培養(yǎng)小學生的數學素養(yǎng)

1、.培養(yǎng)小學生的數學素養(yǎng)曾子墨是鳳凰衛(wèi)視節(jié)目主持人，她年輕漂亮，事業(yè)有成。其實，曾子墨能取得今天的成就和她自身的數學素養(yǎng)有很大關系，1996年，在參加全球最負盛名的投資銀行摩根斯坦利的面試時，一位分析員問她：“如果你找到一份工作，薪水有兩種支付方式：一年12000美元，一次性全部給你；同樣一年12000美元，按月支付，每月1000美元。你怎么選擇？”這兩種支付方式總數相同，按常規(guī)理解，無所謂隨便選擇一種就行。但曾子墨卻說：“這取決于現在的實際利率。如果實際利率是正數，我選第一種；如是負數，我選擇第二種；如果是零，兩者一樣。同時，我還會考慮機會成本，即便實際利率是負數，假如有好的投資機會能帶來更多

2、的回報，我還是選擇第一種。”接著，那位分析員又提問：“9枚硬幣，有一枚重量和其他的不一樣，你用兩只手，至少幾次可以找出這枚硬幣？”曾子墨毫不猶豫地回答：“三次?！?“還是9枚硬幣，改變其中的一個條件，兩次就可以找出這枚特殊的硬幣，這個條件應該怎樣改變？”“告訴我這枚特殊的硬幣比其它的硬幣重還是輕?！本瓦@樣，曾子墨以她出色的表現，征服了所有分析員。最終在她的評定書上寫的是：不惜代價，一定要雇傭！數學素養(yǎng)聽起來好像很深奧、很生疏，其實它時時滲透在我們的日常生活中，如：商場打折信息、家庭投資理財問題等。那什么是數學素養(yǎng)？對于數學素養(yǎng)的解釋，到目前為止還沒有一個嚴格的、統(tǒng)一的定義。有人認為“數學素養(yǎng)”

3、是人在先天基礎上，受后天環(huán)境、數學教育等影響，所獲得的數學知識技能、數學思想方法、數學能力、數學觀念和數學思維品質等融于身心的一種比較穩(wěn)定的心理狀態(tài)。用南開大學顧沛教授的話說：“數學素養(yǎng)”就是把所學的數學知識都排出或忘掉后剩下的東西。小學生的數學素養(yǎng)包括數感、符號意識、空間觀念、統(tǒng)計觀念、數學應用意識五種數學意識，數學思維、數學理解、數學交流、解決問題四種數學能力以及數學價值觀的發(fā)展。下面我從以下三個方面和大家談談我對培養(yǎng)學生數學素養(yǎng)的膚淺認識：一、用數學的視角去認識世界。二、用數學的方式去思考問題。三、用數學的方法解決問題。首先看第一個方面：用數學的視角去認識世界數學意識的培養(yǎng)。什么是“數學

4、意識”呢？舉一個例子，假如學生會計算“48÷4”，說明學生具有除法的知識與技能。學生會解“有48個蘋果，平均每人分4個蘋果，可以分給多少人？”，說明學生具有一定的分析問題、解決問題的能力，但都不能說明學生具有數學意識。而在體育課上，48位學生在跳長繩，教師共準備了4根長繩，由此學生能想到“48÷4”這個算式，這就說明學生具有一定的數學意識了。（一） 理解數的意義與數的聯(lián)系，培養(yǎng)數感。在北京自然博物館有一塊展板：“1983年初在東北地區(qū)進行的航行調查表明，在7000平方米的山林中僅發(fā)現兩只老虎，因此東北虎被列為一級保護動物?！睂ν饨涃Q大學的小楊認為:一個標準的操場都比7000

5、平方米大。如果在7000平方米的范圍里就有兩只老虎，那么老虎的數量應該很多，怎么還會因此被列為一級保護動物呢？那為什么那么多的參觀者對此說明都熟視無睹，而小楊卻能發(fā)現其中的問題呢？一方面我認為小楊善于觀察、思考，另一方面說明小楊有很好的數感。“數感”，就是對數的本質的理解和感覺。數的本質是“多與少”或者“大與小”，從而過渡到數的順序。有關“數感”問題我們可以追溯到動物的感知，比如說條狗，它可能敢與一匹狼爭斗，但如果有兩匹狼它就會害怕，如果面對一群狼它就會逃跑。這說明動物也知道“多與少”。在數：科學的語言一書中記載了這樣一件事：一只烏鴉在一家莊園的望樓頂上建了個鳥巢，莊園主對此很生氣，決心殺死這

