2022年隨機過程知識點

1、學習必備精品知識點第一章：預備知識 1.1概率空間隨機試驗 ，樣本空間 記為 。定義 1.1設 是一個集合， f 是 的某些子集組成的集合族。如果（1）f；（2）a若f ，aa則f；（3）若naf ， 21n，則1nnaf；則稱 f 為代數(shù) (borel 域)。(, f) 稱為 可測空間， f 中的元素稱為事件。由定義易知：.216,)5)4(111faaaifafbafbafiiniiniii，則，）若（；則若（；定義 1.2 設(, f) 是可測空間，p() 是定義在f上的實值函數(shù)。如果1121,31210,)1(iiiijiapapaajiaapapfa有時，當）對兩兩互不相容事件（；）

2、（；任意則稱 p是f,上的概率，（pf，）稱為 概率空間 ，p(a) 為事件 a的概率 。定義 1.3設（pf，）是概率空間，fg，如果對任意gaaan,21，,2, 1n有：,11niiniiapap則稱g為獨立事件族 。 1.2 隨機變量及其分布隨機變量x， 分布函數(shù))(xf， n 維隨機變量或 n 維隨機向量， 聯(lián)合分布函數(shù)，ttxt,是獨立 的。1.3隨機變量的數(shù)字特征定義 1.7設隨機變量x的分布函數(shù)為)(xf，若)(|xdfx，則稱)(xe)(xxdf為 x的數(shù)學期望 或 均值 。上式右邊的積分稱為lebesgue-stieltjes積分。方差，eyyexxebxy為 x、y 的協(xié)

3、方差 ，而dydxbxyxy為 x、y的相關(guān)系數(shù)。若,0xy則稱 x、y 不相關(guān)。（ schwarz 不等式） 若,22eyex則.222eyexexy 1.4 特征函數(shù)、母函數(shù)和拉氏變換定義 1. 10 設隨機變量的分布函數(shù)為f（x） ，稱( )(),jtxjtxg te ee dfxt為 x 的特征函數(shù)精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點隨機變量的特征函數(shù)具有下列性質(zhì)：(1)(0)1,( )1, ()( )gg tgtg t1 ( 2 ) g (t)在,上一致連

4、續(xù)。 （3）( )(0)()kkkgi e x(4)若12,nxxx是相互獨立的隨機變量，則12nxxxx的特征函數(shù)12( )( )( )( )ng tg t gtgt，其中( )ig t是隨機變量xi的特征函數(shù)，1,2,in. 定義 1 . 11 設12(,)nxxxx是 n 維隨機變量，t = (12,nt tt) ,r則稱121( )( ,)()exp()nitxnkkkg tg t tte eeit x, 為 x 的特征函數(shù) 。定義 1.12設 x是非負整數(shù)值隨機變量，分布列,2, 1,kxxppkk則稱)()(xdefsespkkksp0為 x的母函數(shù) 。 1.5 n維正態(tài)分布定義

5、1.13 若 n 維隨機變量),(21nxxxx的聯(lián)合概率密度為)()(21exp)2(1),()(12/2/21tnnnaxbaxbxxxfxf式中，),(21naaaa是常向量，nnijbb)(是正定矩陣，則稱x為 n 維正態(tài)隨機變量或服從n 維正態(tài)分布，記作),(banx?？梢宰C明，若),(banx，則x的特征函數(shù)為21exp),()(21tibtiatttgtgn為了應用的方便，下面，我們不加證明地給出常用的幾個結(jié)論。性質(zhì) 1 若),(banx則nlbbaxeklxxkklk,2, 1,)(。性質(zhì)2 設),(banx，xay，若baa正定，則),(baaaany。即正態(tài)隨機變量的線性變

6、換仍為正態(tài)隨機變量。性質(zhì) 3 設),(4321xxxxx是四維正態(tài)隨機變量，4, 3, 2, 1,0)(kxek，則)()()()()()()(3241423143214321xxexxexxexxexxexxexxxxe 1.6 條件期望給定 y=y 時， x 的條件期望定義為dxyxxfyxxdfyyxe)|()|()|(由此可見除了概率是關(guān)于事件y=y 的條件概率以外，現(xiàn)在的定義與無條件的情況完全一樣。e(x|y=y) 是 y 的函數(shù)， y 是 y 的一個可能值。若在已知y 的條件下，全面地考慮x 的均值，需要以y 代替 y，e(x|y) 是隨機變量y 的函數(shù)，也是隨機變量，稱為x 在

