《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教學(xué)的研究

1、    復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)的研究    馮麗萍【摘 要】復(fù)變函數(shù)與積分變換是工程數(shù)學(xué)的一門(mén)基礎(chǔ)課程，本文針對(duì)該課程課時(shí)少而內(nèi)容多的特點(diǎn)，對(duì)這門(mén)課程的教學(xué)提出幾點(diǎn)個(gè)人看法?！娟P(guān)鍵詞】復(fù)變函數(shù)；積分變換；教學(xué)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程是大學(xué)本科理工科類(lèi)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)課。復(fù)變函數(shù)論主要是在研究流體力學(xué)、電力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)以及理論物理學(xué)中發(fā)展起來(lái)的，為解決這些學(xué)科的一些實(shí)際問(wèn)題起了相當(dāng)大的作用。復(fù)變函數(shù)與積分變換理論和數(shù)學(xué)的其他分支也有密切聯(lián)系。復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的拓展和延伸，其中的保形映射在偏微分方程中有著重要的應(yīng)用；積分變換中的傅立葉變換在微分方程、

2、積分方程、概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)論、泛函分析學(xué)以及數(shù)論等學(xué)科中都是重要的工具。即使是最簡(jiǎn)單的函數(shù)，比如多項(xiàng)式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，也只有在復(fù)變函數(shù)中才能體現(xiàn)其本質(zhì)。另外，作為一種特別有用的工具，復(fù)變函數(shù)當(dāng)中的留數(shù)理論可以用來(lái)解決很多高等數(shù)學(xué)中難以解決的問(wèn)題。因此，復(fù)變函數(shù)與積分變換以它的完美的理論與精湛的技巧成為大學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。雖然復(fù)變函數(shù)與積分變換這門(mén)課程有著重要的作用，不過(guò)大部分高校對(duì)此課程設(shè)置的課時(shí)都比較少，基本上都是三十二學(xué)時(shí)或者四十八學(xué)時(shí)，相對(duì)于高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，這些課時(shí)是非常有限的。在有限的時(shí)間內(nèi)，如何能讓學(xué)生充分利用每周的少量課時(shí)，理解和掌握這門(mén)課程的精髓，并為以

3、后的各門(mén)專(zhuān)業(yè)課打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這一點(diǎn)對(duì)于每一位授課老師以及學(xué)生來(lái)說(shuō)都是極其重要的。以下根據(jù)我任教十幾年來(lái)對(duì)該門(mén)課程的理解，簡(jiǎn)單談?wù)勎覍?duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)的幾點(diǎn)看法。1 總結(jié)同一概念和性質(zhì)在復(fù)變函數(shù)和高等數(shù)學(xué)中的相似與不同，加強(qiáng)理解和記憶復(fù)變函數(shù)與積分變換這門(mén)課程的內(nèi)容主要有兩部分，前半部分是復(fù)變函數(shù)，后半部分是積分變換。其中復(fù)變函數(shù)以理論為主，積分變換以應(yīng)用為主。復(fù)變函數(shù)是以高等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，同時(shí)也是高等數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)域向復(fù)數(shù)域的擴(kuò)展，因此復(fù)變函數(shù)中的大部分概念都是和高等數(shù)學(xué)的概念類(lèi)似，性質(zhì)也基本上都是相同的。其中第一章復(fù)變函數(shù)的概念中，區(qū)域的概念，復(fù)變函數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)的極限的概念，復(fù)變函數(shù)

4、的連續(xù)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等和實(shí)數(shù)域中相似；第三章復(fù)變函數(shù)的積分中，積分的概念和實(shí)數(shù)域的定積分，重積分的概念一致，都是通過(guò)對(duì)所求變量按照“分割，近似替代，求和，取極限”這四個(gè)過(guò)程來(lái)定義的；第四章級(jí)數(shù)中，復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)也與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)的概念一致。在講授這些內(nèi)容的時(shí)候，任課老師可以先和同學(xué)們一起簡(jiǎn)單的回憶高等數(shù)學(xué)中的概念和性質(zhì)，與復(fù)變函數(shù)結(jié)論有區(qū)別的地方可以重點(diǎn)說(shuō)明，接著講解新內(nèi)容，相似點(diǎn)可以直接類(lèi)比，對(duì)于不同的地方需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，而且可以啟發(fā)學(xué)生去思考不同之處的根源。復(fù)變函數(shù)中的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是無(wú)界函數(shù)，指數(shù)函數(shù)是周期函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)等，這些內(nèi)容如

5、果任課教師在講臺(tái)上只是一味的照本宣科，學(xué)生會(huì)覺(jué)得這是內(nèi)容的重復(fù)，聽(tīng)起課來(lái)肯定興趣不高；如果老師能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓他們自己去帶著問(wèn)題思考，帶著問(wèn)題聽(tīng)課，讓他們自己找到相似點(diǎn)和區(qū)別，不僅師生之間可以有良好的互動(dòng)性，學(xué)生也會(huì)對(duì)自己總結(jié)的這些知識(shí)加深印象。2 把握側(cè)重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)課程的特色復(fù)變函數(shù)與積分變換這門(mén)課的課時(shí)一般不多，但是它包含的內(nèi)容卻很多，因此要想在比較少的時(shí)間內(nèi)將所有的內(nèi)容都詳細(xì)的介紹，那肯定是不可能的。授課老師在上課之前應(yīng)該掌握該課程的側(cè)重點(diǎn)，合理的安排好每個(gè)章節(jié)的授課時(shí)間。在第一章復(fù)變函數(shù)中，復(fù)數(shù)的輻角和復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的三角表示和幾何表示以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算是以后各章內(nèi)容的基礎(chǔ)，這部分