6、只烏鴉。可是，每當莊園主走進望樓，烏鴉就離巢而去，直到莊園主走出望樓才回巢。莊園主就想了一個辦法，他找來個朋友，兩人一起進去，然后走出一人，希望留下一個人去殺烏鴉，但是烏鴉并沒有上當回巢。后來又三人進去兩人出來，四人進去三人出來，依然如故。直到五人進去四人出來，烏鴉才分辨不清，回巢了。這說明烏鴉關于數的悟性至少可以分辨到4或5。如果人不會數數的話，能辨別到幾呢?實驗表明，人也只能辨別到4或5。由此可以推斷，在數學方面，發(fā)明了計數之后，人類才與動物產生了本質的差異。有了“多少”這一概念，人類才能理解“有序”、“后繼數”等概念。從l開始，借助“后繼數”，便形成了自然數系；通過自然數的四則運算，形成

7、了有理數系；通過有理數的代數運算，最終形成了實數系。所以，“多少”的概念，以及由其自然產生而不是通過運算產生的自然數，才是數學最本質的概念，也是小學數學的根基。因此，培養(yǎng)小學生的“數感”是低學段教學的重點。其實學生入學前就已經知道了不少數，但那只是他們憑生活經驗認識的數，對數他們只是有一種非?！澳w淺”的表層認識，我們的任務就是讓這些成人看起來非常抽象的數，在孩子的腦子中逐漸豐富起來，富有“數的內涵”。一年級上冊第五單元學習1120各數的認識，本節(jié)課的教學重點是，讓學生通過動手操作初步認識和數位“個位”、“十位” 和 計數單位“一”、“十”；理解同一數字在不同位置表示不同的數值。一上課我通過猜數

8、游戲引出“11”這個數，然后要求學生把11根小棒擺在桌面上，讓別人一眼就能看出是11根。當學生把11根分成10根和1根兩部分后，接著讓他們把10根捆在一起。這時告訴大家，和同學們一樣，數也有自己的位置，并出示數位筒，認識個位和十位。1根小棒表示1個一應放在個位筒里，1捆小棒表示1個十應放在十位筒里。另外，學生通過1個十和10個一的相互轉化過程，體會 “數位”“計數單位”概念的實際意義，建立“數位”和“計數單位”的概念。同時，“數位筒”的教學又在不知不覺中對后面“份”的概念的教學起到了非常微妙的作用，從份的概念來分析，把這“10”根小棒捆成1捆，就是把10根小棒看成1份。學完后我問學生當你看到2

9、0你想到了什么？劉鈺杰說：“我穿20號的鞋子?！眲⑾栌钫f；“20十位上是2，個位上是0?！倍庞昝日f：“我有20支新鉛筆。”丁中嵐說：“20比11大多了。”如果我們不給孩子說的自由，大概就沒機會知道孩子心中的數有如此豐富的內涵了。（二）經歷符號化過程，培養(yǎng)符號意識。英國著名數學家羅素說過：“什么是數學？數學就是符號加邏輯。”符號意識，主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。學生在生活中能接觸到很多像停車標志、奧運五環(huán)標志等用符號表示的情境，所以有一定的符號經驗。上學期學習“統(tǒng)計我們的鞋碼”時，我就利用學生已有的符號經驗，鼓勵他們用自己喜歡的

10、方式進行統(tǒng)計，有的學生寫數，有的畫“”，還有的用“、”等圖形表示。記得王老師在教學“用數對確定位置”時，先通過呈現學生熟悉的教室里的座位這一具體場景，激活學生頭腦中已有的描述物體位置的經驗；通過交流，學生產生用一致的方式來表示位置的需求。然后把具體的場景圖逐步抽象成圓圈圖、網絡圖這種平面圖，并讓經歷用數對表示位置的過程。這樣學生就經歷了“具體事物個性化地符號表示學會數學化表示”的學習過程，體會到引入符號的必要性以及數學符號的簡潔與實用，培養(yǎng)了學生的符號意識，發(fā)展空間觀念。當然數學符號的產生和發(fā)展過程并不是一帆風順的，如，阿拉伯數字的誕生和使用就是一個漫長的過程，我們可以結合數的認識的教學向學生