7、y 下的條件期望。條件期望在概率論、數(shù)理統(tǒng)計和隨機過程中是一個十分重要的概念，下面我們介紹一個極其有用的性質(zhì)。性質(zhì)若隨機變量x 與 y 的期望存在，則)()|()|()(ydfyyxeyxeexey-(1) 如果 y 是離散型隨機變量，則上式為精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點yyypyyxexe)|()(如果 y 是連續(xù)型，具有概率密度f(x) ，則（ 1）式為dyyfyyxexe)()|()(第二章隨機過程的概念與基本類型2.1 隨機過程的基本概念定義 2.1

8、設（pf，）是概率空間 ,t是給定的參數(shù)集,若對每個t t，有一個隨機變量x(t,e)與之對應，則稱隨機變量族),(ttetx是（pf，）的 隨機過程 ,簡記為隨機過程),(tttx。t稱為參數(shù)集，通常表示時間。通常將隨機過程),(ttetx解釋為一個物理系統(tǒng)。x(t)表示在時刻t所處的狀態(tài)。x(t)的所有可能狀態(tài)所構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間或相空間，記為i。從數(shù)學的觀點來說，隨機過程),(ttetx是定義在t上的二元函數(shù)。 對固定的t，x(t,e)是定義在t上的普通函數(shù)，稱為隨機過程),(ttetx的一個 樣本函數(shù) 或軌道 ，樣本函數(shù)的全體稱為樣本函數(shù)的空間。 2.2 隨機過程的函數(shù)特征tx=x

9、(t),tt 的有限維分布函數(shù)族。有限維特征函數(shù)族： 1,:),(2121,1nttttgnnttn其中：)(exp),(121,1knkkntttxiegn定義 2.3 設tx=x(t),tt 的均值函數(shù)deftmx)()(txe，tt。二階矩過程，協(xié)方差函數(shù)：t,)()(),()(2ttmtxedefttbtdxxx相關(guān)函數(shù)：),(tsrx)()(txsxe定義 2.4設x(t),tt ，y(t),tt是兩個二階矩過程，互協(xié)方差函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)。 2.3 復隨機過程定義2.5設,ttxt，,ttyt是取實數(shù)值的兩個隨機過程，若對任意tttttiyxz，其中1i，則稱,ttzt為復隨機過程

10、定理2.2復隨機過程,ttxt的協(xié)方差函數(shù)),(tsb具有性質(zhì)（1）對稱性：),(),(stbtsb；（2）非負定性2.4 幾種重要的隨機過程一、正交增量過程定義 2.6 設tt ,是零均值的二階矩過程，若對任意的,4321tttt有公精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點式03412tttt，則稱t正交增量過程。tstsrts,min,2二、獨立增量過程定義 2.7 設tt ,是隨機過程， 若對任意的正整數(shù)n和,21nttt隨機變量12312,nntttttt是互相

11、獨立的，則稱tt ,是獨立增量過程，又稱可加過程。定義 2.8 設tt ,是平穩(wěn)獨立增量過程，若對任意, ts隨機變量st的分布僅依賴于st，則稱tt ,是平穩(wěn)獨立增量過程。三、馬爾可夫過程定 義2.9設tttx,為 隨機 過程， 若對 任意正 整 數(shù)n及nttt,21,0,)(1111nnxtxxtxp，且其條件分布1111,|)(nnnnxtxxtxxtxp=11|)(nnnnxtxxtxp，(2.6) 則稱tttx,為馬爾可夫過程。四、正態(tài)過程和維納過程定義 2.10 設tttx,是 隨 機過程， 若對任意 正 整數(shù)n和tttt,21,(,21txtx,ntx)是n維正態(tài)隨機變量，則稱t

