函數(shù)的奇偶性和奇偶函數(shù)的圖象

1、函數(shù)函數(shù) y = f ( x ) 在定義域在定義域 A 內任取一個內任取一個 x A，且，且 x A1) 都有都有 f (x ) = f ( x )2) 都有都有 f (x ) = f ( x )3) 都有都有 f (x ) f ( x ) 且且 f (x ) f ( x ) 則則 f ( x ) 是是偶函數(shù)偶函數(shù)則則 f ( x ) 是是非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)則則 f ( x ) 是是奇函數(shù)奇函數(shù)問題：問題：1）奇偶性在什么范圍內考慮的？）奇偶性在什么范圍內考慮的？2）在定義域）在定義域 A 內任取一個內任取一個 x , 則則 x 一定在定義域一定在定義域 A 內嗎？內嗎？注意：注意：1）

2、奇偶性在整個定義域內考慮；）奇偶性在整個定義域內考慮；2）定義域若不是關于原點對稱的區(qū)間，則）定義域若不是關于原點對稱的區(qū)間，則 f ( x ) 是是非奇非偶函數(shù)；非奇非偶函數(shù)；3）考慮函數(shù)奇偶性必需先求出）考慮函數(shù)奇偶性必需先求出定義域定義域。例例1、判斷下列函數(shù)是否有奇偶性：、判斷下列函數(shù)是否有奇偶性：1） f ( x ) = 6x 6 + 3x 2 + 1 2） f ( x ) = x 3 + x 5解：此函數(shù)的定義域為解：此函數(shù)的定義域為 R f (x ) = 6 (x ) 6 + 3 (x ) 2 + 1= 6 x 6 + 3 x 2 + 1= f ( x ) f ( x ) 是是偶

3、函數(shù)偶函數(shù)解：此函數(shù)的定義域為解：此函數(shù)的定義域為 R f (x ) = (x ) 3 + (x ) 5 = x 3 x 5 = (x 3 + x 5 )= f ( x ) f ( x ) 是是奇函數(shù)奇函數(shù)3） f ( x ) = x 2 + 2x + 4 4） f ( x ) = 2 x解：此函數(shù)的定義域為解：此函數(shù)的定義域為 R f (x ) = (x ) 2 + 2 (x ) + 4 = x 2 2x + 4 f ( x ) 是是非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)解：此函數(shù)的定義域為解：此函數(shù)的定義域為 2 , + ) f ( x ) 是是非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) )()(xfxf例例2：判斷函數(shù)

4、：判斷函數(shù) f ( x ) = 的奇偶性的奇偶性2|2|12 xx解：由題解：由題 02|2|012xx2211xx 4011xxx且且4101 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為 1 , 0 ) ( 0 , 1 此時此時 f ( x ) = 2)2(12 xxxx21 xxxf 2)(1)(又又xx21 = f ( x )故故 f ( x ) 是奇函數(shù)是奇函數(shù)判定函數(shù)的奇偶性的步驟：判定函數(shù)的奇偶性的步驟：1）先求函數(shù)的定義域；）先求函數(shù)的定義域；若定義域若定義域不是不是關于原點對稱的區(qū)間，則函數(shù)為關于原點對稱的區(qū)間，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)若定義域若定義域是是關于原點對稱的區(qū)間，進入第二

5、步；關于原點對稱的區(qū)間，進入第二步；2）計算）計算 f (x ) 化向化向 f ( x ) 的解析式；的解析式；若等于若等于 f ( x ) ，則函數(shù)是，則函數(shù)是偶函數(shù)偶函數(shù)若等于若等于 f ( x ) ，則函數(shù)是，則函數(shù)是奇函數(shù)奇函數(shù)若不等于若不等于 ，則函數(shù)，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)是非奇非偶函數(shù)3）結論。）結論。 )()(xfxf觀察下列函數(shù)的奇偶性，并指出圖象有何特征？觀察下列函數(shù)的奇偶性，并指出圖象有何特征？xyoy = x 2 2xyoy = x 3xyoy = x + 1圖象圖象奇偶性奇偶性圖圖 象象 特特 征征（1）（2）（3）奇函數(shù)奇函數(shù)關于原點成中心對稱關于原點成中心對稱關于關

