第二講 直方圖

1、什么是灰度級(jí)的直方圖呢？什么是灰度級(jí)的直方圖呢？ 簡(jiǎn)單地說(shuō)，灰度級(jí)的直方圖就是反映簡(jiǎn)單地說(shuō)，灰度級(jí)的直方圖就是反映一幅圖像一幅圖像中的灰度級(jí)與出現(xiàn)這種灰度的概率之間的關(guān)系的圖中的灰度級(jí)與出現(xiàn)這種灰度的概率之間的關(guān)系的圖形，是圖像重要的統(tǒng)計(jì)特征。形，是圖像重要的統(tǒng)計(jì)特征。 灰度直方圖是圖像的一種統(tǒng)計(jì)表達(dá)，它反映了灰度直方圖是圖像的一種統(tǒng)計(jì)表達(dá)，它反映了該圖中不同灰度級(jí)出現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)概率。該圖中不同灰度級(jí)出現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)概率。在灰度級(jí)中，在灰度級(jí)中， r = 0= 0 代表黑，代表黑， r = 1 = 1 代表白。代表白。 n 設(shè)變量設(shè)變量 r 代表圖像中像素灰度級(jí)。代表圖像中像素灰度級(jí)。在圖像中，在圖像中

2、，像素的灰度級(jí)可作歸一化處理，這樣，像素的灰度級(jí)可作歸一化處理，這樣，r 的值將的值將限定在下述范圍之內(nèi)限定在下述范圍之內(nèi): :10 r(44)(44) 對(duì)于一幅給定的圖像來(lái)說(shuō)，每一個(gè)像素取對(duì)于一幅給定的圖像來(lái)說(shuō)，每一個(gè)像素取得得00，11區(qū)間內(nèi)的灰度級(jí)是隨機(jī)的，也就是說(shuō)區(qū)間內(nèi)的灰度級(jí)是隨機(jī)的，也就是說(shuō) 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量。假定對(duì)每一瞬間它們是連。假定對(duì)每一瞬間它們是連續(xù)的隨機(jī)變量，那么，就可以用續(xù)的隨機(jī)變量，那么，就可以用概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 來(lái)表示原始圖像的灰度分布。來(lái)表示原始圖像的灰度分布。r)(krrp 為了有利于數(shù)字圖像處理，必須引入離散形式。為了有利于數(shù)字圖像處理，必

3、須引入離散形式。在離散形在離散形式下，式下，用用 rk 代表離散灰度級(jí)代表離散灰度級(jí)，用，用 Pr( (rk) ) 代表代表 pr(r) ，并，并且有下式成立：且有下式成立：121, 010)(lkrnnrPkkkr , , 式中式中，nk為圖像中出現(xiàn)為圖像中出現(xiàn)rk 這種灰度的像素?cái)?shù)這種灰度的像素?cái)?shù)，n 是是圖像中像素總數(shù)，而圖像中像素總數(shù)，而 就是概率論中所說(shuō)的頻數(shù)就是概率論中所說(shuō)的頻數(shù)。在直角坐標(biāo)系中作出。在直角坐標(biāo)系中作出 rk 與與Pr(rk) 的關(guān)系圖形的關(guān)系圖形，這，這個(gè)圖形稱(chēng)為個(gè)圖形稱(chēng)為直方圖直方圖。nnk 灰度級(jí)的直方圖灰度級(jí)的直方圖 我們注意到我們注意到在暗色的圖像在暗色的

