全等三角形專題(難)

1、1 全等三角形專題（一）1. 如圖，op平分,monpaon于點(diǎn)a，點(diǎn)q是射線om上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若2pa，則pq的最小值為（）a.1 b.2 c.3 d. 4 2. 如圖所示，兩塊完全相同的含30角的直角三角形疊放在一起，且dab=30 。有以下四個(gè)結(jié)論：afbc； adgacf ；o為bc的 中 點(diǎn) ；ag：de=3： 4， 其 中 正 確 結(jié) 論 的 序 號(hào)是 . 3如圖，在 rtabc中， bac=90 ， ac=2ab ，點(diǎn) d是 ac的中點(diǎn)，將一塊銳角為45的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與a、d重合，連結(jié)be 、ec試猜想線段be和 ec的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的

2、猜想4八（ 5）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖）. 設(shè)計(jì)了如下方案：（） aob是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)p介于射線 oa 、ob之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與m 、n 重合，即pm=pn ，過(guò)角尺頂點(diǎn)p 的射線 op就是aob的平分線 . （） aob是一個(gè)任意角，在邊oa 、ob上分別取om=on，將角尺的直角頂點(diǎn)p介于射線oa 、ob之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與m 、n重合，即pm=pn ，過(guò)角尺頂點(diǎn)p的射線 op就是 aob的平分線 . （1）方案（） 、方案（）是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說(shuō)明理a b c d e （第 6 題）aonmqp2

3、 由. （2）在方案（）pm=pn 的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使pm oa ，pn ob.此方案是否可行？請(qǐng)說(shuō)明理由. 5 （2010 湖南婁底） 如圖 10，在四邊形abcd中，adbc，e為cd的中點(diǎn)，連結(jié)ae、be，beae，延長(zhǎng)ae交bc的延長(zhǎng)線于點(diǎn)f. 求證：（1）fc=ad；（2）ab=bc+ad6 （2010 江蘇揚(yáng)州） 電子跳蚤游戲盤是如圖所示的abc，ab=6，ac=7，bc=8如果跳蚤開始時(shí)在bc邊的p0處，bp0=2跳蚤第一步從p0跳到ac邊的p1（第一次落點(diǎn))處，且cp1=cp0；第二步從p1跳到ab邊的p2（第一次落點(diǎn)) 處，且ap2=ap1；第三步從p2跳到bc邊

4、的 p3（第三次落點(diǎn) ) 處，且bp3=bp2；, ；跳蚤按上述規(guī)則一致跳下去，第n次落點(diǎn)為pn（n 為正整數(shù)），則點(diǎn) p2007與 p2010之間的距離為（）a1 b2 c3 d 4 7 （2010 安徽蚌埠） 在abc中，ed、分別是acbc、上的點(diǎn)，cdbdceae2,2，bead、交于點(diǎn)f，若3abcs，則四邊形dcef的面積為 _。a b c p0p3p2p1第 8 題3 8 （2010 安徽蚌埠） 三角形紙片內(nèi)有100 個(gè)點(diǎn)，連同三角形的頂點(diǎn)共103 個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不共線。現(xiàn)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，并把紙片剪成小三角形，則這樣的三角形的個(gè)數(shù)為_。9. （2009 年濟(jì)寧市）

5、觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第 5 個(gè)大三角形中白色三角形有個(gè) 10、 （ 2009 臨沂）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1，四邊形abcd是正方形，點(diǎn)e是邊bc的中點(diǎn)90aef，且ef交正方形外角dcg的平行線cf于點(diǎn)f，求證：ae=ef經(jīng) 過(guò)思 考， 小明 展示 了一 種正 確的 解題 思路 ：取ab的中 點(diǎn)m，連 接me，則am=ec， 易證ameecf，所以aeef在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（ 1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)e是邊bc的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)e是邊bc上（除b，c外）的任意一點(diǎn)” ，其它條件不變，那么結(jié)論“ae=ef”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)