11、介紹數字誕生的歷史，讓學生了解數字符號的發(fā)展史，感受數學文化的無窮魅力。（三）實踐操作與數學思考相結合，培養(yǎng)空間觀念空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言描述畫出圖形等。我們就生活在宇宙這個大空間里，如，你想邀請別人去你家做客，就要說清楚你家的方位及去你家的行走路線。還有，我們的樓房，就要經歷先有設計師把頭腦中的實物抽象成平面圖形，再由建筑師負責把它轉化為實物的過程。教學時，我們要充分利用學生已有的生活經驗，找準發(fā)展空間觀念的支點。上學期在學習 “方向與位置”時，我把學生帶到操場上，利

12、用學生已有的“太陽從東方升起”的生活經驗，先確定東方，再來認識其他三個方向。這樣就把教學視野拓展到了生活空間，利用生活原型來有效促進學生空間觀念的發(fā)展。空間觀念的發(fā)展不僅需要豐富的現實情境、而且需要大量的操作活動。在教學“體積和容積”時，有位教師就利用從粉筆盒抽出粉筆和放回粉筆的動態(tài)過程，把抽象的數學概念具體化，讓“物體占有空間的大小”變得可觀察、可感受。還有在學習“搭一搭”時，老師先出示兩幅從物體前面和右面觀察到的平面圖：前面： 右面： 然后讓學生通過想一想、搭一搭、說一說等活動，知道有多種可能的情況，不能確定物體的具體形狀。這時老師又出示從上面看到的平面圖。上面： 最后，大家通過想一想、搭

13、一搭確定了物體的形狀。在這里，教學過程把學生的觀察、操作、想象、思考、交流等活動結合起來，發(fā)揮學生的空間想象力，實現了二維平面與三維空間之間的轉化，有效促進了活動的內化及空間觀念的形成。（四）經歷統(tǒng)計活動的全過程，培養(yǎng)統(tǒng)計觀念我們幾乎每天都要和數據打交道，如：“今日滬綜指開于2845.33點，跌幅1.07%，成交額679.80億元?！薄拔覈?.91億畝作物受旱，422萬人飲水困難”，對數據進行收集、整理、分析是我們每位公民的基本素養(yǎng)之一。統(tǒng)計就是一個包括數據的收集、整理、描述和分析的完整過程。小學生學習統(tǒng)計的核心目標是發(fā)展“統(tǒng)計觀念”統(tǒng)計觀念的培養(yǎng)僅靠訓練是難以形成的，必須讓學生去親身體驗。如

14、，上學期學校舉辦“陽光女孩節(jié)”，我班就開展了一次“應多買些什么顏色的氣球”的調查。學生經歷了收集數據、整理數據、描述數據，通過交流，作出決策的統(tǒng)計活動。在活動中學生體會到統(tǒng)計的必要性以及統(tǒng)計的作用?，F代公共媒體已經大量使用統(tǒng)計圖來表示信息，能看懂生活中常見的統(tǒng)計圖表是現代公民重要的數學素養(yǎng)。因此，進行統(tǒng)計教學時，應將學習重點放在引導學生讀懂統(tǒng)計圖表、會分析圖表中的數據并進行必要的推理上，而不是放在制作統(tǒng)計圖表上。如，一位同學調查了自己班上的5位男同學，其中有4位同學喜歡打籃球，便得出結論他班80%的同學喜歡打籃球。我們就要引導學生對數據來源、數據處理的方法以及由此得到的結論進行合理的質疑，使學

