2022年線性代數(shù)試卷及答案詳解

1、第1 頁(yè)共6 頁(yè) 線性代數(shù) a 試題（ a 卷）試卷類別： 閉卷考試時(shí)間： 120分鐘考 試 科 目 ： 線 性 代 數(shù)考 試 時(shí) 間 ：學(xué) 號(hào) ：姓名：題號(hào)一二三四五六七總分得分閱卷人一單項(xiàng)選擇題（每小題3 分，共 30 分）1設(shè)a經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)閎，則（）.(下面的( ), ()r ar b分別表示矩陣,a b的秩 )。()a()()r ar b；()b()()r ar b；()c()()r ar b；()d無(wú)法判定()r a與( )r b之間的關(guān)系。2設(shè)a為 (2)nn階方陣且| 0a，則（） 。()aa中有一行元素全為零；()ba有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例；()ca中必有一行為其余行

2、的線性組合；()da的任一行為其余行的線性組合。3. 設(shè),a b是n階矩陣 (2n), abo,則下列結(jié)論一定正確的是: ()( ) ;aaobo或( )axbb的每個(gè)行向量都是齊次線性方程組=o 的解 .();cbao()( )( ).dr ar bn4下列 不是n維向量組12,.,s線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（）()a存在一組不全為零的數(shù)12,.,sk kk使得1122.sskkko；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

3、- - - - - - 第 1 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第2 頁(yè)共6 頁(yè)()b不存在一組不全為零的數(shù)12,.,sk kk使得1122.sskkko12(),.,sc的秩等于s；12(),.,sd中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示5設(shè)n階矩陣(3)n1.1.1aaaaaaaaaa，若矩陣a的秩為1n，則a必為（） 。()a1；()b11n；()c1；()d11n. 6四階行列式1122334400000000ababbaba的值等于（） 。()a12341234a a a abb b b；()b12341234a a a abb b b；()c12123434()(

4、)a ab ba ab b；()d23231414()()a ab ba abb. 7設(shè)a為四階矩陣且ab，則a的伴隨矩陣*a的行列式為（） 。()ab；()b2b；()c3b；()d4b8設(shè)a為n階矩陣滿足23naaio，ni為n階單位矩陣 ,則1a（）() nai ；()3nbai；()3ncai；()d3nai9設(shè)a，b是兩個(gè)相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（） 。()aa與b的秩相同；( )ba與b的特征值相同；()ca與b的特征矩陣相同；()da與b的行列式相同；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - -

5、 - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第3 頁(yè)共6 頁(yè)10設(shè)a為n階矩陣 ,則a以0為特征值是0a的（） 。()a充分非必要條件；()b必要非充分條件；()c既非充分又非必要條件；()d充分必要條件；二填空題（每小題3 分，共 18 分）1計(jì)算行列式0004004304324321。2. 100123100010456001001789010_ 。3二次型123122331(,)f x xxx xx xx x對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣為。4已知1(0,0,1)，22222(,

6、0)，22322(,0)是歐氏空間3?的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則向量(1,1,1)在這組基下的坐標(biāo)為。5已知矩陣74147144ax的特征值為123(),12,二重則x_。6設(shè)123,均為 3 維列向量，記矩陣123,a，123123(,24b123,39)。如果| 1a，則|b。三 (8 分) 23121120 ,10 ,10331abaxb, 求x。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共

7、9 頁(yè) - - - - - - - - -第4 頁(yè)共6 頁(yè)四 （10 分）設(shè)向量組1(1,1,2,3)t，2(1, 1,1,1)t，3(1,3,3,5)t，4(4,2,5,6)t，5( 3, 1, 5, 7)t。試求它的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。五 （12 分）討論線性方程組123123123211xxpxxpxxpxxx解的情況， 并在有無(wú)窮多解時(shí)求其解。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