4、圖像中，中，直方圖的組成成分集中在灰度直方圖的組成成分集中在灰度級(jí)低級(jí)低的一側(cè)；反之，的一側(cè)；反之，明明亮的圖像的亮的圖像的直方圖的組成成分直方圖的組成成分則集中在灰度級(jí)高則集中在灰度級(jí)高的一的一側(cè)；側(cè)；動(dòng)態(tài)范圍小動(dòng)態(tài)范圍小，也就是對(duì)比，也就是對(duì)比度小，這種圖像直方圖集中于度小，這種圖像直方圖集中于灰度級(jí)的中部；灰度級(jí)的中部；動(dòng)態(tài)范圍正常動(dòng)態(tài)范圍正常的的圖像直方圖的成分覆蓋了灰圖像直方圖的成分覆蓋了灰度級(jí)很寬的范圍。度級(jí)很寬的范圍。直觀上，若一圖像像素占有全直觀上，若一圖像像素占有全部可能的灰度級(jí)并且分布均勻，部可能的灰度級(jí)并且分布均勻，則圖像有高的對(duì)比度和多變的則圖像有高的對(duì)比度和多變的灰度

5、色調(diào)，即，可通過(guò)改變直灰度色調(diào)，即，可通過(guò)改變直方圖的形狀來(lái)達(dá)到增強(qiáng)圖像對(duì)方圖的形狀來(lái)達(dá)到增強(qiáng)圖像對(duì)比度。比度。7直方圖修正直方圖修正 直方圖變換后可使圖像的灰度間距拉開(kāi)或使灰度直方圖變換后可使圖像的灰度間距拉開(kāi)或使灰度分布均勻，從而增大對(duì)比度，使圖像細(xì)節(jié)清晰，分布均勻，從而增大對(duì)比度，使圖像細(xì)節(jié)清晰，達(dá)到增強(qiáng)的目的。達(dá)到增強(qiáng)的目的。對(duì)于離散的圖像，用頻率來(lái)代替概率對(duì)于離散的圖像，用頻率來(lái)代替概率 。直方圖均衡化直方圖均衡化 ( )0, 1, , 1fh fnfL0( )0, 1, , 1fiic fnfL直方圖均衡化是一種典型的通過(guò)對(duì)圖像的直方圖進(jìn)行修正來(lái)獲得圖像增強(qiáng)效果的自動(dòng)方法。圖像的灰

6、度直方圖灰度直方圖是一個(gè)1-D的離散函數(shù)灰度累積直方圖累積直方圖也是一個(gè)1-D的離散函數(shù) ( )0, 1, , 1fh fnfL直方圖均衡化直方圖均衡化直方圖均衡化主要用于直方圖均衡化主要用于增強(qiáng)動(dòng)態(tài)范圍偏小的圖像增強(qiáng)動(dòng)態(tài)范圍偏小的圖像的反差。的反差。基本思想是基本思想是把原始圖的直方圖變換為在整個(gè)灰度把原始圖的直方圖變換為在整個(gè)灰度范圍內(nèi)均勻分布的形式，增加了像素灰度值的動(dòng)范圍內(nèi)均勻分布的形式，增加了像素灰度值的動(dòng)態(tài)范圍，從而達(dá)到增強(qiáng)圖像整體對(duì)比度的效果。態(tài)范圍，從而達(dá)到增強(qiáng)圖像整體對(duì)比度的效果。更一般的（歸一化的）概率表達(dá)形式：（更一般的（歸一化的）概率表達(dá)形式：（ nnspkk/)(1,

7、1 , 0Lk11直方圖均衡化直方圖均衡化把原始圖的直方圖變換為把原始圖的直方圖變換為均勻分布的形式均勻分布的形式需要一個(gè)需要一個(gè)變換函數(shù)即變換函數(shù)即（1）T單值單增函數(shù)。單值單增函數(shù)。（2）對(duì)）對(duì) 應(yīng)應(yīng) ， 有有10Lr1)(0LrT10)(1LssTr直方圖均衡化直方圖均衡化上面的上面的2 2個(gè)條件保證了：個(gè)條件保證了： 第第1 1個(gè)條件保證個(gè)條件保證逆變換存在逆變換存在，且原圖像各灰度，且原圖像各灰度級(jí)在變換后仍保持從黑到白的排列次序，防止級(jí)在變換后仍保持從黑到白的排列次序，防止變換后的圖像出現(xiàn)一些反轉(zhuǎn)的灰度級(jí)。變換后的圖像出現(xiàn)一些反轉(zhuǎn)的灰度級(jí)。第第2 2個(gè)條件保證個(gè)條件保證變換前后灰度