15、生對統(tǒng)計數據有較全面、正確的認識。（五）注重數學與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)數學應用意識有一次，我的好朋友不好意思的問我：在超市買東西時，你好不好看同一產品不同的包裝的價格，然后比較一下哪個便宜再買？其實，我們學知識為了什么？不就是用嗎？學了不讓它為我們的生活服務，我們學它干什么。比如，同樣是光明純鮮牛奶：大包裝1000ml,8元/桶；小包裝220ml，2元/盒。通過計算1000÷8=1250（ml/元） 220÷2=110（ml/元）可以知道，同樣1元錢，可以多喝15 ml牛奶，如果家庭人口比較多，當然選擇大包裝合算。什么是數學應用意識呢？數學應用意識是應用數學知識、數學思想方法的

16、心理傾向，主動嘗試用數學知識、方法、策略、思想去思考和解決遇到的現實問題?？磥砦疫@位朋友就有很好的數學應用意識。在教學中我們要有意識的引導學生關注生活中的這些數學問題，讓他們體會到學習數學的意義以及數學的應用價值，養(yǎng)成用數學的眼光觀察生活的習慣。培養(yǎng)學生的應用意識和實踐能力，僅靠課堂上的學習體驗是不夠的，我們還要安排一些有意思的實踐活動，把數學學習延伸到課外。在認識“厘米和米”時，一位教師就安排了四次課外實踐活動：（一）請你和爸爸、媽媽一起用腳量一量你的小房間的長。通過活動，讓學生體驗到同一物體用不同的長度單位量，會得到不同的結果；其次讓學生在學習長度單位前，對長度單位先有一個廣義的了解，并在

17、與爸爸媽媽合作的過程中感受學習的快樂。（二）請你和同桌一起用一拃來量一量課桌的長。通過本活動，學生再一次體驗到同一物體用不同的長度單位量，會得到不同的結果，同時讓學生感受到就自己的一拃在量的過程中長短也在變化，這樣量不準確，最好用一個比較準一點的工具來量。（三）請你用數學書來量一量你的小房間和課桌的長。通過這一活動，學生感悟到用同樣的長度單位去量，可以比較物體的長短，但這樣的長度單位在敘述時很不方便，適用范圍也小，既不能量比較長的物體，如操場，也不能量比較小的物體，如橡皮，從而感受到需要有一種統(tǒng)一的測量工具和統(tǒng)一的長度單位。（四）請你用尺子來量一量你的小房間和課桌的長。通過這次活動，學生加深了

18、對厘米和米的認識，同時建立了法定長度單位與生活中長度單位間的聯(lián)系，熟練掌握了用尺子來量物體的長度的方法。第二個方面：用數學的方式思考問題數學思維能力的培養(yǎng)。（一） 數形結合，發(fā)展學生的形象思維小學生的思維處于形象思維向抽象思維過渡的階段。數是形的抽象，形是數的表現?！皵敌谓Y合”能幫助學生生成正確的數學表象，促進學生的數學理解。案例一：“千克與克”的認識屬于概念教學，內容相對比較抽象，學生理解有一定困難。在學習千克的時候，我設計了一個找1千克的環(huán)節(jié)。我讓學生一只手掂著1千克重的洗衣粉，另一只手掂一掂袋子里的東西，估一估哪袋東西也重1千克。人對物體質量的直觀感知，除了掂一掂然后估一估之外，很重要的

19、一種方式是根據具體實物的數量來進行簡單推斷。因此，在評價學生“克與千克”知識掌握程度時，經常要考查學生“5個蘋果約重（）千克”、“1箱蘋果重10（）”。我們大人根據一般的生活經驗，都能做出簡單的估計。但剛上三年級的小學生，生活經驗比較少，或者平時經歷了但沒有留心，臨到做題時只能瞎猜。而且同樣質量的物體，每個物體的大小不同，物體的數量也不同。這就要求教師在課堂上通過實踐活動，喚醒學生的經驗，提醒他們注意積累對質量的體驗。比如，學生掂、稱出1千克蘋果、面粉等后，讓學生數一數、看一看，就能發(fā)現4個蘋果約重1千克，2瓶礦泉水約重1千克，1千克黃豆（約4000粒）有幾捧。讓學生將抽象的1千克數學概念與具