6、正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 2）小華提出： 如圖 3，點(diǎn)e是bc的延長(zhǎng)線上 （除c點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)， 其他條件不變， 結(jié)論“ae=ef”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由a d f c g e b 圖 1 a d f c g e b 圖 2 a d f c g e b 圖 3 第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)4 11、 （ 2009 年牡丹江）已知rtabc中，90acbccd，為ab邊的中點(diǎn)，90edf ，edf繞d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交ac、cb（或它們的延長(zhǎng)線）于e、f當(dāng)edf繞d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到deac于e時(shí)（如圖1） ，易證12d

7、efcefabcsss當(dāng)edf繞d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到deac和不垂直時(shí)，在圖2 和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，defs、cefs、abcs又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明12 （ 2008 山東泰安）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1 所示放置，圖2 是由它抽象出的幾何圖形，bce，在同一條直線上，連結(jié)dc（1）請(qǐng)找出圖2 中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：dcbea e c f b d 圖 1 圖 3 a d f e c b a d b c e 圖 2 f 圖 1 圖 2 d c e a b （第 2

8、2 題）5 13 、 在 等 邊abc的 兩 邊ab、 ac 所 在 直 線 上 分 別 有 兩 點(diǎn)m、 n， d 為abc外 一 點(diǎn) ， 且60mdn,120bdc,bd=dc. 探究：當(dāng)m 、 n分別在直線ab 、ac上移動(dòng)時(shí)， bm 、nc 、mn之間的數(shù)量關(guān)系及amn的周長(zhǎng) q與等邊abc的周長(zhǎng) l 的關(guān)系（i ）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) m 、n邊 ab 、ac上，且 dm=dn 時(shí)，bm 、nc 、mn之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)lq；（ii ）如圖 2，點(diǎn) m 、n邊 ab 、 ac上，且當(dāng)dm dn時(shí)，猜想（ i ）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（iii） 如圖 3，當(dāng) m 、

9、n分別在邊ab 、ca的延長(zhǎng)線上時(shí)，若 an=x，則 q= （用x、l 表示） 14、 已知四邊形abcd中，abad，bccd，abbc，120abc，60mbn，mbn繞b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交addc，（或它們的延長(zhǎng)線）于ef，當(dāng)mbn繞b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到aecf時(shí)（如圖1） ，易證aecfef當(dāng)mbn繞b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到aecf時(shí)，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段aecf，ef又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明（圖 1）abcdefmn（圖 2）abcdefmn（圖 3）abcdefmn6 fedcbaoedcba15 正方形 abcd

10、中， e為 bc上的一點(diǎn)， f 為 cd上的一點(diǎn)， be+df=ef ，求 eaf的度數(shù) . 16、如圖，op是mon的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以op所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在abc中，acb是直角，b=60，ad、ce分別是bac、bca的平分線，ad、ce相交于點(diǎn)f。請(qǐng)你判斷并寫出fe與fd之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在abc中，如果acb不是直角，而(1) 中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1) 中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。17、如圖，已知在abc中， b=60， abc的角平分線ad,ce

11、相交于點(diǎn)o ，求證： oe=od 18、如圖， abc中， ad平分 bac ， dg bc且平分 bc ，de ab于 e ，dfac于 f. （1）說(shuō)明 be=cf的理由；（2）如果 ab=a，ac=b，求 ae 、be的長(zhǎng) . 1、如圖，abc中， ab=2ac ，ad平分bac，且 ad=bd ，求證： cd ac (第 23 題圖 ) o p a m n e b c d f a c e f b d 圖圖圖edgfcbacdba7 全等三角形專題（二）1. 在 abc 中， ab ac ， a20， d、e 分別是 ab 、ac 上的點(diǎn)， dcb 50， ebc 60，求 deb 的度