8、值動(dòng)態(tài)范圍的一變換前后灰度值動(dòng)態(tài)范圍的一致性致性，也可以說(shuō)原圖像和變換后圖像有著同樣，也可以說(shuō)原圖像和變換后圖像有著同樣的灰度級(jí)范圍。的灰度級(jí)范圍。一幅圖像的灰度級(jí)可視為區(qū)間一幅圖像的灰度級(jí)可視為區(qū)間0,L-10,L-1上的隨機(jī)變上的隨機(jī)變量，可以證明累積分布函數(shù)（量，可以證明累積分布函數(shù)（CDFCDF）滿(mǎn)足上述）滿(mǎn)足上述2 2個(gè)條件并能將個(gè)條件并能將r中的原始分布轉(zhuǎn)換為中的原始分布轉(zhuǎn)換為s s中的均勻分中的均勻分布。事實(shí)上布。事實(shí)上r r的的CDFCDF就是原始圖像的累計(jì)直方圖。就是原始圖像的累計(jì)直方圖。直方圖均衡化中直方圖均衡化中T T：kjkjjjrkknnrprTs00)()(10)(

9、1LksTrkk直方圖均衡直方圖均衡-流程流程n1. 統(tǒng)計(jì)原始圖像的直方圖統(tǒng)計(jì)原始圖像的直方圖： 其中，其中， 是歸一化的輸入圖像灰度級(jí)。是歸一化的輸入圖像灰度級(jí)。n2. 計(jì)算直方圖累積分布曲線(xiàn)計(jì)算直方圖累積分布曲線(xiàn)n3. 用累積分布函數(shù)作變換函數(shù)進(jìn)行圖像灰度變換：用累積分布函數(shù)作變換函數(shù)進(jìn)行圖像灰度變換：根根據(jù)計(jì)算得到的累積分布函數(shù)，建立輸入圖像與輸出圖像據(jù)計(jì)算得到的累積分布函數(shù)，建立輸入圖像與輸出圖像灰度級(jí)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即重新定位累計(jì)分布函數(shù)灰度級(jí)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即重新定位累計(jì)分布函數(shù) （與歸一化灰度等級(jí)與歸一化灰度等級(jí) 比較，尋找最接近的一個(gè)作為原比較，尋找最接近的一個(gè)作為原灰度級(jí)灰度

10、級(jí)k變換后的新灰度級(jí)）。變換后的新灰度級(jí)）。 nnrpkkrkrkjkjjjrkknnrprTs00)()(kskr的pk 例如：例如：假定有一幅像素?cái)?shù)為假定有一幅像素?cái)?shù)為64646464，灰度級(jí)，灰度級(jí)為為8 8級(jí)的圖像，其灰度級(jí)分布、級(jí)的圖像，其灰度級(jí)分布、其灰度級(jí)直方其灰度級(jí)直方圖如圖如下表、下表、下圖所示。下圖所示。對(duì)其進(jìn)行均衡化處理，畫(huà)出均衡化處理之后的對(duì)其進(jìn)行均衡化處理，畫(huà)出均衡化處理之后的直方圖。直方圖。 直方圖均衡化直方圖均衡化rknknnrPkkr)(64646464的圖像的圖像分布表分布表 18直方圖均衡化直方圖均衡化20直方圖均衡化直方圖均衡化：（1）得到變換后的值：）得

11、到變換后的值：19. 0)()(0000iisspsTt44. 025. 019. 0)()(1011iisspsTt65. 021. 025. 019. 0)()(2022iisspsTt81. 03t89. 04t95. 05t98. 06t17t依此類(lèi)推，即可得到依此類(lèi)推，即可得到 21直方圖均衡化直方圖均衡化（2）用式用式 將將 擴(kuò)展到擴(kuò)展到 范圍內(nèi)范圍內(nèi)并取整，得并取整，得：(3)將相同值的歸并起來(lái)將相同值的歸并起來(lái), ,得得: : 10t31t52t63t74t5 . 0) 1int(kktLtkt 1, 0L10t31t52t63t64t75t76t77t22直方圖均衡化直方圖均

