jù)程代入，最后根據(jù) 的定號(hào)性判別穩(wěn)定性。的

27、定號(hào)性判別穩(wěn)定性。),( txV44例例4-4：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。解：解：)(2221121xxxxx)(2221212xxxxx令令01x 02x 01x02x原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)45 設(shè)設(shè)則則2221)(xxxV221122)(xxxxxV22221)(2)(xxxV0)( 0.xVx)(.xV負(fù)定負(fù)定 原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的；原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的； 只有一個(gè)平衡狀態(tài)，該系統(tǒng)是大范圍漸只有一個(gè)平衡狀態(tài)，該系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定；近穩(wěn)定； 由于由于V(x)與與t 無(wú)關(guān)，又是大范圍一致漸

28、近無(wú)關(guān)，又是大范圍一致漸近穩(wěn)定。穩(wěn)定。定理定理1x2)(xxV0)(0 xVx46v幾何意義：幾何意義：)()(22212221ccxxxV等能量軌跡等能量軌跡(整個(gè)平面整個(gè)平面)1c2c),(2010 xx2x1x)(xV表示狀態(tài)表示狀態(tài)x到狀態(tài)空間原點(diǎn)距離的一種度量。到狀態(tài)空間原點(diǎn)距離的一種度量。 0)(txV0)( tx如果原點(diǎn)與瞬時(shí)狀態(tài)如果原點(diǎn)與瞬時(shí)狀態(tài)x(t)之間的距離隨之間的距離隨t的增加而連續(xù)的增加而連續(xù)地減?。吹販p?。矗?，則），則最終最終 。 47例例4-5：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。試用李雅普諾夫第二法判斷

29、其穩(wěn)定性。解：解：21xx 22212)1 (xxxx令令01x 02x 01x02x原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)48 設(shè)設(shè)則則2221)(xxxV22222211)1 (222)(xxxxxxxV)(xV負(fù)半定負(fù)半定0)(00)(0 xVxxVx反設(shè)反設(shè)0)(xV0, 0000) 1 (212212xxxxxx代入狀態(tài)方程任意及 只有平衡狀態(tài)只有平衡狀態(tài) 滿足滿足021 xx0)(xV491, 0011)2(112212xxxxxx代入狀態(tài)方程任意及這個(gè)結(jié)果是相矛盾的。所以這種情況不會(huì)這個(gè)結(jié)果是相矛盾的。所以這種情況不會(huì)發(fā)生在狀態(tài)方程的解運(yùn)動(dòng)軌跡上。發(fā)生在狀態(tài)方程的解運(yùn)動(dòng)軌跡上。綜合以上

30、分析可知綜合以上分析可知,0)(,0 xVx,x2)(xxV系統(tǒng)在平衡狀態(tài)系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe=0處是大范圍漸近穩(wěn)定的。處是大范圍漸近穩(wěn)定的。50例例4-6：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。性。解：解：1) 21xx 212xxx令令02x 01x02x01x 即原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。即原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。2221)(xxxV222)(xxV設(shè)設(shè)51則：則：0)( 0 , 0.21xVxx0)( .xV)(.xV其它任意狀態(tài)其它任意狀態(tài)負(fù)半定負(fù)半定令令0)(.xV01x02x只有全零解只有全零解0 x非零狀態(tài)時(shí)非零狀態(tài)時(shí)原點(diǎn)原點(diǎn) 是漸近穩(wěn)定，且是大范圍是漸近穩(wěn)定，且是

31、大范圍一致漸近穩(wěn)定。一致漸近穩(wěn)定。0ex定理定理20)( xV52例例4-7：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。性。解：解：設(shè)設(shè) 則則 故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。 )0( 21kkxx 12xx 021 xx 021 xx原點(diǎn)是平衡狀態(tài)原點(diǎn)是平衡狀態(tài)2221)(kxxxV定理3022)(2121xkxxkxxV53例例4-8：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解解: 即即 設(shè)設(shè) 則則 可見(jiàn)可見(jiàn) 與與 無(wú)關(guān)，故非零狀態(tài)無(wú)關(guān)，故非零狀態(tài)(如如 )有有 ，而對(duì)其余任意狀態(tài)，而對(duì)其余任意狀

32、態(tài) 有有21221 xxxxx0 21 xx0 21 xx0ex2221)(xxxV222)(xxV)(xV1x02x0)(xV0)(xV 01x故故 正半定。正半定。)(xV54 令令 即非零狀態(tài)時(shí)，即非零狀態(tài)時(shí)， 不恒為零，則原點(diǎn)不穩(wěn)定不恒為零，則原點(diǎn)不穩(wěn)定即即系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。0, 00)(12xxxV)(xV推論推論554.5 線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法n 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 為唯一平衡狀態(tài)。為唯一平衡狀態(tài)。 設(shè)選取如下的正定二次型函數(shù)設(shè)選取如下的正定二次型函數(shù) 為李氏函數(shù)為李氏函數(shù) 則：則：Axx A-非奇異矩陣非奇異矩陣0ex)