12、數(shù)。2. 在三角形abc 中， ab=ac,ad 平分角 abc 交 ac 于 d，ad+bd=bc，求角 a 的度數(shù)。3. 在直角三角形abc 中， bac=90 ， ab=ac ，點(diǎn) d、e 是直線 ac 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ad=ec ，am bd ，垂足為 m ，am 的延長(zhǎng)線交 bc 于n，直線 bd 直線 ne 相交于點(diǎn) f，試判斷三角形def 的形狀，并加以證明。8 全等三角形中的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題動(dòng)態(tài)幾何題，是指以幾何知識(shí)和幾何圖形為背景，滲透運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類試題；而通過(guò)對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化，使同學(xué)們經(jīng)歷由觀察、想象、推理等發(fā)現(xiàn)、探索的過(guò)程，是中考數(shù)學(xué)試題中，考查創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的重要

13、題型；解決這類問(wèn)題， 要善于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)本文以中考試題中的全等三角形動(dòng)態(tài)幾何題為例，談?wù)勥@類問(wèn)題的解題思路，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考例 1 （揚(yáng)州）在 abc 中， acb=90 ， ac=bc ，直線 mn經(jīng)過(guò)點(diǎn) c，且 ad mn于 d ，be mn于 e（1）當(dāng)直線mn 繞點(diǎn) c旋轉(zhuǎn)到圖1 的位置時(shí)，求證： adc ceb ；de=ad be；（2）當(dāng)直線mn 繞點(diǎn) c旋轉(zhuǎn)到圖2 的位置時(shí)，求證：de=ad be；（3）當(dāng)直線mn繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)到圖3 的位置時(shí)，試問(wèn)de 、ad 、be具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明

14、證明：評(píng)注：本題以直線mn繞點(diǎn) c旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與 abc 的不同的位置關(guān)系為背景設(shè)置的三個(gè)小題，第（1）小題的兩個(gè)小題中，是的臺(tái)階，只要證明了，不難得到；第（1）小題思路又作為解決第（2）小題的借鑒；第（ 3）小題為探索性問(wèn)題，探索的結(jié)論及證明過(guò)程可借鑒第（1） 、 （2）兩小題，整個(gè)試題考查了同學(xué)們從具體、特殊的情形出發(fā)去探究運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的規(guī)律的能力c b a e d 圖 1 n m a b c d e m n 圖 2 a c b e d n m 圖 3 9 例 2 （錦州）如圖a，abc和cef是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)c，連接 af和 be （1）線段 af和 be有怎

15、樣的大小關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）將圖 a中的 cef 繞點(diǎn) c旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖b，（ 1）中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷并說(shuō)明理由；（3）若將圖 a中的 abc繞點(diǎn) c旋轉(zhuǎn)一定的角度，請(qǐng)你畫山一個(gè)變換后的圖形c（草圖即可），（1）中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷不必說(shuō)明理由；（4）根據(jù)以上證明、說(shuō)理、畫圖，歸納你的發(fā)現(xiàn)（3）此小題圖形不惟一，如第（ 1）中的結(jié)論仍成立（4） 根據(jù)以上證明、說(shuō)理、畫圖，歸納如下：如圖 a ，大小不等的等邊三角形abc和等邊三角形cef有且僅有一個(gè)公共頂點(diǎn)c，則以點(diǎn) c為旋轉(zhuǎn)中心，任意旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)三角形，都有af=be 10 b a abo c 全等三角形提高練習(xí)

16、1. 如圖所示，abc ade ，bc的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)e， acb= aed=105 ， cad=10 ，b=50，求 def的度數(shù)。2. 如圖， aob中， b=30，將 aob繞點(diǎn) o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)52得到 aob 邊 ab與邊 ob交于點(diǎn) c（a不在 ob上） ，則 aco的度數(shù)為。3如圖所示，在abc中， a=90， d,e 分別是 ac,bc上的點(diǎn)，若adb edb edc,則 c的度數(shù)是。4. 如圖所示，把a(bǔ)bc繞點(diǎn) c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35，得到 abc,ab交 ac于點(diǎn) d，若 adc=90 ，則a= 。5已知，如圖所示，ab=ac,ad bc于 d,且 ab+ac+bc=50cm, 而 ab