12、衡化（4）變換后變換后5個(gè)灰度級(jí)的像素?cái)?shù)個(gè)灰度級(jí)的像素?cái)?shù) (5) 新灰度級(jí)分布新灰度級(jí)分布 448,985,850,1023,79043210nnnnn25. 04096/1023)(,19. 04096/790)(10tptptt24. 04096/985)(,21. 04096/850)(32tptptt11. 04096/448)(4tpt直方圖均衡直方圖均衡-示例示例1圖像的灰度級(jí)分布圖像的灰度級(jí)分布 25直方圖均衡化直方圖均衡化 26直方圖均衡化直方圖均衡化 因?yàn)橹狈綀D是近似的概率密度函數(shù)，所以用因?yàn)橹狈綀D是近似的概率密度函數(shù)，所以用離散灰度級(jí)作變換時(shí)很少能得到完全平坦的結(jié)離散灰度級(jí)

13、作變換時(shí)很少能得到完全平坦的結(jié)果。果。另外，從上例中可以看出變換后的灰度級(jí)另外，從上例中可以看出變換后的灰度級(jí)減少了，這種現(xiàn)象叫做減少了，這種現(xiàn)象叫做“簡(jiǎn)并簡(jiǎn)并”現(xiàn)象?，F(xiàn)象。由于簡(jiǎn)由于簡(jiǎn)并現(xiàn)象的存在，處理后的灰度級(jí)總是要減少的并現(xiàn)象的存在，處理后的灰度級(jí)總是要減少的。這是像素灰度有限的必然結(jié)果。這是像素灰度有限的必然結(jié)果。由于上述原因由于上述原因，數(shù)字圖像的直方圖均衡只是近數(shù)字圖像的直方圖均衡只是近似的。似的。 產(chǎn)生簡(jiǎn)并現(xiàn)象的根源是產(chǎn)生簡(jiǎn)并現(xiàn)象的根源是利用變換公式利用變換公式 求新灰度時(shí)，所得到的求新灰度時(shí)，所得到的 往往不是允許的灰度值往往不是允許的灰度值，這時(shí)就要采用舍入的方法求近似值，以

14、便用與它，這時(shí)就要采用舍入的方法求近似值，以便用與它最接近的允許灰度來(lái)代替它。最接近的允許灰度來(lái)代替它。在舍入的過(guò)程中，一在舍入的過(guò)程中，一些相鄰的些相鄰的 值變成了相同的值變成了相同的 值，這就發(fā)生了簡(jiǎn)值，這就發(fā)生了簡(jiǎn)并現(xiàn)象，于是也就造成了一些灰度層次的損失。并現(xiàn)象，于是也就造成了一些灰度層次的損失。那么簡(jiǎn)并現(xiàn)象如何產(chǎn)生？如何減少呢？那么簡(jiǎn)并現(xiàn)象如何產(chǎn)生？如何減少呢？)(0jrkjkrPssksksk 減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象的簡(jiǎn)單方法減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象的簡(jiǎn)單方法是增加像素的比特?cái)?shù)是增加像素的比特?cái)?shù)。比如，通常用比如，通常用8bit來(lái)代表一個(gè)像素，而現(xiàn)在用來(lái)代表一個(gè)像素，而現(xiàn)在用12bit來(lái)表示一個(gè)像素，這樣