20、體事物的數量、體積聯(lián)系起來，能幫助學生有效建立1千克的質量概念，化抽象的概念為可以看得見的數學事實。案例二：在計算教學中我們不僅要讓學生掌握計算方法，更重要的是要人學生明白算理，使學生不僅“知其然”，而且“知其所以然”，促進學生對數學的理解。在小學階段，加、減、乘、除的豎式寫法是筆算教學的重要內容，其中除法的豎式相對特殊。初次接觸除法豎式是在二年級上冊第七單元表內除法，由口算引入，數目簡單，根據知識遷移規(guī)律，學生一般都會仿照加、減、乘法的豎式寫法來寫“除法豎式”。如果我們非要學生再創(chuàng)造一種新的豎式寫法，那么除法豎式只能成為教師一廂情愿硬塞給學生的東西，體現不出除法豎式的優(yōu)勢。教學不應該是學生適

21、應教師，而應該以學定教。為了讓學生體驗到筆算除法的必要性，我在教學這節(jié)課時，改變了教材的呈現順序，把二年級下冊的有余數的筆算除法提前，也就是先教學有余數除法的豎式，再教學沒有余數的。教學過程是這樣設計的：1.分糖葫蘆活動，把13串糖葫蘆平均分給4個同學，每個同學分到幾串，還剩幾串？2.用小棒代替糖葫蘆分一分。3.列橫式計算：13÷4=3（串）1（串）。4.加、減、乘法都有豎式，除法也能用豎式計算，讓學生嘗試寫出來，結果多數同學不知怎樣寫，而我班李景渤這樣創(chuàng)造：13÷ 4=31這時，我寫出正確的除法豎式讓學生對比兩者的不同，學生發(fā)現正確的寫法能清楚的看出哪些是要分的，哪些是已

22、經分的，哪些是剩余的，能更好的體現出分的過程。接著結合分小棒的過程來介紹除法豎式的寫法。關于除法豎式的書寫順序，教材和教師用書都沒有說明，我嘗試按被除數、除號、除數、等于號、商的順序來書寫，這種書寫過程與橫式書寫順序一樣，這樣可以避免學生把除號里面的被除數和外面的除數位置搞錯。5.學生嘗試練習除法豎式：21÷5、20÷6、15÷3。從有余數到無余數，從一般到特殊，學生順利理解在15÷3的豎式中，被除數下面要再寫一個15，是表示分掉了15個。這節(jié)課先教學有余數的除法豎式，讓學生產生用加、減法的豎式書寫，余數沒辦法處理的矛盾，從而產生學習除法豎式的內心需求，

23、同時也有助于學生理解除法豎式中各部分的意義。案例三：圖形語言是形象思維的主要載體，運用“數形結合”辦法解決問題就是把數學問題中的數量關系與空間形式結合起來進行思維。例如，小朋友排隊，小雨從前往后數，他自己是第8個。又從后往前數，他是第5個。這隊共有多少個小朋友？一部分學生一時難以解決，教師要引導學生畫示意圖解決，用圖表示為：前后，得到：7+1+4=12（人）或8+4=12（人），化抽象為直觀，使問題的數量關系更容易理解，找到簡捷地解決問題的辦法。（二）精心組織數學活動，培養(yǎng)學生初步的推理能力推理是由一個或幾個已知判斷得出新判斷的思維過程。根據小學生的年齡特征，小學生的推理能力應以合情推理為主。

24、偉大的科學家牛頓認為：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現?！睌祵W猜想是合情推理發(fā)展的基礎?！安孪腧炞C”是一種重要的推理策略。在教學“圓錐的體積”時，老師要求學生把圓柱形的胡蘿卜削成等高的圓錐，并猜測圓錐的體積與圓柱體積的關系。有的認為是圓柱的1/2,有人認為是1/3,也有人認為介于1/2和1/3之間。在上述案例中，學生借助觀察與實驗進行了大膽猜想；我們也可以運用類比提出猜想，如根據“長方體的體積=底面積×高”，可以類比推斷出“圓柱的體積=底面積×高”。由于合情推理的結果具有不確定性，所以我們要采用實例法和演繹法對結論進行論證，并以實例驗證為主。實例驗證，主要是通過舉例的方