12、ttx,是正態(tài)過程或高斯過程。定義 2.11 設ttw),(為隨機過程，如果（1）0)0(w；（2）它是獨立、平穩(wěn)增量過程；（3）對ts,，增量0, |,0)()(22stnswtw，則稱ttw),(為維納過程，也稱布朗運動過程。定理 2.3 設ttw),(是參數(shù)為2的維納過程，則（1）任意t),(,|,0)(2tntw；（2）對任意tsa, ),min()()()()(2atasawtwawswe, 特別：tstsrw,min,2。五、平穩(wěn)過程定 義2.12 設tttx,是 隨 機 過 程 ， 如 果 對 任 意 常 數(shù)和 正 整 數(shù),n當nntttt,11時，nttt,21與nttt,21

13、有相同的聯(lián)合分布，則稱tttx,為嚴平穩(wěn)過程，也稱 狹義平穩(wěn)過程 。定義 2.13 設tttx,是隨機過程，如果（1）tttx,是二階矩過程；（2）對于任意ttmt,常數(shù)；（3）對任意的strtsrts,，則稱tttx,為廣義平穩(wěn)過程，簡稱精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點為平穩(wěn)過程 。若 t 為離散集，則稱平穩(wěn)過程tttx,為平穩(wěn)序列 。第三章泊松過程.1 泊松過程的定義和例子定義 3.1計數(shù)過程定義 3.2稱計數(shù)過程 0),(ttx為具有參數(shù)0 的泊松過程，若

14、它滿足下列條件(1) x(0)= 0 ；(2) x(t) 是獨立增量過程；(3) 在任一長度為t 的區(qū)間中，事件a 發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)t 0 的泊松分布，即對任意 s,t0，有) 1.3(),2, 1 ,0( ,!)()()(nntensxtsxpnt注意，從條件(3)知泊松過程是平穩(wěn)增量過程且ttxe)(。由于，ttxe)(表示單位時間內(nèi)事件a 發(fā)生的平均個數(shù)，故稱為此過程的 速率 或強度 。定義 3.3稱計數(shù)過程0),(ttx為具有參數(shù)0 的泊松過程， 若它滿足下列條件(1) x(0)= 0 ；(2) x(t) 是獨立、平穩(wěn)增量過程；(3) x(t) 滿足下列兩式：)(2)()(),( 1

15、)()(hotxhtxphohtxhtxp(3.2) 定理 3.1定義 3.2 與定義 3.3 是等價的。3.2 泊松過程的基本性質(zhì)一、數(shù)字特征設0),(ttx是泊松過程，stmsmtsrtsbtstxsxetsrttxdtttxetmxxxxxxx)()(),(),() 1()()(),()()()()(2一般泊松過程的有),min(),(tstsbx。有特征函數(shù)定義，可得泊松過程的特征函數(shù)為)1(exp)()(iutiuxxeteeug二、時間間隔與等待時間的分布nw為第 n 次事件 a 出現(xiàn)的時刻或第n 次事件 a 的等待時間，nt是第 n 個時間間隔，它們都是隨機變量。定理 3.2設0

16、),(ttx是具有參數(shù)的泊松分布，)1(ntn是對應的時間間隔序列，則隨機變量),2, 1(ntn是獨立同分布的均值為/1的指數(shù)分布。定理3.3設 1,nwn是與泊松過程0),(ttx對應的一個等待時間序列，則nw服從參數(shù)為n 與的分布，其概率密度為0,00,)!1()()(1ttntetfntwn三、到達時間的條件分布精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點定理 3.4設0),(ttx是泊松過程，已知在0,t內(nèi)事件 a 發(fā)生 n 次，則這 n 次到達時間nwww21與

17、相應于n 個 0,t上均勻分布的獨立隨機變量的順序統(tǒng)計量有相同的分布。3.3 非齊次泊松過程定義 3.4稱計數(shù)過程( ),0x tt為具有跳躍強度函數(shù)( ) t的非齊次泊松過程，若它滿足下列條件：(1) (0)0x；(2) ( )x t是獨立增量過程；(3) ()( )1( )( )()( )2( )p x thx tt ho hp x thx to h非齊次泊松過程的均值函數(shù)為：0( )( )txmts ds定理3.5設( ),0x tt是具有均值函數(shù)0( )( )txmts ds的非齊次泊松過程，則有()( )exp, (0)!()( )()( )xxntstxxmmnnp x tsx t