15、就可減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象發(fā)來(lái)表示一個(gè)像素，這樣就可減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象發(fā)生的機(jī)會(huì)，從而減少灰度層次的損失。生的機(jī)會(huì)，從而減少灰度層次的損失。另另外，外，采用灰度間隔放大理論的直方圖修正法也可采用灰度間隔放大理論的直方圖修正法也可以減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象。以減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象。這種灰度間隔放大可以按照眼睛這種灰度間隔放大可以按照眼睛的對(duì)比度靈敏度特性和成像系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)范圍進(jìn)行放的對(duì)比度靈敏度特性和成像系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)范圍進(jìn)行放大。大。 減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象的方法減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象的方法 直方圖均衡化處理方法直方圖均衡化處理方法是行之有效的增強(qiáng)方法是行之有效的增強(qiáng)方法之一，但是由于它的變換函數(shù)采用的是累積分布之一，但是由于它的變換函數(shù)采用的是累積分布

16、函數(shù)，因此正如前面所證明的那樣，它函數(shù)，因此正如前面所證明的那樣，它只能產(chǎn)生只能產(chǎn)生近似均勻的直方圖近似均勻的直方圖這樣一種結(jié)果。這樣就必須會(huì)這樣一種結(jié)果。這樣就必須會(huì)限制它的效能。限制它的效能。4.1.4 4.1.4 直方圖規(guī)定化處理直方圖規(guī)定化處理 n 有時(shí)需要有時(shí)需要具有特定的直方圖具有特定的直方圖的圖像，以便能夠的圖像，以便能夠?qū)D像中的某些灰度級(jí)加以增強(qiáng)。對(duì)圖像中的某些灰度級(jí)加以增強(qiáng)。直方圖規(guī)定化方直方圖規(guī)定化方法就是針對(duì)上述思想提出來(lái)的一種直方圖修正增強(qiáng)法就是針對(duì)上述思想提出來(lái)的一種直方圖修正增強(qiáng)方法。方法。直方圖規(guī)定化直方圖規(guī)定化 假設(shè)假設(shè) pr(r ) 是原始圖像灰度分布的概率

17、密度函是原始圖像灰度分布的概率密度函數(shù)，數(shù)， pz(z ) 是希望得到的圖像的概率密度函數(shù)。是希望得到的圖像的概率密度函數(shù)。如如何建立何建立 pr(r ) 和和 pz(z ) 之間的聯(lián)系是直方圖規(guī)定化之間的聯(lián)系是直方圖規(guī)定化處理的關(guān)鍵。處理的關(guān)鍵。pzz( )prr( )n 所以，直方圖規(guī)定化處理的關(guān)鍵思路是尋找一所以，直方圖規(guī)定化處理的關(guān)鍵思路是尋找一個(gè)個(gè) pr(r ) 和和 pz(z ) 間的中介，在間的中介，在 pr(r ) ， pz(z )間搭建間搭建一座橋梁，建立一座橋梁，建立 r 與與 z 的關(guān)系。的關(guān)系。 首先對(duì)原始圖像進(jìn)行直方圖均衡化處理，即：首先對(duì)原始圖像進(jìn)行直方圖均衡化處理

18、，即： kiirrrrpdprTs00)()()(4(416)16) 假定已經(jīng)得到了所希望的圖像，并且它的概率密度函假定已經(jīng)得到了所希望的圖像，并且它的概率密度函數(shù)是數(shù)是 。 對(duì)這幅圖像也作均衡化處理，即：對(duì)這幅圖像也作均衡化處理，即：p zz( )kjjzzzzpdpzGu00)()()(式式 4-2 4-2式式 4-1 4-1因?yàn)閷?duì)于兩幅圖同樣做了均衡化處理，所以因?yàn)閷?duì)于兩幅圖同樣做了均衡化處理，所以 和和 具有同樣的均勻密度。具有同樣的均勻密度。其中上式的逆過(guò)程為：其中上式的逆過(guò)程為： p sS( )puu()(1uGz(418) (418) 這樣，如果用從原始圖像中得到的均勻灰這樣，如

