力的三角形法

1、力三角形法在三力平衡問題中的應用在靜力學中，經(jīng)常遇到在力系作用下處于平衡的物體其所受諸力變化趨勢判斷問題這種判斷如果用平衡方程作定量分析往往很繁瑣，而采用力三角形圖解討論則清晰、直觀、全面我們知道，當物體受三力作用而處于平衡時，必有f=o ，表示三力關系的矢量圖呈閉合三角形，即三個力矢量(有向線段 )依次恰好能首尾相接當物體所受三力有所變化而又維系著平衡關系時，這閉合三角形總是存在而僅僅是形狀發(fā)生改變比較不同形狀的力三角形各幾何邊、角情況，我們對相應的每個力大小、方向的變化及其相互間的制約關系將一目了然所以，作出物體平衡時所受三力矢量可能構成的一簇閉合三角形，是力三角形法的關鍵操作。三力平衡的

2、力三角形判斷通常有三類情況一、三力中有一個力確定，即大小、方向不變，一個力方向確定。這個力的大小及第三個力的大小、方向變化情況待定例 1如圖 1 所示，用細繩通過定滑輪沿豎直光滑的墻壁勻速向上拉動，例 2則拉力和墻壁對球的支持力的變化情況如何？分析與解以球為研究對象，在平衡時受重力，繩上的拉力及墻壁對球的支持力，三力關系可由一系列閉合的矢量三角形來描述。其中重力為確定力，墻壁對球的支持力為方向確定力，如圖 2，取點作表示重力的有向線段，從該箭頭的端點作支持力的作用線所在射線 , 作從射線任意點指向點且將圖形封閉成三角形的一系列有向線段它們就是繩子拉力矢量。用曲線箭頭表示變化趨勢，從圖中容易分析

3、圖 1 圖 2繩子拉力不斷增大， 墻壁對球的支持力也不斷增大， 因上升的過程中圖中角度 在不斷增大例 2 如圖 3 裝置， ab為一輕桿在 b處用鉸鏈固定于豎墻壁上，ac為不可伸長的輕質(zhì)拉索，重物可在ab桿上滑行。試分析當重物w從 a端向 b端滑行的過程中，繩索中拉力的變化情況以及墻對ab桿作用力的變化情況。分析與解以 ab桿為研究對象，用力矩平衡的知識可較為方便明確ac拉索中的拉力變化情況，但不易確定墻對 ab桿作用力的情況。 我們考慮到 ab桿受三個力作用且處于平衡狀態(tài)，則它們的作用線必相交于一點，這樣三力關系可由閉合的矢量三角形來描述。其中重物對桿的拉力為確定力，拉索對桿的拉力為方向確定

4、力，與上題類似。如圖 4，取 o點作表示重物對 ab桿拉力的有向線段，過o點作繩索拉力的作用線所在射線，從箭頭端點作指向射線上任意點的有向線段，則就是墻對ab桿的作用力 . 用曲箭頭表明變化趨勢。從圖中可以看出：隨著重物從 a端向 b端移動的過程中，、的夾角逐漸減小，所以繩索的拉力不斷減小，墻對ab桿的作用力先減小后增大。圖 4 圖 3 綜上所述，類型一問題的作圖方法是： 以確定力矢量為力三角形系的基準邊，在它的箭頭端沿已知方向力的方向作射線，從射線上的點作指向確定力矢量箭尾的有向線段，（或在它的箭尾端沿已知方向力的方向作射線，從確定力矢量箭頭作指向射線上的點的有向線段），勾畫出一簇閉合的矢量

5、三角形，用曲箭頭標明動態(tài)趨勢由此可判斷各個力的大小和方向的變化趨勢二、三力中有一個力確定即大小、方向不變，一個力大小確定，這個力的方向及第三個力的大小、方向變化情況待定例 3 如圖 5 所示，在“驗證力的平行四邊形定則實驗中，用兩只彈簧秤a、b把像皮條上的結點拉到某一位置 0，這時兩繩套 ao 、b0的夾角 aob90現(xiàn)保持彈簧秤 a的示數(shù)不變而改變其拉力方向使 a 角減小，那么要使結點仍在位置o處不動，就應調(diào)整彈簧秤 b的拉力大小及 角，則下列調(diào)整方法中可行的是 ( ) a增大彈簧秤 b的拉力、增大 角 b增大彈簧秤 b的拉力、 角不變 c增大彈簧秤 b的拉力、減小 角 d彈簧秤 b的拉力大

6、小不變、增大 角分析與解本題中我們考察結點o ，使之處于平衡的三個力中，一個力(橡皮條上的拉力 f)大小方向均確定，一個力( 彈簧秤 a的拉力 fa)大小確定，需判斷第三個力 ( 彈簧秤 b的拉力 fb)的變化情況如圖 6 所示，取 o點為起始點，先作力f的有向線段，以其箭頭端點為圓心，表示大小不變力 fa的線段長為半徑作一圓，該圓的每條矢徑均為力fa矢量，從該圓周上各點指向 0 點的各有向線段便是彈簧秤b的拉力fb矢量這樣我們勾畫出表示可能的三力關系的三角形集合圖圖 5 圖 6 如圖 6 所示，若初始狀態(tài)三力關系如0o a，在 a 角減小的前提下，線段變長，即 fb增大，而角 減?。▌傞_始，

