不等式知識點總結(jié)

1、不等式知識點總結(jié)1、不等式的基本性質(zhì)（對稱性）abba（傳遞性）,ab bcac（可加性）abacbc（同向可加 性）dbcadcba,（異向可減 性）dbcadcba,（可積性）bcaccba0,bcaccba0,（同向正數(shù) 可乘性）0,0abcdacbd（異向正數(shù) 可除性）0,0ababcdcd（平方法則）0(,1)nnababnnn且（開方法則）0(,1)nnabab nnn且（倒數(shù)法則）babababa110;1102、幾個重要不等式222abab abr，, （當(dāng)且僅當(dāng)ab時取號） . 變形公式：22.2abab （基本不等式）2abababr，,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取到等號）. 變形公

2、式：2abab2.2abab用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”. （三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式）33abcabc()abcr、 、（當(dāng)且僅當(dāng)abc時取到等號） .222abcabbcca abr，（當(dāng)且僅當(dāng)abc時取到等號）. 3333(0,0,0)abcabc abc（當(dāng)且僅當(dāng)abc時取到等號）. 0,2baabab若則（當(dāng)僅當(dāng)a=b 時取等號）0,2baabab若則（當(dāng)僅當(dāng)a=b 時取等號）banbnamambab1其中(000)abmn，規(guī)律：小于1 同加則變大，大于1 同加則變小 .220;axaxaxaxa當(dāng)時，或22.xaxa

3、axa絕對值三角不等式.ababab3、幾個著名不等式平均不等式：2211222abababababr，,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取號） .（即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均） .變形公式：222;22ababab222().2abab冪平均不等式：222212121.(.) .nnaaaaaan二維形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).x yxyr二維形式的柯西不等式22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dr當(dāng)且僅當(dāng)adbc時，等號成立. 三維形式的柯西不等式：22222221231231 12233()()() .a

4、aabbba ba ba b一般形式的柯西不等式：2222221212(.)(.)nnaaabbb21 122(.) .nna ba ba b向量形式的柯西不等式：設(shè),是兩個向量，則,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實數(shù)k，使k時，等號成立 .排序不等式（排序原理）：設(shè)1212.,.nnaaabbb為兩組實數(shù) .12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，則12111 122.nnnnna ba ba ba ca ca c1 122.nna ba ba b（反序和亂序和順序和 ）當(dāng)且僅當(dāng)12.naaa或12.nbbb時，反序和等于順序和. 琴生不等式:（特例 : 凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)

5、間上的函數(shù)( )f x, 對于定義域中任意兩點1212,(),xxxx有12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或則稱 f(x)為凸（或凹）函數(shù). 4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等. 常見不等式的放縮方法：舍去或加上一些項，如22131()() ;242aa將分子或分母放大（縮?。?，如211,(1)kk k211,(1)kk k2212(),21kkkkkk*12(,1)1knkkkk等 . 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式

6、20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步驟：一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù). 二判：判斷對應(yīng)方程的根. 三求：求對應(yīng)方程的根. 四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象 . 五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集. 規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊. 6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切 ），結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移項通分 標(biāo)準(zhǔn)化，則( )0( )( )0( )( )( )0( )0( )0( )f xf xg xg xf xg xf xg xg x（“或”時同理）規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整

7、式不等式求解. 8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或2( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解. 9、指數(shù)不等式的解法：當(dāng)1a時,( )()( )( )fxg xaaf xg x當(dāng)01a時,

8、( )( )( )( )fxg xaaf xg x規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對數(shù)不等式的解法當(dāng)1a時, ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x當(dāng)01a時, ( )0log( )log( )( )0.( )( )aaf xf xg xg xf xg x規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對值不等式的解法：定義法：(0).(0)aaaaa平方法：22( )( )( )( ).f xg xfxgx同解變形法，其同解定理有：(0);xaaxa a(0);xaxaxa a或( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x( )( )( )( )( )( )( )0)f xg xf xg xfxg xg x或規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含參數(shù)的不等式的解法解形如20axbxc且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：討論a與 0 的大小；討論與 0 的大??；討論兩根的大小. 14、恒成立問題不等式20axbxc的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng)0a時0,0;