8、- - - - - - 第 4 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第5 頁(yè)共6 頁(yè)六 （14 分）設(shè)124222421a， （1） 、求出a的所有特征值和特征向量；（2） 、求 正交 矩陣t，使得1tat為對(duì)角矩陣。七 （8 分）對(duì)任意的矩陣a,證明：(1) taa為對(duì)稱矩陣 , taa為反對(duì)稱矩陣；(2) a可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。線性代數(shù) a參考答案（ a 卷）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3 分，共 30 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b c d a b d c c c d 二、填空題（每小題3 分，共 18分）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -

9、 - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第6 頁(yè)共6 頁(yè)1、 256；2、132465798；3、112211221122000；4、1,2,0；5、 4；6、 2 。三 解： 因?yàn)榫仃?a 的行列式不為零,則 a 可逆 ,因此1xa b.為了求1a b,可利用下列初等行變換的方法：23121120101201 01201023121011411 0331103310232110

10、2721002781002780114101 0144010144001103001103001103（6 分）所以1278144103xa b.（ 8 分）四解：對(duì)向量組12345,作如下的初等行變換可得：1234511143111431132102262(,)213550113131567022621114310212011310113100000000000000000000（ 5 分）從 而12345,的 一 個(gè) 極 大 線 性 無(wú) 關(guān) 組 為12,， 故 秩12345,2（8 分）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共

11、9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第7 頁(yè)共6 頁(yè)且3122，4123，5122（ 10 分）五解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換：221121121121110113011311101112002421120113400(2)(1)42ppppppppppppppppppppp(分)(1) 當(dāng)10,(2)(1)0,ppp且時(shí)即1,2,pp且時(shí)系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3,此時(shí)方程組有唯一解.（ 5 分）(2) 當(dāng)1,p時(shí)系 數(shù) 矩 陣

12、 的 秩 為1,增 廣 矩 陣 的 秩 為2,此 時(shí) 方 程 組 無(wú)解.（ 6 分）(3) 當(dāng)2,p時(shí)此時(shí)方程組有無(wú)窮多組解. 方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可化為1122112211221211033301112111033300001011011180000（ 分）故原方程組與下列方程組同解: 132311xxxx令30,x可得上述非齊次線性方程組的一個(gè)特解0( 1, 1,0)t; 它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組132300 xxxx的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)元素,令精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - -

13、- -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第8 頁(yè)共6 頁(yè)31,x可得1(1,1,1)t為該齊次線性方程組的一個(gè)解,它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 . 此時(shí)原方程組的通解為001101,.kkkk這里為任意常數(shù)（ 12分）六解：（1）由于a的特征多項(xiàng)式2124|222(3) (6)421ia故a的特征值為13（二重特征值） ，36。（ 3 分）當(dāng)13時(shí)，由1()ia xo，即：123424021204240 xxx得基礎(chǔ)解系為12 1,2,0 , 1,0,1tt，故屬于特征值13的所

14、有特征向量為1122kk,12,k k不全為零的任意常數(shù)。（ 6 分）當(dāng)36時(shí)，由3()ia xo，即：123524028204250 xxx得基礎(chǔ)解系為32,1,2t，故屬于特征值26的所有特征向量為33k,3k為非零的任意常數(shù)。-(8分)(2)將12,正交化可得：211122111,42 1,2,0 ,1,55tt。再將其單位化得：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第9 頁(yè)共6 頁(yè)1212125 2 54 52 55,0,5515153tt將3單位化得：32 1 2,3 3 3t。（ 12 分）則123,是a的一組單位正交的特征向量，令545251532525112351535233,0t則t是一個(gè)正交矩陣，且1336tat。（14 分）七證明：(1) 因?yàn)?)()ttttttaaaaaa, 因此taa為對(duì)稱矩陣。（ 2 分）同 理 , 因 為()()()tttttttaaaaaaaa, 因 此taa為反對(duì)稱矩陣。（4 分）(2) 因?yàn)?1()(