6、內(nèi)容只有講透，學(xué)生才能在以后的學(xué)習(xí)中有個(gè)扎實(shí)的基礎(chǔ)。復(fù)數(shù)域中的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是唯一的一個(gè)點(diǎn)，很多課時(shí)少的學(xué)校將這部分內(nèi)容作為選講內(nèi)容，但我個(gè)人認(rèn)為這是個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)可以在很多時(shí)候簡(jiǎn)化計(jì)算量，是個(gè)很有用的工具，而且在積分變換的內(nèi)容中也會(huì)涉及到這方面的知識(shí)，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)需要強(qiáng)調(diào)一下；第二章解析函數(shù)中，解析函數(shù)以及解析函數(shù)的充要條件是重點(diǎn)，也是研究復(fù)變函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的前提；第三章復(fù)變函數(shù)的積分，這部分內(nèi)容可以簡(jiǎn)單介紹原理，為以后介紹洛朗級(jí)數(shù)和留數(shù)做前提；至于用柯西積分公式，柯西古薩定理和高階導(dǎo)數(shù)公式去計(jì)算封閉曲線的積分可以簡(jiǎn)單讓學(xué)生理解；第四章級(jí)數(shù)，洛朗級(jí)數(shù)是重點(diǎn)，任課老師要讓學(xué)生理解洛朗級(jí)數(shù)和

7、泰勒級(jí)數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別，并學(xué)會(huì)如何將同一復(fù)變函數(shù)在不同點(diǎn)，不同的圓環(huán)域內(nèi)，展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)；第五章留數(shù)是個(gè)新的概念，也是復(fù)變函數(shù)的核心，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)全新的知識(shí)，任課老師在講授這部分內(nèi)容時(shí)可以適當(dāng)放慢速度，利用解析函數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)的相關(guān)理論讓學(xué)生理解核心概念-留數(shù)的定義，掌握利用留數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)去解決積分問(wèn)題的方法。留數(shù)是復(fù)變函數(shù)理論當(dāng)中一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，留數(shù)理論也可以用來(lái)解決一些高等數(shù)學(xué)中很難求解的積分問(wèn)題。這樣學(xué)生可以感受到復(fù)變函數(shù)除了是實(shí)數(shù)域中理論的拓展，還可以反過(guò)來(lái)解決實(shí)數(shù)域中的很多難題。3 積分變換是一個(gè)工具，側(cè)重于應(yīng)用積分變換中主要有兩個(gè)積分變換-傅立葉變換和拉普拉斯變換。這兩個(gè)變換是相互聯(lián)

8、系又有區(qū)別。傅立葉變換是由周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)推廣得到的，拉普拉斯變換是在傅立葉變換的基礎(chǔ)上優(yōu)化得來(lái)的，這一部分的概念可以簡(jiǎn)單講解。積分變換部分關(guān)鍵是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用這兩個(gè)工具解決一些實(shí)際問(wèn)題，比如在現(xiàn)代信號(hào)處理的應(yīng)用等等；也可以增加一些時(shí)尚的和生活實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然這也對(duì)授課老師提出了較高的要求，要求教師能夠?qū)Ψe分變換的可能的應(yīng)用領(lǐng)域以及在其他實(shí)際中的用途等多方面的知識(shí)都有了解，以方便在教學(xué)中隨時(shí)可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。4 結(jié)合多媒體，縮短板書(shū)時(shí)間；縮短上課的周期，提高效率復(fù)變函數(shù)中有部分概念需要很強(qiáng)的空間想象能力，例如基本初等函數(shù)的實(shí)部與虛部、復(fù)數(shù)的模與輻角、復(fù)球面

9、的概念，函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)等；積分變換部分，工程上經(jīng)常出現(xiàn)的單位脈沖函數(shù)，這些對(duì)于剛剛接觸到這門(mén)課程的學(xué)生來(lái)說(shuō)，都是是非常抽象的。如果可以通過(guò)多媒體軟件展示這些概念，就會(huì)直觀的多，學(xué)生也容易理解。對(duì)工科的大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，復(fù)變函數(shù)與積分變換只是一個(gè)解決問(wèn)題的工具，很多結(jié)論沒(méi)有必要要求學(xué)生去掌握具體原因，只需要學(xué)會(huì)并熟練運(yùn)用結(jié)論就可以了。比如第三章的柯西-古薩定理，復(fù)合閉路定理，柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式等這些結(jié)論，學(xué)生只要能會(huì)運(yùn)用就可以了。但是這幾個(gè)結(jié)論相對(duì)來(lái)說(shuō)都很長(zhǎng)，如果授課老師板書(shū)到黑板上需要浪費(fèi)很多時(shí)間，如果只是照著課本念一下，學(xué)生又沒(méi)有什么印象。利用電子ppt，在每次需要用的時(shí)候可以直接拿出來(lái)，而且可以針對(duì)每個(gè)結(jié)論，對(duì)應(yīng)的舉例說(shuō)明，那樣就可以節(jié)省不少的時(shí)間。最后對(duì)于小學(xué)時(shí)的課程，希望能夠縮短上課的周期，變成前半學(xué)期或者后半學(xué)期教學(xué)。這一點(diǎn)部分高校已經(jīng)開(kāi)始實(shí)行，一周一次的課程教學(xué)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)有一周兩三次的效果好。當(dāng)然授課老師在課堂上為了增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以適當(dāng)滲透一些現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)提供一些接口；聯(lián)系其他相關(guān)課程的知識(shí)和工程實(shí)際應(yīng)用，以加強(qiáng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。比如利用留數(shù)計(jì)算積分是復(fù)變函數(shù)理論中一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，課堂上除了詳細(xì)介紹這些之外也可以介紹一下留數(shù)計(jì)算的物理應(yīng)用，如在數(shù)字濾波器性能分析和形狀設(shè)