《三角恒等變換》章末總結(jié)

1、三角恒等變換章末總結(jié)一、教學(xué)目的：對第三章“三角恒等變換”進(jìn)行章末知識(shí)總結(jié)，對重點(diǎn)、熱點(diǎn)題型進(jìn)行歸納總結(jié)。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：公式的靈活應(yīng)用三、知識(shí)分析： 1 、 本章網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)tantantantantantantantan22112coscossincossinsinsincos22112222222ssccsincossinsincossinsinsincoscoscoscossinsincoscos12121212令absinsinsincossinsincossincoscoscoscoscoscossinsinabababababababababababab222222222222相除

2、相除移項(xiàng)2相加減12212222coscoscossin變形sincoscoscos212212相除tancoscossincoscossin21111 2 、要點(diǎn)概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法，“1”的代換法等。（2）要熟悉角的拆拼、變換的技巧，倍角與半角的相對性，如2，3是23的半角，2是4的倍角等。（3）要掌握求值問題的解題規(guī)律和途徑，尋求角間關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，正確選用公式，靈活地掌握各個(gè)公式的正用、逆用、變形用等。（4）求值的類型：“給角求值” ：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系

3、，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合和差化積、積化和差、升降冪公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消降非特殊角的三角函數(shù)而得解。“給值求值” ：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角” ，使其角相同或具有某種關(guān)系?！敖o值求角” ：實(shí)質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角。（ 5 ） 靈 活 運(yùn) 用 角 和 公 式 的 變 形 ， 如：2，tantantantantan1等，另外重視角的范圍對三角函數(shù)值的影響，因此要注意角的范圍的討論。（6）化簡三角函數(shù)式常有兩種思路：一是角的變換 （即將多種形式的角盡量統(tǒng)

4、一），二是三角函數(shù)名稱的變化（即當(dāng)式子中所含三角函數(shù)種類較多時(shí)，一般是“切割化弦” ） ，有時(shí)，兩種變換并用，有時(shí)只用一種，視題而定。（7）證明三角恒等式時(shí)，所用方法較多，一般有以下幾種證明方法：從一邊到另一邊，兩邊等于同一個(gè)式子，作差法。3簡單的三角恒等變換（1）變換對象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質(zhì)。（2）變換目標(biāo)：利用公式簡化三角函數(shù)式，達(dá)到化簡、計(jì)算或證明的目的。（3）變換依據(jù)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）變換思路：明確變換目標(biāo)，選擇變換公式，設(shè)計(jì)變換途徑。三、解題方法分析1熟悉三角函數(shù)公式，從公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點(diǎn)【方法點(diǎn)撥

5、】三角函數(shù)中出現(xiàn)的公式較多，要從角名稱、結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到真正的理解、記熟、用活。解決問題時(shí)究竟使用哪個(gè)公式，要抓住問題的實(shí)質(zhì)，善于聯(lián)想，靈活運(yùn)用。例 1、設(shè)2132tan13sin 50cos6sin 6 ,221tan 132cos25abc則有（）a.abc b.abc c.acb d.bca【點(diǎn)評】：本題屬于“理解”層次，要能善于正用、逆用、變用公式。例如： sincos=2sin21， cos=2sinsin2，2cossincos22，2tantan-12tan2，2)cos(sincossin21，2cos22cos1，2sin22cos1，22cos1sin,2

6、2cos1cos22， tan tan =tan( + )(1- tan tan) 等。另 外 ， 三 角 函 數(shù) 式asinx+bcosx是 基 本 三 角 函 數(shù) 式 之 一 ， 引 進(jìn) 輔 助 角 ， 將 它 化 為)xsin(ba22即 asinx+bcosx=)xsin(ba22（其中tanba） 是常用轉(zhuǎn)化手段。特別是與特殊角有關(guān)的sin cosx ， sinx 3 cosx ，要熟練掌握其變形結(jié)論。2明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學(xué)思想方法上尋找突破口三角恒等變換是三角函數(shù)與平面向量這兩章的延續(xù)與發(fā)展，三角變換只變其形，不變其質(zhì)，它可以揭示有些外形不同但實(shí)質(zhì)相同的三角函數(shù)式之間的內(nèi)

7、在聯(lián)系，幫助我們達(dá)到三角恒等變換的目的。（1）運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換 【方法點(diǎn)撥】 教材中兩角和與差的正、余弦公式以及二倍角公式的推導(dǎo)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想， 應(yīng)用該思想能有效解決三角函數(shù)式化簡、求值、證明中角、 名稱、形式的變換問題。例 2 已知243，cos（）=1312，sin （+）=53，求 sin2的值練習(xí)：已知434，04，且cossin435541213，求cos。分 析： 由已 知 條件 求cos， 應(yīng) 注 意 到 角之 間的 關(guān) 系，44，可應(yīng)用兩角差的余弦公式求得。解：由已知434，得344，420又cossin435445，由04，得442，又 sins

8、in544sin412131354cos13124sin，由44，得coscos44coscossinsin4444531243313513565點(diǎn)評： 三角變換是解決已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值這類題型的關(guān)鍵； 常見角的變換：2，442xx等。例 3化簡：2sin50 +sin10 （1+3 tan10） 2sin 80（2）運(yùn)用函數(shù)方程思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種，其變換的實(shí)質(zhì)仍是函數(shù)的變換。因此， 有時(shí)在三角恒等變換中， 可以把某個(gè)三角函數(shù)式看作未知數(shù)，利用條件或公式列出關(guān)于未知數(shù)的方程求解。例 4：已知 sin （+）=32，sin （）=43，求2tan(

9、)tantantantan()的值。（3）運(yùn)用換元思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】 換元的目的就是為了化繁為簡，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，可以利用特定的關(guān)系，把某個(gè)式子用新元表示，實(shí)行變量替換，從而順利求解，解題時(shí)要特別注意新元的范圍。例 5：若,22sinsin求coscos的取值范圍。3關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合，從知識(shí)聯(lián)系上尋找結(jié)合點(diǎn)例 6abc中，sinsintancoscosabcab，sin()cosbac求,a c分析： “切化弦” 是解決三角問題常用的方法，再利用三角形中角的關(guān)系進(jìn)行恒等變形解： 因?yàn)閟insintancoscosabcab，即sinsinsincoscoscoscabcab，所以sincossincoscossincossincacbcacb，即sincoscossincossinsincoscacacbcb，得sin()sin()cabc所以cabc，或()cabc( 不成立 ) 即2cab，得3c，所以23b