《線(xiàn)性代數(shù)》常見(jiàn)證明題型及常用思路

1、線(xiàn)性代數(shù)常見(jiàn)證明題型及常用思路二、證明題題型 1關(guān)于1 ,K , m 線(xiàn)性相關(guān)性的證明中常用的結(jié)論（1）設(shè)11Lmm0 ，然后根據(jù)題設(shè)條件，通過(guò)解方程組或其他手段：如果能證明1,K ,m 必全為零，則1 ,K , m 線(xiàn)性無(wú)關(guān)；如果能得到不全為零的1,K ,m 使得等式成立，則 1 ,K , m 線(xiàn)性相關(guān)。（2）1 ,K , m 線(xiàn)性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中之一可用其他向量線(xiàn)性表示。（3）如果 1 ,K , m F n，則可通過(guò)矩陣的秩等方面的結(jié)論證明。（4）如果我們有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，1,K ,mW ,1,K ,tW ,且 W ,W 是同一個(gè)線(xiàn)性空間的兩1212個(gè)子空間，要證1 ,K ,m ,1 ,K

2、,t 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。這種情況下，有些時(shí)候我們?cè)O(shè)1 1 Lm m1 1Lt t0,Lm m ,L。1 11 1t t根據(jù)題設(shè)條件往往能得到0，進(jìn)而由1,K ,mW1,1,K ,tW2的線(xiàn)性無(wú)關(guān)得到系數(shù)全為零。題型 2.關(guān)于歐氏空間常用結(jié)論（ 1）內(nèi)積的定義（ 2）單位正交基的定義（3）設(shè) B 1,K,n 是單位正交基，uB( x ,K , x), v( y ,K , y) 。則 (u, v)x y Lxyn 51nB1n1 1n題型 3. 關(guān)于矩陣的秩的證明中常用的結(jié)論（ 1）初等變換不改變矩陣的秩（ 2）乘可逆矩陣不改變矩陣的秩（ 3）階梯形的秩（ 4）幾個(gè)公式（最好知道如何證明） ：常用來(lái)證明關(guān)

3、于秩的不等式r ( AB)r ( A)r ( B);r ( AB)min r ( A), r ( B);r ( A)r ( AT )r ( AT A);max r ( A), r (B)r ( A, B) rATr ( A) r ( B);BTAr ( A) r ( B);rBr ( A)r (B)rAr ( B) r (C );r ( A)C BAm n B 0r ( A) r (B) n（5）利用分塊矩陣的初等變化不改變矩陣的秩（常用來(lái)證明關(guān)于秩的不等式）例：證明： r ( Am n )r ( B)nr ( AB ) 。證：n r ( AB)EnEnrrABA ABEnBr ( B)rr

4、( A)A0上面第二個(gè)等號(hào)是用A 左乘第一個(gè)分塊矩陣的第一行，然后加到第二行所得；第三個(gè)等號(hào)是用B 又乘第二個(gè)分塊矩陣的第一列，然后加到第二列所得。（6）利用齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)（dim N ( Am n )nr ( A) ），此方法也可以用來(lái)證明關(guān)于向量組的秩方面的的問(wèn)題。（7）利用向量組的秩與維數(shù)主要是兩個(gè)結(jié)論：（i）矩陣的秩 =列秩 =行秩（ii ） dimkerdimImdimkerr ()的定義域的維數(shù)（ 8）利用行列式秩（ 9）利用相抵標(biāo)準(zhǔn)形題型 4. 關(guān)于可逆矩陣常用結(jié)論1A可逆AX b 有唯一解| A |0。（）結(jié)論：（2）結(jié)論： A, BM n (F ) 可逆AB 可逆。（

5、 3）結(jié)論： A 可逆當(dāng)且僅當(dāng)可以寫(xiě)為初等矩陣的乘積。（ 4）結(jié)論： A 可逆當(dāng)且僅當(dāng) 0 不是它的特征值。題型 5. 關(guān)于矩陣對(duì)角化的常用結(jié)論（ ）結(jié)論：A相似于 BC s.t. A C 1BC 。1（2）結(jié)論：任一個(gè)復(fù)數(shù)域上的方陣都相似于一個(gè)若當(dāng)形矩陣。（3）特征值與特征向量的定義（4）結(jié)論：是 A的特征值|EA| 0。（5）結(jié)論：屬于不同特征值的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（6）結(jié)論：特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)就是它的行列式，它的第n-1 次項(xiàng)的系數(shù)就是對(duì)角線(xiàn)上元素之和。（7）結(jié)論： AXXh( x)F x, h( A) Xh( ) X 。（ 8）結(jié)論：課本 P242 定理 7.8。（ 9）結(jié)論：課本 P242 推論。（ 10）結(jié)論：課本 P243 定理 7.10。（ 11）結(jié)論：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以通過(guò)正交矩陣對(duì)角化。題型 6. 關(guān)于二次型的常用結(jié)論：（ 1）定義：二次型的矩陣。（ 2）定義：相合關(guān)系。（ 3）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形、相合標(biāo)準(zhǔn)形與相合規(guī)范形的區(qū)別。（ 4）定義：課本 P263 定義 7.12 與 P269 定義 7.12（ 5）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正