三角形的四心及應用

1、三角形的四心及應用重心三角形重心是三角形三邊中線的交點。1、 重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。2、 重心和三角形3 個頂點組成的3 個三角形面積相等。3、 重心到三角形3 個頂點距離 平方 的和最小。(等邊三角形 ）4、 在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標 的算術平均數 ，5、 三角形內到三邊距離之積最大的點。6、 在 abc 中，若 ma 向量 +mb 向量 +mc 向量 =0（向量），則 m 點為 abc 的重心，反之也成立。7、 設 abc 重心為 g 點，所在平面有一點o，則向量 og=1/3 （向量 oa+ 向量 ob+ 向量oc）外心三角形 外接圓 的圓心

2、叫做 三角形的外心 。性質 1：（ 1）銳角三角形的外心在三角形內；（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；（3）鈍角三角形的外心在三角形外. （4）等邊三角形外心與內心為同一點。性質 2： bgc=2 a， （或 bgc=2(180 - a)）. 性質 3： gac+ b=90 性質 4：點 g 是平面 abc 上一點， 點 p 是平面 abc 上任意一點， 那么點 g 是 abc外心的充要條件是：（1）向量 pg=(tanb+tanc)向量 pa+(tanc+tana)向量 pb+(tana+tanb)向量pc)/2(tana+tanb+tanc).或（ 2）向量 pg=(cosa

3、/2sinbsinc)向量 pa+(cosb/2sincsina)向量pb+(cosc/2sinasinb)向量 pc.性質5：三角形三條邊的垂直平分線 交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點的距離相等。性質 6：點 g 是平面 abc 上一點，那么點g 是 abc 外心的充要條件(向量 ga+ 向量gb) 向量 ab= ( 向量 gb+向量 gc) 向量 bc=( 向量 gc+ 向量 ga) 向量 ca=0 . 內心在三角形中，三個內角的三條角平分線相交于一點，這個點叫做三角形的內心。設 abc 的內切圓為i(r)， a、 b、 c 的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2

4、 1、三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r2、 bic=90 +bac/2 3、在 rtabc中,a=90,三角形內切圓切bc 于 d，則 sabc=bd cd 4、點 o 是平面 abc 上任意一點，點i 是 abc 內心的充要條件是：向量 oi=a( 向量 oa)+b( 向量 ob)+c( 向量 oc)/(a+b+c) 5、在 abc 中，若三個頂點分別是a(x1， y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，那么 abc 內心 i 的坐標是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c) ，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a

5、+b+c) 6、(歐拉 定理 )abc 中， r 和 r 分別為外接圓為和內切圓的半徑，o 和 i 分別為其外心和內心，則oi2=r2-2rr 7、 abc 中： a,b,c 分別為三邊， s 為三角形面積，則內切圓半徑r=2s/(a+b+c) 8、雙曲線上任一支上一點與兩交點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。9、 abc 中，內切圓分別與ab， bc，ca 相切于 p，q，r，則 ap=ar=(b+c-a)/2， bp =bq =(a+c-b)/2, cr =cq =(b+a-c)/2, r=(b+c-a)tan(a/2)/2。10、三角形 內角平分線定理：abc 中，i 為內心

6、， bac 、abc 、 acb 的內角平分線分別交bc、ac 、ab于 q、r、p，則 bq/qc=c/b ，bp/pa=a/b ， cr/ra=a/c 。垂心三角形的三條高或其延長線相交于一點，這點稱為三角形的垂心。設 abc 的三條高為ad、 be、 cf， 其中 d、e、f 為垂足，垂心為h，角 a、b、c 的對邊分別為 a、b、c 1、銳角三角形 的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形 的垂心在三角形外 .2、三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心 h 關于三邊的對稱點，均在abc 的外接圓上。4、 abc 中，有六

7、組四點共圓，有三組(每組四個 )相似的直角三角形，且ah hd=bh he=ch hf。5、 h、a、b、c 四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一 垂心組 )。6、 abc ， abh ， bch ， ach 的外接圓是等圓。7、 在非直角三角形中， 過 h 的直線交ab、 ac 所在直線分別于p、 q， 則 ab/ap tanb+ 三角形的垂心與外心的位置關系ac/aq tanc=tana+tanb+tanc。8、 三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2 倍。9、 設 o，h 分別為 abc 的外心和垂心，則bao= hac ， abh= obc ，bco= hca 。10、 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和的2 倍。11、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上 )中，以垂足三角形的周長最短。12、西姆松 (simson)