6、于 y 軸成軸對稱軸成軸對稱偶函數(shù)偶函數(shù)非奇非非奇非偶函數(shù)偶函數(shù)簡稱簡稱關于原點對稱關于原點對稱簡稱簡稱關于關于 y 軸對稱軸對稱不關于原點及不關于原點及 y 軸對稱軸對稱定理：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于定理：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于 y 軸對稱；軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖象關于原點（反之，如果一個函數(shù)的圖象關于原點（y 軸）對稱，那么這個函數(shù)是軸）對稱，那么這個函數(shù)是奇（偶）函數(shù)。奇（偶）函數(shù)。此定理的作用：此定理的作用：簡化函數(shù)圖象的畫法。簡化函數(shù)圖象的畫法。例例3、如圖給出函數(shù)圖象的一部分，用對稱法作出下列函數(shù)的圖象：、如圖給出函數(shù)圖象的一部分，用對

7、稱法作出下列函數(shù)的圖象：xyoxyo1）若函數(shù)是奇函數(shù)）若函數(shù)是奇函數(shù)2）若函數(shù)是偶函數(shù)）若函數(shù)是偶函數(shù)例例4、作出函數(shù)、作出函數(shù) y = x 2 | x | 6 的圖象的圖象解：當解：當 x 0 時，時， y = x 2 x 6 425)21(2 x當當 x 0 時，時， y = x 2 + x 6 425)21(2 x 425)21(425)21(22xxy00 xxxyo若利用對稱法作圖：若利用對稱法作圖：先作出先作出 x 0 的圖象的圖象再用對稱法作出另一半的圖象；再用對稱法作出另一半的圖象；可知可知 函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)是偶函數(shù)例例5、已知、已知 f ( x ) 是奇函數(shù)，當是奇函數(shù)，當

8、 x 0 時，時， f ( x ) = x 2 2x，求當，求當 x 0 時，時，f ( x ) 的解析式，并畫出此函數(shù)的解析式，并畫出此函數(shù) f ( x ) 的圖象。的圖象。xyo解：解： f ( x ) 是奇函數(shù)是奇函數(shù) f (x ) = f ( x )即即 f ( x ) = f ( x )任意取任意取x 0 時，則時，則 x0 x0時時 f ( x ) = x 2 2x f ( x ) = (x ) 2 2(x ) = x 2 + 2x f ( x ) = f ( x ) = （x 2 + 2x ） xxxxy2222故故00 xx 1)1(1)1(22xx00 xx例例6、已知、已知

9、 f ( x ) 是偶函數(shù)，而且在是偶函數(shù)，而且在 ( , 0 ) 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，問問 f ( x ) 在在 ( 0 ，+ ) 上是增函數(shù)還是減函數(shù)？上是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：設解：設 0 x 1 x 2 + 在所證區(qū)間上取值在所證區(qū)間上取值則則 x 2 x 1 0 f ( x ) 在在 ( , 0 ) 上是增函數(shù)上是增函數(shù) f (x 2 ) f ( x 1 ) f ( x ) 是偶函數(shù)是偶函數(shù) f ( x 2 ) f ( x 1 )故故 f ( x ) 在在( 0 ，+ ) 上是減函數(shù)上是減函數(shù) 1.已知已知 f ( x ) 是奇函數(shù)，而且在是奇函數(shù)，而且在 ( , 0 ) 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，問問 f ( x ) 在在 ( 0 ，+ ) 上是增函數(shù)還是減函數(shù)？上是增函數(shù)還是減函數(shù)？2、作出下列函數(shù)的圖象：、作出下列函數(shù)的圖象：1）y