18、nmtsmt或( )exp( )!( )xntxmtnp x tnm上式表明()( )p x tsx tn 不僅是t的函數(shù)，也是s的函數(shù)。3.4 復合泊松過程定義3.5 設0),(ttn是強度為的泊松過程，,.2, 1,kyk是一列獨立同分布隨機變量，且與0),(ttn獨立，令,0)()(1tktxytnk則稱0),(ttx為復合泊松過程。定理 3.6設, 0)()(1tktxytnk是復合泊松過程，則（1） 。0),(ttx是獨立增量過程；（2）x(t) 的特征函數(shù)1)(exp)()(ugtugytx，其中)(ugy是隨機變量1y的特征函數(shù)；是事件的到達率。（3）若,)(21ye則.)(,)

19、(211ytetxdytetxe第 4 章馬爾可夫鏈4.1 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率一、馬爾可夫鍵的定義定義1設有隨機過程,tnxn，若對于任意的整數(shù)tn和任意的iiiin 110,，條件概率滿足,11110011nnnnnnnnixixpixixixixp則稱,tnxn為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈 。二、轉(zhuǎn)移概率定義 2 稱條件概率精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點1( )|ijnnpnp xjxi為馬爾可夫鏈,tnxn在時刻 n 的一步轉(zhuǎn)移概率，其中iji,，簡

20、稱為轉(zhuǎn)移概率。定義3若對任意的iji,，馬爾可夫鏈,tnxn的轉(zhuǎn)移概率)(npij與 n 無關(guān)， 則稱馬爾可夫鏈是齊次的，并記)(npij為ijp。定義 4稱條件概率) 1,0,(|)(nmijiixjxppmnmnij為馬爾可夫鏈,tnxn的 n 步轉(zhuǎn)移概率 ，定理1設,tnxn為馬爾可夫鏈，則對任意整數(shù)nln0,0和iji,，n 步轉(zhuǎn)移概率)(nijp具有下列性質(zhì)：.)4(;)3(;)2(;)1()()1()()()()()(121111nnnnjkkkikikiknijiklnkjliknijppppppppppppnn定義 5設,tnxn為馬爾可夫鏈，稱)(,)(0ijjxpnpjxp

21、pnjj和為,tnxn的初始概率 和絕對概率 ，并分別稱,ijpj和),(ijnpj為,tnxn的初始分布和絕對分布，簡記為jp和)(npj。定理2設,tnxn為馬爾可夫鏈，則對任意ij和1n，絕對概率)(npj具有下列性質(zhì)：pnpnpppnppnpnpppnpttnttiiijijiinijij)1()()4()0()()3() 1()()2()()1 ()()(定理 3設,tnxn為馬爾可夫鏈，則對任意iiiin,21和1n，有nniiiiiiiiinnppppixixixp1211,22114.2 馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類一、狀態(tài)分類假設,0nxn是齊次馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間0,1,2,i，

22、轉(zhuǎn)移概率是, ,ijpi ji, 初始分布為, ,jpi ji。定 義4.6 如 集 合( ):1,0niin np非 空 ， 則 稱 該 集 合 的 最 大 公 約 數(shù)()( ). . :0niidd ig c d n p為狀態(tài)i的周期。如1d就稱i為周期的，如1d就稱i為非周期的。（若對每一個不可被d整除的n，有( )niip=0，且d是具有此性質(zhì)的最大正整數(shù)，則稱d為狀態(tài)i的周期。）引理 4.1 如i的周期為d，則存在正整數(shù)m ，對一切mn，有()0ndiip。定義對,sji記( 0 )( 1 )100,|ijijffp xj xi精品學習資料 可選擇p d f - - - - - -

23、- - - - - - - - 第 7 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點( )0,1,2,1|,2nijnkfp xj xj knxin（4.15 ）()nijijn tff稱( )nijf是系統(tǒng)在0 時從i出發(fā)經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移后首次到達狀態(tài)j的概率，而()ijf則是在 0 時從i出發(fā)，系統(tǒng)在有限步轉(zhuǎn)移內(nèi)不可能到達狀態(tài)j的概率。我們將( )nijf和ijf統(tǒng)稱為首達概率 （又稱首中概率） 。引理（1）( )0nijijffnji,（2）首達概率可以用一步轉(zhuǎn)移概率來表示：11 21121( )nnnijiii iijij ijijfp pp定義 4.7 若iif

