四川大學(xué)本科理工習(xí)題課教學(xué)大綱

1、四川大學(xué)本科（理工）習(xí)題課教學(xué)大綱課程名稱：數(shù)學(xué)分析習(xí)題課III課程性質(zhì)：必修課程代碼：本大綱主筆人：李世倫面向?qū)I(yè)：數(shù)學(xué)各專業(yè)習(xí)題課指導(dǎo)書名稱：數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義 出版單位：高等教育出版社出版日期：2004年1月（第1版） 編著：謝惠民 惲自求等一、課程學(xué)時(shí)學(xué)分課程總學(xué)時(shí)：34學(xué)時(shí) 課程總學(xué)分： 0學(xué)分二、習(xí)題課的地位、作用和目的數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的一門基礎(chǔ)課，是許多后繼課程如微分幾何，微分方程，復(fù)變函數(shù)，實(shí)變函數(shù)與泛函分析，計(jì)算方法，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等課程必備的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)專業(yè)本科一、二年級(jí)學(xué)生的必修課。數(shù)學(xué)分析習(xí)題課是數(shù)學(xué)分析課程的重要組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的一個(gè)必要環(huán)節(jié)。通

2、過對(duì)數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中各類習(xí)題的講解，能使學(xué)生加深對(duì)課程內(nèi)容的理解，全面掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論知識(shí)；培養(yǎng)嚴(yán)格的邏輯思維能力與推理論證能力；具備熟練的運(yùn)算能力與技巧；提高建立數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用微積分這一工具解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力。三、 習(xí)題課課程基本要求其基本內(nèi)容及基本要求如下：第一講平面點(diǎn)集與R2上的完備性定理2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容加深對(duì)內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，界點(diǎn)，聚點(diǎn)，孤立點(diǎn)，開集，閉集，開域，閉域，區(qū)域等概念的理解，弄清這些概念之間的聯(lián)系；進(jìn)一步討論與聚點(diǎn)定理有關(guān)的某些重要結(jié)論。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解應(yīng)用各個(gè)概念解題的技巧。最后，布置一、二個(gè)課堂習(xí)題考察學(xué)生對(duì)各個(gè)基本概念的掌握情況

3、。第二講多元函數(shù)的極限和連續(xù)性2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容加深對(duì)多元函數(shù)的極限與連續(xù)這兩個(gè)基本概念的理解，加深領(lǐng)會(huì)重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系；掌握多元函數(shù)連續(xù)性的充分條件，充要條件，必要條件；進(jìn)一步學(xué)習(xí)和運(yùn)用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解掌握按定義，按性質(zhì)判別多元函數(shù)連續(xù)性的技巧。理解多元函數(shù)的極限，連續(xù)性與一元函數(shù)的相應(yīng)概念之間的異同。第三講多元函數(shù)的可微性與偏導(dǎo)數(shù)2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容加深對(duì)多元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)等基本概念和它們之間的聯(lián)系；熟練掌握求偏導(dǎo)數(shù)的方法；學(xué)習(xí)用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)研究多元函數(shù)的性態(tài)，并注意由此所得到的若干有意義的結(jié)論。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通

4、過具體例子講解掌握多元函數(shù)的可微性，偏導(dǎo)數(shù)，連續(xù)性之間的聯(lián)系與區(qū)別；熟練掌握多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法，特別是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。第四講方向?qū)?shù)、多元函數(shù)的泰勒公式、極值2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容深入討論方向?qū)?shù)與函數(shù)其它性質(zhì)之間的關(guān)系；掌握求多元函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)和泰勒公式的方法；掌握求多元函數(shù)極值的基本方法。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解求方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)的方法與技巧。掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，條件極值、最值的求法，以及利用極值判別方法證明一些不等式。第五講隱函數(shù)(組)和隱函數(shù)(組)定理2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容深入理解隱函數(shù)(組)的概念；學(xué)會(huì)利用隱函數(shù)(組)定理判別隱函數(shù)(組)的

5、存在性；掌握隱函數(shù)(組)的求導(dǎo)法則，并利用隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)研究隱函數(shù)的性態(tài)；學(xué)習(xí)坐標(biāo)變換的原理與應(yīng)用。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解掌握利用隱函數(shù)(組)定理判別隱函數(shù)(組)的存在性的充分條件。掌握求隱函數(shù)(組)導(dǎo)數(shù)的方法。第六講偏導(dǎo)數(shù)的在幾何上的應(yīng)用2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容加深對(duì)切向量、法向量、空間曲線的切線和法平面、曲面的法線和切平面等概念的理解；掌握切線方程，切平面方程的求法。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解掌握求切線方程，切平面方程等的技巧。學(xué)會(huì)證明幾何體的一些空間關(guān)系。第七講二重積分的概念與性質(zhì) 2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容從矩形區(qū)域上的二重積分入手，掌握一般區(qū)域上