33、(xV( )TV xx Px將將 代入：代入：Axx xPAPAxxPxPxxxVTTTT)()(線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別56 令令 由漸近穩(wěn)定性定理由漸近穩(wěn)定性定理1，只要，只要Q正定正定(即即 負(fù)負(fù)定定)，則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定。，則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定。定理：定理：系統(tǒng)系統(tǒng) 大范圍漸近穩(wěn)定的充要條大范圍漸近穩(wěn)定的充要條 件為件為: 給定一正定實(shí)對(duì)稱矩陣給定一正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，存在唯一，存在唯一的正定實(shí)對(duì)稱矩陣的正定實(shí)對(duì)稱矩陣P使使 成立，成立，則則 為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。數(shù)。 TA PPAQ QxxxVT)()(x

34、VAxx TA PPAQ ( )Tx PxV x57方法方法1： 給定正定給定正定Q P的定號(hào)性的定號(hào)性 Q單位陣單位陣 P的定號(hào)性的定號(hào)性方法方法2：Q取正半定取正半定(定理定理2)允許單位矩陣主對(duì)允許單位矩陣主對(duì) 角線上部分元素為零。角線上部分元素為零。 58例例4-9：解：選取解：選取xx11100ex( )TV xx PxTA PPAQ 1001111011102212121122121211PPPPPPPP591212 p0221211ppp1222212 pp121212322121211pppp2311p2112p122p6002311p045121212322121211ppp

35、pP正定正定 是大范圍一致漸近穩(wěn)定是大范圍一致漸近穩(wěn)定ex)()(2221xxxV)223(21)(222121xxxxPxxxVT李雅普諾夫函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)為 :且且613x2x1xu1sK21ss1例例4-10: 試用李雅普諾夫方程確定下圖所示系統(tǒng)試用李雅普諾夫方程確定下圖所示系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的漸近穩(wěn)定的K值范圍。值范圍。62解解 容易推得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為容易推得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:uKxxxKxxx0010120010321321 在確定漸近穩(wěn)定的在確定漸近穩(wěn)定的K值范圍時(shí)，假設(shè)輸入值范圍時(shí)，假設(shè)輸入u為零。為零。 于是上式可寫為于是上式可寫為:)1 .4(21xx ) 2 . 4(232

36、2xxx)3 . 4(313xKxx由式由式(4.1）到（）到（4.3）可知，原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。）可知，原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。假設(shè)取正半定的實(shí)對(duì)稱矩陣假設(shè)取正半定的實(shí)對(duì)稱矩陣Q為為:63100000000Q由于除原點(diǎn)外由于除原點(diǎn)外( )V xx QxT 不恒等于零，不恒等于零，因此可選上式的因此可選上式的Q。為了證實(shí)這一點(diǎn)，注意為了證實(shí)這一點(diǎn)，注意)(,)(23xVxQxxxVT0000)(213xxxxV取取于是于是( )V x只在原點(diǎn)處才恒等于零。只在原點(diǎn)處才恒等于零。 為負(fù)半定。為負(fù)半定。因此可選擇正半定因此可選擇正半定Q用于用于Lyapunov方程。方程。 64現(xiàn)在求解如下現(xiàn)在求解如下Lyap

37、unov方程方程:QPAPAT1000000001012001011002100332313232212131211332313232212131211KppppppppppppppppppK 對(duì)對(duì)P的各元素求解，可得的各元素求解，可得: 65KKKKKKKKKKKKKKKP212621202122123212602126212122為使為使P成為正定矩陣，其充要條件為成為正定矩陣，其充要條件為:0212K0K和和即即 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。也就是說(shuō)，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。也就是說(shuō)，原點(diǎn)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。原點(diǎn)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 60 K66n 線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定

38、性判別n 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：n 其中其中 -非奇異陣，非奇異陣， 是平衡狀態(tài)。是平衡狀態(tài)。n 設(shè)設(shè))() 1(kxkx0ex ( )( )( )TV x kxk Px k67 ( ) (1) ( )(1)(1)( )( )( )( )( )( )( ) ( )TTTTTTV x kV x kV x kxkPx kxk Px kx kPx kxk Px kxkPP x k 令令TPPQ 李氏代數(shù)方程李氏代數(shù)方程)()()(kQxkxkxVT68定理：定理：系統(tǒng)系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的漸近穩(wěn)定的 充要條件為：充要條件為： 給定任一正定實(shí)對(duì)稱矩陣給定任一正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，存在一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱，存在一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣矩陣P，使式，使式 成立，成立， 則則 是系統(tǒng)的一