24、=1，則 稱狀態(tài)i為常返的； 若iif1，則 稱狀態(tài)i為非常返的 。定義 4.8 如i，則稱常返態(tài)i為正常返的；如i，則稱常返態(tài)i為零常返的，非周期的正常返態(tài)稱為遍歷狀態(tài)。從狀態(tài)是否常返，如常返的話是否正常返，如正常返的話是否非周期等三層次上將狀態(tài)區(qū)分為以下的類型：1)11iiiiiiiiffd非常返態(tài)(零常返態(tài)(= )狀態(tài)常返態(tài)()有周期()正常返態(tài)(0， 若有0|)()(|limexexpnn，則稱二階矩隨機序列( )nxe依概率收斂于二階矩隨機變量x(e) ，記作xxpn。4、均方收斂設有二階矩隨機序列nx和二階矩隨機變量x，若有0|lim2xxenn(6.3) 成立，則稱nx均方收斂，

25、記作xxsmn.。注：(6.3)式一般記為l.i.mnxxx或.nl i mxx。5、依分布收斂設有二階矩隨機序列nx和二階矩隨機變量x，若nx相應的分布函數(shù)列( )nfx，在 x 的分布函數(shù)f(x) 的每一個連續(xù)點處，有)()(limxfxfnn則稱二階矩隨機序列nx依分布收斂于二階矩隨機變量x，記作xxdn精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點對于以上四種收斂定義進行比較，有下列關(guān)系：(1) 若xxsmn.，則xxpn(2) 若xxean.，則xxpn(3) 若

26、xxpn，則xxdn定理 2 二階矩隨機序列nx收斂于二階矩隨機變量x的充要條件為0|lim2mnnxxe定理 3設,nnnxyz都是二階矩隨機序列，u 為二階矩隨機變量，nc為常數(shù)序列，a，b，c 為常數(shù)。令xmxiln. .，ymyiln. .，zmzi ln. .，cmciln.。則（1）ccmci lnnnlim. .；（2）umui l . .；（3）cuucmi ln)(. .；（4）byaxbyaxmi lnn)(. .；（5）. .limnnnmxi lexexe；（6）).)(.(lim,mnmnmnymi lmxileyxeyxe；特別有|. .|lim222nnnmxi

27、lexexe。定理 4 設nx為二階矩隨機序列，則nx均方收斂的充要條件為下列極限存在lim,mnmnxxe。二、均方連續(xù)定義設有二階矩過程),(tttx，若對0tt，有2000lim|()( ) | 0hex thx t，則稱( )x t在0t點均方連續(xù) ，記作000.()( )hl i m x thx t。若對 t 中一切點都均方連續(xù) ，則稱( )x t在 t 上均方連續(xù) 。定理（均方連續(xù)準則）二階矩過程),(tttx在 t 點均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)處連續(xù)在點),(),(21ttttrx。推論若相關(guān)函數(shù)),(21ttrx在),(tttt上連續(xù)，則它在tt 上連續(xù)三、均方導數(shù)定義 7

28、設),(tttx是二階矩過程，若存在一個隨機過程)(tx，滿足20()( )lim|( ) |0hx thx texth( )x tt則稱在 點均方可微，記作0( )()( )( ).hdx tx thx txtl i mdth( )( )xtx tt并稱為在 點的均方導數(shù)。類似的有22)(dtxdtx或稱精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點12112211212212012120(,)(,)( ,)( ,)limxxxxhhrth thrth trtthrtth

29、hh h為),(21ttrx在12( ,)t t的廣義二階導數(shù)，記為21212),(ttttrx定理 6 均方可微準則二階矩過程),(tttx在t點均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)),(),(21ttttrx在點的廣義二階導數(shù)存在。推論1 二階矩過程),(tttx在 t 上均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)),(21ttrx在),(tttt上每一點廣義二階可微。推論 2 若),(21ttrx在),(tttt上每一點廣義二階可微，則( )xdmtdt在 t 上以及1212121212( ,),( ,),( ,)xxxrt trt trtttttt在tt上存在，且有121212111212122222121