6、二重積分的概念；通過對(duì)二重積分與定積分的比較，加深對(duì)重積分概念的理解；二重積分的性質(zhì)。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解二重積分的概念；掌握可積的必要條件，充分條件。利用二重積分的性質(zhì)解決實(shí)際問題。第八講二重積分的計(jì)算2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容掌握X型區(qū)域，Y型區(qū)域，以及一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算方法；掌握二重積分的換元公式，重點(diǎn)是極坐標(biāo)變換。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解各種區(qū)域上二重積分計(jì)算的技巧。重點(diǎn)掌握直角坐標(biāo)系下，極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法，學(xué)會(huì)一般的二重積分計(jì)算中的變量代換。第九講三重積分的概念和計(jì)算2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容加深三重積分概念的理解；掌握三重積分

7、的基本計(jì)算方法。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解三重積分計(jì)算的技巧。掌握直角坐標(biāo)系下、柱面坐標(biāo)系下，球面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法。第十講反常重積分2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容加深對(duì)無(wú)界區(qū)域上的反常重積分，無(wú)界函數(shù)的反常重積分等概念的理解，掌握兩種反常重積分的計(jì)算方法。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解兩種反常重積分計(jì)算的技巧；學(xué)會(huì)判別反常重積分可積的方法。第十一講第一類曲線積分與第一類曲面積分2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容弄清第一類曲線積分與第一類曲面積分的概念以及它們的物理和幾何背景；掌握第一類曲線積分與第一類曲面積分的計(jì)算方法。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子

8、講解第一類曲線積分與第一類曲面積分計(jì)算的技巧；掌握第一類曲線積分與第一類曲面積分的性質(zhì)。第十二講第二類曲線積分與第二類曲面積分2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容弄清第二類曲線積分與第二類曲面積分的概念以及它們的物理和幾何背景；掌握第二類曲線積分與第二類曲面積分的計(jì)算方法。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解第二類曲線積分與第二類曲面積分計(jì)算的技巧；掌握第二類曲線積分與第二類曲面積分的性質(zhì)，理解兩類積分之間的聯(lián)系。第十三講Green公式、Gauss公式、Stokes公式2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容加深Green公式、Gauss公式、Stokes公式的理解，弄清應(yīng)用公式必須滿足的條件；利用三個(gè)公式計(jì)算相應(yīng)的積分

9、，掌握在應(yīng)用Green公式、Gauss公式時(shí)采用的“挖補(bǔ)”技巧。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解應(yīng)用各個(gè)公式解題的技巧。掌握曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。第十四講場(chǎng)論初步2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容加深對(duì)散度，旋度等概念的理解，弄清如何利用這些概念簡(jiǎn)化Green公式、Gauss公式、Stokes公式以及重積分與兩類積分之間的聯(lián)系。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解應(yīng)用各個(gè)概念解題的技巧；要求學(xué)生會(huì)證明第一和第二Green恒等式。第十五講含參變量的常義積分2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容含參變量的常義積分的定義，含參變量的常義積分的分析性質(zhì)2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講

10、解計(jì)算含參變量的常義積分的技巧；掌握幾種常用的求含參變量積分的方法。第十六講含參變量的廣義積分2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容含參變量的廣義積分的定義，含參變量的廣義積分的一致收斂性，含參變量的廣義積分的分析性質(zhì)2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解判別含參變量的廣義積分一致收斂性的技巧；掌握判別含參變量的廣義積分一致收斂性的方法；掌握含參變量的廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性的條件與結(jié)論。第十七講函數(shù)和函數(shù) 2學(xué)時(shí)1基本內(nèi)容函數(shù)和函數(shù)的定義，函數(shù)的特征刻畫和幾個(gè)重要公式的證明。2基本要求處理作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題，通過具體例子講解計(jì)算特殊函數(shù)積分的技巧；掌握函數(shù)和函數(shù)的關(guān)系，學(xué)會(huì)利用變量代換轉(zhuǎn)化

11、為函數(shù)和函數(shù)。參 考 書 目1， 數(shù)學(xué)分析（上、下），復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，陳傳璋等編，高等教育出版社，第二版，1983年2， 數(shù)學(xué)分析（上、下），陳紀(jì)修等編，高等教育出版社，第一版，1999年3， 數(shù)學(xué)分析（一、二、三），周民強(qiáng)編著，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，第一版，2002年4， 數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程（上、下），鄧東皋、尹小玲編著，高等教育出版社，第一版，1999年5， 數(shù)學(xué)分析新講（一、二、三），張筑生編著，北京大學(xué)出版社，第一版，1990年6， 數(shù)學(xué)分析（上、下），黃玉民、李成章編，科學(xué)出版社，第一版，1999年7， 數(shù)學(xué)分析（上、下），歐陽(yáng)光中、姚允龍編著，復(fù)旦大學(xué)出版社，第一版，1993年8， 數(shù)學(xué)分析（上、中、下），吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系