17、+bd+ad=40cm, 則 ad= . bd ac b a d e c b a a b c f d e a b d c 11 6如圖， rtabc中， bac=90 ， ab=ac,分別過(guò)點(diǎn)b，c,作過(guò)點(diǎn) a的直線的垂線bd,ce,垂足為 d,e，若bd=3 ，ce=2,則 de= . 7如圖，ad是 abc 的角平分線， de ab,dfac,垂足分別是e,f，連接 ef,交 ad于 g,ad與 ef垂直嗎？證明你的結(jié)論。8. 如圖所示，在abc中， ad為 bac的角平分線， de ab于 e,dfac于 f, abc的面積是 28cm2,ab=20cm,ac=8cm,求 de 的長(zhǎng)。9

18、. 已知，如圖，ab=ae, b=e, bac= ead, caf= daf. 求證： afcd 10. 如圖， ad=bd,ad bc于 d,beac于 e,ad于 be相交于點(diǎn)h，則 bh與 ac相等嗎？為什么？d a e c b a e f b d c b e d f c b d c f a e g a 12 11. 如圖所示，已知，ad為 abc的高， e為 ac上一點(diǎn)， be交 ad于 f , 且有 bf=ac,fd=cd. 求證： be ac 12 dac, ebc均是等邊三角形，ae,bd分別與 cd,ce交于點(diǎn) m,n, 求證：（1） ae=bd (2)cm=cn (3) cm

19、n 為等邊三角形（4）mn bc 13已知：如圖1，點(diǎn) c為線段 ab上一點(diǎn)， acm ， cbn都是等邊三角形，an交 mc于點(diǎn) e，bm交 cn于點(diǎn) f(1) 求證： an=bm ；(2) 求證： cef為等邊三角形；(3) 將 acm 繞點(diǎn) c按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90o，其他條件不變，在圖2 中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第（1） 、 （ 2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）a b d c e f b a e h d c d a c b n m e13 gfhadceb14. 如圖所示，已知abc和 bde都是等邊三角形。下列結(jié)論： ae=cd ； bf=bg ； bh平分 ahd ；

20、ahc=600, bfg是等邊三角形； fgad 。其中正確的有（） a 3個(gè) b 4個(gè) c 5個(gè) d 6個(gè)15. 已知： bd ，ce是 abc的高，點(diǎn)f在 bd上， bf=ac,點(diǎn) g在 ce的延長(zhǎng)線上，cg=ab. 求證 :ag af 16. 如圖：在 abc中， be、cf分別是 ac 、ab兩邊上的高，在be上截取 bd=ac ，在 cf的延長(zhǎng)線上截取 cg=ab ，連結(jié) ad 、ag 。求證：（1） ad=ag ，（2）ad與 ag的位置關(guān)系如何。17. 如圖，已知e是正方形abcd 的邊 cd 的中點(diǎn)，點(diǎn)f 在 bc上，且 dae= fae. 求證： af=ad+cf 18. 如

21、圖所示， 已知 abc中， ab=ac,d是 cb延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， adb=60 ，e是 ad上一點(diǎn)， 且 de=db, 求證：ac=be+bc b c d a g e f a b f c e d ghfedcba14 19. 如圖所示，已知在aec中， e=90， ad平分 eac,df ac,垂足為 f,db=dc. 求證： be=cf. 20.已知：如圖3-50，ab=de ，直線 ae，bd 相交于 c， b d=180， afde，交 bd 于 f求證： cf=cd 21. 如圖， oc是 aob的平分線， p是 oc上一點(diǎn)， pd oa于 d， pe ob于 e，f 是 oc上一點(diǎn)，連接df和 ef，求證： df=ef 。22. 已知：如圖，bfac于點(diǎn) f，ce ab 于點(diǎn) e，且 bd=cd 求證： bde cdf點(diǎn) d在a的平分線上23 如圖，已