7、 fa、fb二力互相垂直），故正確答案為選項 c例 4 如圖 7 所示，質(zhì)量為 m的小球，用一細線懸掛在點0 處現(xiàn)用一大小恒定的外力f(fmg)慢慢將小球拉起，在小球可能的平衡位置中，細線與豎直方向的最大的偏角是多少? 分析與解本題中研究對象小球可在一系列不同位置處于靜止， 靜止時小球所受重力、 細線上拉力及大小恒定的外力的合力總是為零三力關系由一系列閉合的矢量三角形來描述，這些三角形中表示重力的矢量邊是公共邊，有一條矢量邊長度相同現(xiàn)在來作出這樣的三角形簇：如圖 8 所示，取點 0 為起始點，作確定不變的重力矢量，以其箭頭端點為圓心，表示外力f大小的線段長為半徑作一圓，該圓上各條矢徑均可為已知

8、大小的力矢量，該圓周上各點指向 0點并封閉形成三角形的有向線段便是第三個力即細線拉力矢量這樣我們得到了全面反映小球在可能的平衡位置時力三角形集 , 由圖可知，表示線拉力矢量與重力矢量的線段與線段間的夾角最大為 =arcsingf(線段作為圓的切線時 ) ，細線拉力總沿著線，故小球可能的平衡位置中，細線與豎直方向的偏角最大為arcsingf通常類型二問題的一般作圖方法是：以確定力矢量為力三角形系的基準邊，在它的箭頭端以已知方向力為矢徑作圓，從圓周上的點作指向確定力矢量箭尾的有向線段，畫出一簇閉合的矢量三角形 由此可判斷未知力的大小和方向的變化趨勢三、三力中有一個力大小方向確定，另二力方向變化有依

9、據(jù)。判斷二力大小變化情況圖 7 圖 8 例 5 如圖 9所示, 固定在水平面上的光滑半球，球心0 的正上方固定一個小定滑輪，細線一端拴一小球置于半球面上的a點，另一端繞過定滑輪， 如圖所示，現(xiàn)緩慢拉繩，使球沿半球面上升，小球?qū)Π肭虻膲毫n的大小，細線對小球拉力f 的大小隨繩的拉動而變化的情況如何？分折與解小球在任意位置處于三力平衡狀態(tài)，其中小球的重力為確定力，其余兩力大小不定方向變化， 但兩力的方向變化有依據(jù)： 繩的拉力總沿繩收縮的方向，半球?qū)π∏虻闹С至傃刂霃降姆较?。我們?nèi)鐖D作力的矢量三角形圖：以 o為起始端點，連接 oo ，以此有向線段表示確定力小球的重力連接o 與小球所在位置 a點

10、，則此有向線段表示球面對小球的支持力， 最后連接 ao兩點，則此有向線段表示繩子的拉力。當小球往上運動時，動態(tài)變化趨勢如圖10 所示可以清楚地看出有向線段的長度始終等于球的半徑長度，說明球面對小球的支持力大小應不變，而繩子的拉力在不斷減小. 例 6 如圖 11 所示，將一帶電小球 a用絕緣棒固定于水平地面上的某處在它的正上方l 處有一懸點 o 。通過長度也為 l 的絕緣細線懸吊一個與a球帶同性電荷的小球b。于是懸線與豎直方向成某一夾角， 現(xiàn)設法增大 a球電量，則懸線 0b對 b球的拉力 f的大小將如何變化？（兩球可看作質(zhì)點）分折與解小球 b受三個力作用而平衡，重力，庫侖力及細繩對球b的拉力，其

11、中重力為確定力， 另兩個力的大小不定， 方向變化， 但我們知道繩的拉力總沿著繩指向繩收縮的方向，庫侖力總沿著兩質(zhì)點的連線。因此可歸為類型三圖 10 圖 11 圖 9 我們可如圖 12作力的矢量三角形圖： 以 o為起始端點，連接 oa ，以此有向線段表示確定力小球b的重力，以 a小球為起點，連接 a與小球 b，則此有向線段表示小球 b受到的庫侖力，最后連接bo兩點，則此有向線段表示繩子的拉力。容易判斷當小球a電量增加時， 小球 b被庫侖力排斥而往上運動，動態(tài)變化趨勢如圖一簇閉合的矢量三角形所示可以清楚地看出有向線段的長度始終等于繩長，由于繩長不變，由此可知繩子的拉力大小不變， 有向線段長度在不斷

12、增加，說明庫侖力在不斷增大綜上所述，類型三問題的作圖方法是： 以確定力矢量為力三角形系的基準邊，將另二力按實際位置方向依據(jù)來確定，力矢量依次首尾相接， 勾畫出閉合的矢量三角形，通過力三角形與物體在空間移動的約束條件比照，由此來判斷各個力的大小和方向的變化趨勢。實際上，當物體受三力作用而處于平衡時，三力合力為零，表示三力關系的矢量圖呈閉合三角形，即三個力矢量(有向線段 )依次恰好能首尾相接 , 其本質(zhì)即為學生在數(shù)學中所學的向量相加運算，因此向?qū)W生講授三力關系的矢量圖并不增加教學的難度和學生的負擔。另一資料：在靜力學中， 若物體受到三個共點力的作用而平衡，則這三個力矢量構成一封閉三角形，在討論極值問題時，這一點尤為有用例 4 一球重 g，置于斜面和擋板間，已知斜面傾角為，擋板與斜面的夾角為 ，不計一切摩擦，求斜面對球的作用力n1和擋板對球的作用力 n2若不變而 可以改變，問 為何值時， n2最?。拷馕?如圖 7，球受三力作用：重力 g、彈力 n1與 n2，它們應構成一封閉三角形（如圖8），從幾何關系可得圖 12 從 n2的表達式可知，當=90時， n2取極小值例 5 （選擇題）如圖 9 所示，繩 oa、ob 等長， a 點固定不動，在手持 b 點沿圓弧向 c 點運動的過程中，繩ob 中的張力將 a由大變?。籦由小變