30、2121221( )( )(1)( );( ,)(2)( )( )( )( ) ;( ,)(3)( )()( )( ) ;( ,)( , )(4)( )( ) xxxxxdmtde x te x tdtdtrt te x tx te x t x tttrt te x t x te x t x tttrt trt te x tx tt ttt四、均方積分定義 8 如果0n時，ns均方收斂于s，即20lim|0nne ss，則稱( )( )f t x t在 , a b上均方可積，并記為101( )( ).( )( )()nnbiiiiaisf t x t dtl i mf tx ttt( )( )

31、 , f t x ta b稱此為在區(qū)間上的均方積分。定理 7（均方可積準則）( )( )f t x t在區(qū)間 , a b上均方可積的充要條件為121212( )()( ,)bbxaaf tf trt tdt dt存在。特別的， 二階矩過程( )x t在 , a b上均方可積的充要條件為12( ,)xrt t在 , , a ba b上可積。定理 8設( )( )f t x t在區(qū)間 , a b上均方可積，則有(1) ( )( )( )( )bbaaef t x t dtf t e x tdt特別有( )( )bbaaex t dte x tdt(2) 111222121212( )( )( )(

32、 )( ) ( )( , )bbbbxaaaaef tx t dtf tx tdtf tf t rt tdt dt特別的有21212|( )|( ,)bbbxaaaex t dtrt tdt dt。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點定理 9設二階矩過程),(tttx在 , a b上均方連續(xù)，則( )( ),()tay txdatb在均方意義下存在，且隨機過程),(tttx在 , a b上均方可微，且有( )( )y tx t。推論設( )x t均方可微，且( )

33、xt均方連續(xù)，則( )( )( )tax tx axt dt特別有( )( )( )tax tx axt dt 4 平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性定義 9 設( ),x tt為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則分別稱11( )l.i.m( ),( )()l.i.m( )()22ttttttx tx t dtx t x tx t x tdttt為該過程的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)。定義 10設( ),x tt是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，若( )pr.1( )x te x t，即1l.i.m( )2txttx t dtmt以概率 1 成立，則稱該平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。若( )()pr.1 ( )()x t x te x

34、t x t，即1l.i.m( )()( )2txttx t x tdtrt以概率 1 成立，則稱該平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。定義 11 如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程( ),x ttt的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過程為具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。定理10設( ),x tt是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則它的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為2221lim1( )022txxttrmdtt(6.9) 定理6.11 設( ),x tt為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則其相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為2211121lim1()( )022txttbrdtt(6.15) 其中111()( )()()()be

35、 x t x tx tx t(6.16) 定理 6.12 對于均方連續(xù)平穩(wěn)過程( ),0x tt，等式01l.i.m( )txtxdmt以概率 1 成立的充要條件為1lim1( )02txttbdtt若( )x t為實平穩(wěn)過程，則上式變?yōu)榫穼W習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點01lim1( )0txtbdtt定理6.13 對于均方連續(xù)平穩(wěn)過程( ),0x tt，等式01l.i.m( )()( )txtx t x tdtrt以概率 1 成立的充要條件為21111lim

36、1()( )0txttbrdtt其中1()b與（ 6.16）式相同。若( )x t為實平穩(wěn)過程，則上式變?yōu)?11101lim1()( )0txtbrdtt第七章平穩(wěn)過程的譜分析7.1 平穩(wěn)過程的譜密度設)(tx是均方連續(xù)隨機過程，作截尾隨機過程tttttxtxt| ,0|),(因為txt均方可積，故存在傅式變換( ,)( )( )iti txtttftxt edtxt edtt .(7.4) 利用帕塞伐公式及傅式反變換，可得2221( )( ),2txtxt dtxt dtftdt定義 7.1設ttx),(為均方連續(xù)隨機過程，稱221( )2limttext dttt為)(tx的平均功率，稱21( ),2limxxtseftt為)(tx的 功率譜密度 ，簡稱 譜密度 。當