25、法進行，可以舉反例，推翻原來的結論或猜想。也可以舉出正例，運用不完全歸納法驗證猜想使原來的結論更加可靠。下面我們來看學生是怎樣驗證“3的倍數的特征”的。當學生根據2、5的倍數的特征猜測：個位上是3、6、9的數是3的倍數后，學生就用反例進行了驗證：生1：個位上是3、6、9的數不一定是3的倍數，如13、16、19都不是3的倍數。生2：像60、12、27等個位上不是3、6、9，但這些數都是3的倍數。通過探索初步得出：“一個數每個數位上的數字和是3的倍數，這個數就是3的倍數”這一結論后，學生又用“舉例歸納”的方法進行了驗證：如有的學生發(fā)現“在1100的自然數中，是3的倍數的，各位數位的數字和都是3的倍

26、數。110、145各數位數字之和不是3的倍數，這些數就不是3的倍數?！弊詈螅處熯€引導學生利用3根小棒在數位表中擺數，用“操作歸納”的方法進一步驗證了結論。隨著年級的升高，我們應該結合課堂上的學習內容，引導學生學習一些有效的演繹推理方法。如，17世紀著名的數學家萊布尼茲就一絲不茍地利用數學的演繹法論證了“2×2=4”，2×2=2×（1+1）=2+2=2+（1+1）=（2+1）+1=3+1=4，這里運用了自然數的意義、乘法分配律、加法結合律等知識進行論證。小學生的推理能力往往不是靠“傳授”得來的，而是在自主參與的推理活動中“領悟”出來的。數學推理能力的培養(yǎng)并不僅局限

27、于課堂，一些有效的課外活動及游戲方式同樣是培養(yǎng)推理能力的良好途徑。（三）把握整體，突破常規(guī)，培養(yǎng)直覺思維能力愛因斯坦說：“真正可貴的思維是直覺思維?！敝庇X思維是人腦對事物、問題、現象的某種直接的領悟和洞察的一種思維形式。在教學中，要培養(yǎng)學生的直覺思維能力。首先，要提高學生整體把握知識的能力。如小明今年8歲，他媽媽今年36歲，再過6年，媽媽比小明大幾歲？按一般的思維方式，此題列式是“（36+6）-（8+6）”，但具有良好的直覺思維的學生就會簡化信息與問題間的距離，直接列式為“36-8”.其次，要選擇合適的問題和形式，訓練學生的直覺思維。如問題1：計算（1+3+5+2007）-（2+4+6+200

28、6），教師可以引導學生觀察數據特點，從而產生直覺預見，去掉括號，將算式重組為1+（3-2）+（5-4）+（2007-2006）=1004。問題2：下面時間中，與你的年齡最接近的是（）。600時 b 600日 c 600周 d 600月 本題是一道選擇題，只要求從四個選項中挑選一個合理的答案，省略了解題過程，允許學生運用合理的猜想，有利于直覺思維的發(fā)展。最后一個方面:用數學的方法解決問題解決問題能力的培養(yǎng)。記得匈牙利著名數學家羅莎曾做過一個比喻：假如在一群專家面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，要想燒開水，應當怎么做？大家都認為應先灌水，再點燃煤氣灶，然后放到火上燒，這是共同的認識。但如果壺中已經

29、灌好水了，其它條件都不變，又該怎樣做？這時，多數專家會直接點燃煤氣灶，然后放在火上燒，而唯有數學家會把水倒掉，因為數學家這時會用數學思維化歸思想來思考問題，把后一情形化歸為前面已經熟悉的情形。比喻雖有點夸張，但它的確能說明：與其他應用科學家相比，數學家更善于用數學的思維方式來思考問題。能否用數學的思想、方法、策略等去解決數學問題或日常問題是學生數學素養(yǎng)高低的一個重要標志。（一）讓運用策略成為學生的一種思維習慣生活中的問題形式多樣、變化多端，我們不可能把所有問題讓學生一一嘗試解決。因此，“解決問題”的學習價值在于使學生積淀解決問題的基本思路和常用方法，積累解決問題的經驗，形成解決問題的基本策略。