19、果用從原始圖像中得到的均勻灰度級(jí)度級(jí) 來(lái)代替逆過(guò)程中的來(lái)代替逆過(guò)程中的 ，其結(jié)果灰度，其結(jié)果灰度級(jí)將是所要求的概率密度函數(shù)級(jí)將是所要求的概率密度函數(shù) 的灰度的灰度級(jí)。級(jí)。 su)(zpz)()(11sGuGz根據(jù)以上思路，可以總結(jié)出直接直方圖規(guī)定化增強(qiáng)處根據(jù)以上思路，可以總結(jié)出直接直方圖規(guī)定化增強(qiáng)處理的步驟如下：理的步驟如下：(1)(1)、用直方圖均衡化方法將原始圖像作均衡化處理用直方圖均衡化方法將原始圖像作均衡化處理(2)(2)、規(guī)定希望的灰度概率密度函數(shù)規(guī)定希望的灰度概率密度函數(shù) ，并用式，并用式求得變換函數(shù)求得變換函數(shù) ； )(zpz)(uG (3)(3)、將逆變換函數(shù)、將逆變換函數(shù) 用

20、到步驟用到步驟(1)(1)中所得到的中所得到的灰度級(jí)。灰度級(jí)。（4 4）、）、 這樣，就實(shí)現(xiàn)了這樣，就實(shí)現(xiàn)了r r與與z z的映射關(guān)系。的映射關(guān)系。以上三步得到了原始圖像的另一種處理方法。在這種處理方法以上三步得到了原始圖像的另一種處理方法。在這種處理方法中得到的新圖像的灰度級(jí)具有事先規(guī)定的概率密度函數(shù)。中得到的新圖像的灰度級(jí)具有事先規(guī)定的概率密度函數(shù)。)s (Gz1)(1rTGz 原始直方圖數(shù)據(jù)原始直方圖數(shù)據(jù) 規(guī)定的直方圖數(shù)據(jù)規(guī)定的直方圖數(shù)據(jù) 均衡化處理后的直方圖數(shù)據(jù)均衡化處理后的直方圖數(shù)據(jù) （1 1）對(duì)原始圖像進(jìn)行直方圖均衡化映射處理的數(shù)）對(duì)原始圖像進(jìn)行直方圖均衡化映射處理的數(shù) 值列于表欄

21、目?jī)?nèi)。值列于表欄目?jī)?nèi)。（2 2）利用下式計(jì)算變換函數(shù)。）利用下式計(jì)算變換函數(shù)。計(jì)算步驟如下：計(jì)算步驟如下： uG zpzkkjkzj()()0uG zp zp zjzjz00000000( )( )( ).uG zpzpzpzjzjzz110101000()()()().直方圖規(guī)定化直方圖規(guī)定化uG zpzpzpzpzjzjzzz2202012000()()()()(). uG zp zp zp zp zp zjzjzzzz33030123015()()()( )()(). 以此類(lèi)推求得：以此類(lèi)推求得： uG zuG zuG zuG z445566770350650851().().().()

22、（3）用直方圖均衡化中的用直方圖均衡化中的 sk 進(jìn)行進(jìn)行 G 的的反變換求反變換求z 。 zGskk1()這一步實(shí)際上是近似過(guò)程這一步實(shí)際上是近似過(guò)程。也就是找出。也就是找出 與與 的最接近的值。例如：的最接近的值。例如：與它最接近的是與它最接近的是 所以可寫(xiě)成所以可寫(xiě)成 用這樣方法可得到下列變換值用這樣方法可得到下列變換值skG zk()s017014.G z ().3015Gz13015( .)，（4 4）用）用 找出找出 r 與與 z 的映射關(guān)系的映射關(guān)系 zGT r1 ( )rz03037 rz141747 rz252757 rz363767 rz464767 rz57571 rz67671 rz7711 790737130zs 1023747341zs 850757552zs 985767663zs 4481174zs 結(jié)結(jié)果果直直方方圖圖數(shù)數(shù)據(jù)據(jù) （5）根據(jù)這樣的映射重新分配像素，并用根據(jù)這樣的映射重新分配像素，并用 n=4096去除，可得到最后的直方