30、根據小學生的年齡特點，應把畫圖、列表、猜想與驗證、動手操作等作為常用策略在教學中加以指導。很多問題都可以通過用“圖”解決或找到思路?！爱媹D”包括畫線段圖、示意圖等。線段圖是一種常見的圖式表征的形式，在一年級學習求一個數比另一個數多（少）幾的問題時，我就引導學生用線段圖來揭示數量關系：一班：二班： 使問題變的直觀易解。畫示意圖是指用圖來模擬具體情境或事物運動變化的過程，如這樣一個問題：小船最初在南岸，從南岸駛向北岸，再從北岸駛回南岸，不斷往返。小船擺渡21次后，船在南岸還是北岸？為什么？在教師的引導下學生畫出了示意圖。通過觀察得出結論：擺渡奇數次后，船在北岸；擺渡偶數次后，船在南岸。因為21是奇

31、數，所以船在北岸。畫圖直觀、明了，學生容易找到解題思路。列表也是一種重要的解決問題策略。列表可以幫助學生整理信息，并利用表格進行分析推理；也可以幫助學生分析數量之間的關系、尋找規(guī)律。對于古代數學名題“雞兔同籠”：雞兔同籠，有20個頭，54條腿，雞、兔各有多少只？我們可以引導學生列表：頭（個）雞（只）兔（只）腿（條）201 197820515702010106020155502014652這么多腿？一定是兔子太多了還多，兔子還應減少比54少了，兔子數應該在5和10之間然后用“猜想與嘗試”的策略找到解決問題的答案。其實“雞兔同籠”問題我們的關注點不是數學問題本身，而是要用“雞兔同籠”這個問題為載體

32、讓學生經歷列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會解決問題的一般策略?！皠邮植僮鳌辈呗允抢脤嵨锊僮骰騽討B(tài)模擬幫助學生思考問題。在各個學習領域都可以應用動手操作策略幫助學生理解知識、解決問題。如利用擺小棒理解算理、利用圖形剪拼探索組合圖形面積的計算方法等。當遇到如“小軍去游泳池游泳，他在泳道內游了兩個來回，共游了100米，這個游泳池的泳道有多長？”這樣的問題，可以讓學生用手在桌面上模擬一下真實情境，理解“兩個來回”實際上就是4個泳道的長。另外，在指導學生掌握和運用這些方法和策略的同時，還應結合適當的材料滲透一些基本的數學思想，如剛才提到的化歸思想，數學問題解決的最基本的形式就是化歸：把未知的問題化

33、歸為已知的問題，把非典型的問題化歸為典型的問題，把非常規(guī)的問題化歸為常規(guī)問題。還有函數思想、集合思想等。（二）有效實現解決問題過程的兩次轉化周玉仁教授認為：“在解決實際問題的過程中，小學生實際上完成了兩個轉化。從紛亂的實際問題中獲取有用的信息，抽象成數學問題，這是第一個轉化。然后分析其間的數量關系，用數學方法求解或近似解，并在實際中檢驗，這是第二個轉化?！币虼耍覀円訌妼W生解決問題過程的指導，促進學生較好地完成這“兩次轉化”，提高他們解決問題的能力。1.注重“問題表征”方法與策略的指導，促進“問題情境”向“數學問題”的轉化表征問題的方式一般分為內部表征和外部表征兩種。內部表征（也稱心理表征

34、），是指在頭腦中表征問題，對于信息少、數量關系簡單的問題，學生一般用內部表征就能解決。外部表征是指把有關信息與問題用圖形、表格等方式表示出來。外部表征的形式很多，像信息摘錄、畫圖呈現等。根據小學生的特點，教學中要加強外部表征方式的指導，引導學生讀懂問題情境，摘錄下有用信息，實現“問題情境”向“數學問題”的轉化。心理表征有兩種基本的策略直接轉換策略和問題模型策略。使用直接轉換策略的學生只對題中的表面內容進行理解，比如看到“一共”就用加法，看到“少”就用減法；而使用問題模型策略的學生是對每個信息都進行表征，理解各信息之間的關系，再進行情境模型建構。如這樣一個問題：學校體育室共有30個籃球，四（1）

35、班借了20個籃球，又還回來8個，四（1）班還有幾個籃球沒有還？如果學生認為“ 共有30個籃球，借走20個，算式是30-20，又還回來8個，所以算式是30-20+8”這說明他使用的是直接轉換策略；如果學生認為“借走20個，又還回來8個，所以沒有還的籃球數是20-8，30在這個問題中是多余信息”，這個學生使用的就是問題模型策略。教學中，教師要有針對性的指導，提高學生運用“問題模型策略”表征問題的能力。2.注重數量關系分析的指導，促進從“數學問題”到“用數學方法解決”的轉化解決問題時，分析數量關系是從“數學問題”到“用數學方法解決”的“橋梁”。數量關系的建構要結合具體的問題情境，除了“速度、時間、路

36、程”和“單價、數量、總價”等常見的數學模型有必要進行概括外，其他的數量關系就沒有必要作統(tǒng)一要求了。對于比較復雜的數量關系，教師要引導學生利用畫圖、列表等表征方式進行分析。下面來看一個教學片斷：“解決角上重復計數問題”：在一個正方形的每條邊上放6個棋子，最少要用多少個棋子？教師鼓勵學生用畫圖的方式說明自己的想法。結果出現了：生1：6×2+（6-2）×2=20（個），我先算兩條邊的棋子數要12個，另外兩條邊只要增加4個就可以了。生2：角上4個棋子各重復了一次，我每條邊上只算一個，所以是5×4=20（個）。生3：角上的棋子重復了一次，所以是6×4-4=20(個

37、)。生4：角上的棋子可以先不算，所以是4×4+4=20(個)。反饋交流后，再呈現第二個問題：在一個正方形的每條邊上擺100個棋子，最少要多少個呢？讓學生先把圖畫在腦子里，嘗試列式計算，最后畫圖驗證。在上述案例中，教師引導學生用畫圖的方法進行思考，從簡單到復雜，從具體到抽象，并把數學計算方法、圖形、數學語言說明相結合，促進了學生對方法的理解，提高了使用畫圖策略解決問題的能力。當然，解決問題的策略是多樣化的，我們要鼓勵學生根據不同的問題來選擇恰當的方法和策略，并將解決問題的策略內化為個人的數學素養(yǎng)，成為思考問題的一種習慣。（三）在交流與反思中促進方法與策略的內化解決問題經驗的積累、方法策

38、略的內化在很大程度上是交流與反思的結果。案例：“估計一版報紙有多少字”。老師先讓學生獨立思考后說說自己打算怎樣估計：生1：先估計一篇文章，再數出一共幾篇文章。生2：先估計一欄有多少字，再看一共有幾欄。生3：把報紙折成大小相等的幾塊，先估計一塊，再估計整版。接著讓學生在三種方法中選擇一種進行估計。估計完再進行交流。這兩次交流意義不同：第一次是交流估計的策略，通過交流使一部分還沒有想起策略的同學得到了啟發(fā)，估計時就不會茫然無序。第二次主要是交流具體的估計方法，在同學們的互相補充中來完善自己的方法。許多研究表明，學生在問題解決中之所以失敗，常常不是因為缺乏相關的知識和認知策略，而是對知識和認知策略的

39、無效運用。專家在研究問題時，會定期檢查解題過程，看看是否沿著一條正確的途徑，如果感覺沒有進展，就會毫不猶豫地停下來，選擇其他途徑。學生的評價、反思意識和水平對提高學生解決問題的能力起著重要的作用，教師要善于引導學生對解決問題的過程和方法進行反思和評價，促進“策略”的形成?？傊?，“解決問題”教學要變“教解法”為“策略指導”，引導學生學會從復雜的情境中解讀數學信息，注重解決問題過程中的體驗和解決問題方法的積淀，提升學生的數學素養(yǎng)。記得聽過這樣一個故事：一位數學家的女兒從幼兒園放學回家，父親問她今天學到了什么？女兒高興的回答道：“我們今天學習了集合?！睌祵W家想，對這樣一個高度抽象的概念，到高中一年級才要學，女兒的年齡實在太小了。因此，他關切地問：“你懂嗎？”女兒肯定地回答：“懂！一點都不難?！备赣H還是放心不下，又追問道：“你們老師是怎樣教的？”女兒說：“老師先讓班上的男孩子站起來，然后告訴大家，這就是男孩子集合；再讓所有女孩子站起來，并說這就是女孩子集合；接下來，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合。老師最后問大家：是否都懂了？大家回答