2022年隨機(jī)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)

1、學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)第一章：預(yù)備知識(shí) 1.1概率空間隨機(jī)試驗(yàn) ，樣本空間 記為 。定義 1.1設(shè) 是一個(gè)集合， f 是 的某些子集組成的集合族。如果（1）f；（2）a若f ，aa則f；（3）若naf ， 21n，則1nnaf；則稱(chēng) f 為代數(shù) (borel 域)。(, f) 稱(chēng)為 可測(cè)空間， f 中的元素稱(chēng)為事件。由定義易知：.216,)5)4(111faaaifafbafbafiiniiniii，則，）若（；則若（；定義 1.2 設(shè)(, f) 是可測(cè)空間，p() 是定義在f上的實(shí)值函數(shù)。如果1121,31210,)1(iiiijiapapaajiaapapfa有時(shí)，當(dāng)）對(duì)兩兩互不相容事件（；）

2、（；任意則稱(chēng) p是f,上的概率，（pf，）稱(chēng)為 概率空間 ，p(a) 為事件 a的概率 。定義 1.3設(shè)（pf，）是概率空間，fg，如果對(duì)任意gaaan,21，,2, 1n有：,11niiniiapap則稱(chēng)g為獨(dú)立事件族 。 1.2 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量x， 分布函數(shù))(xf， n 維隨機(jī)變量或 n 維隨機(jī)向量， 聯(lián)合分布函數(shù)，ttxt,是獨(dú)立 的。1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征定義 1.7設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為)(xf，若)(|xdfx，則稱(chēng))(xe)(xxdf為 x的數(shù)學(xué)期望 或 均值 。上式右邊的積分稱(chēng)為lebesgue-stieltjes積分。方差，eyyexxebxy為 x、y 的協(xié)

3、方差 ，而dydxbxyxy為 x、y的相關(guān)系數(shù)。若,0xy則稱(chēng) x、y 不相關(guān)。（ schwarz 不等式） 若,22eyex則.222eyexexy 1.4 特征函數(shù)、母函數(shù)和拉氏變換定義 1. 10 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為f（x） ，稱(chēng)( )(),jtxjtxg te ee dfxt為 x 的特征函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)隨機(jī)變量的特征函數(shù)具有下列性質(zhì)：(1)(0)1,( )1, ()( )gg tgtg t1 ( 2 ) g (t)在,上一致連

4、續(xù)。 （3）( )(0)()kkkgi e x(4)若12,nxxx是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則12nxxxx的特征函數(shù)12( )( )( )( )ng tg t gtgt，其中( )ig t是隨機(jī)變量xi的特征函數(shù)，1,2,in. 定義 1 . 11 設(shè)12(,)nxxxx是 n 維隨機(jī)變量，t = (12,nt tt) ,r則稱(chēng)121( )( ,)()exp()nitxnkkkg tg t tte eeit x, 為 x 的特征函數(shù) 。定義 1.12設(shè) x是非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量，分布列,2, 1,kxxppkk則稱(chēng))()(xdefsespkkksp0為 x的母函數(shù) 。 1.5 n維正態(tài)分布定義

5、1.13 若 n 維隨機(jī)變量),(21nxxxx的聯(lián)合概率密度為)()(21exp)2(1),()(12/2/21tnnnaxbaxbxxxfxf式中，),(21naaaa是常向量，nnijbb)(是正定矩陣，則稱(chēng)x為 n 維正態(tài)隨機(jī)變量或服從n 維正態(tài)分布，記作),(banx?？梢宰C明，若),(banx，則x的特征函數(shù)為21exp),()(21tibtiatttgtgn為了應(yīng)用的方便，下面，我們不加證明地給出常用的幾個(gè)結(jié)論。性質(zhì) 1 若),(banx則nlbbaxeklxxkklk,2, 1,)(。性質(zhì)2 設(shè)),(banx，xay，若baa正定，則),(baaaany。即正態(tài)隨機(jī)變量的線性變

6、換仍為正態(tài)隨機(jī)變量。性質(zhì) 3 設(shè)),(4321xxxxx是四維正態(tài)隨機(jī)變量，4, 3, 2, 1,0)(kxek，則)()()()()()()(3241423143214321xxexxexxexxexxexxexxxxe 1.6 條件期望給定 y=y 時(shí)， x 的條件期望定義為dxyxxfyxxdfyyxe)|()|()|(由此可見(jiàn)除了概率是關(guān)于事件y=y 的條件概率以外，現(xiàn)在的定義與無(wú)條件的情況完全一樣。e(x|y=y) 是 y 的函數(shù)， y 是 y 的一個(gè)可能值。若在已知y 的條件下，全面地考慮x 的均值，需要以y 代替 y，e(x|y) 是隨機(jī)變量y 的函數(shù)，也是隨機(jī)變量，稱(chēng)為x 在

7、y 下的條件期望。條件期望在概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過(guò)程中是一個(gè)十分重要的概念，下面我們介紹一個(gè)極其有用的性質(zhì)。性質(zhì)若隨機(jī)變量x 與 y 的期望存在，則)()|()|()(ydfyyxeyxeexey-(1) 如果 y 是離散型隨機(jī)變量，則上式為精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)yyypyyxexe)|()(如果 y 是連續(xù)型，具有概率密度f(wàn)(x) ，則（ 1）式為dyyfyyxexe)()|()(第二章隨機(jī)過(guò)程的概念與基本類(lèi)型2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念定義 2.1

8、設(shè)（pf，）是概率空間 ,t是給定的參數(shù)集,若對(duì)每個(gè)t t，有一個(gè)隨機(jī)變量x(t,e)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)隨機(jī)變量族),(ttetx是（pf，）的 隨機(jī)過(guò)程 ,簡(jiǎn)記為隨機(jī)過(guò)程),(tttx。t稱(chēng)為參數(shù)集，通常表示時(shí)間。通常將隨機(jī)過(guò)程),(ttetx解釋為一個(gè)物理系統(tǒng)。x(t)表示在時(shí)刻t所處的狀態(tài)。x(t)的所有可能狀態(tài)所構(gòu)成的集合稱(chēng)為狀態(tài)空間或相空間，記為i。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程),(ttetx是定義在t上的二元函數(shù)。 對(duì)固定的t，x(t,e)是定義在t上的普通函數(shù)，稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程),(ttetx的一個(gè) 樣本函數(shù) 或軌道 ，樣本函數(shù)的全體稱(chēng)為樣本函數(shù)的空間。 2.2 隨機(jī)過(guò)程的函數(shù)特征tx=x

9、(t),tt 的有限維分布函數(shù)族。有限維特征函數(shù)族： 1,:),(2121,1nttttgnnttn其中：)(exp),(121,1knkkntttxiegn定義 2.3 設(shè)tx=x(t),tt 的均值函數(shù)deftmx)()(txe，tt。二階矩過(guò)程，協(xié)方差函數(shù)：t,)()(),()(2ttmtxedefttbtdxxx相關(guān)函數(shù)：),(tsrx)()(txsxe定義 2.4設(shè)x(t),tt ，y(t),tt是兩個(gè)二階矩過(guò)程，互協(xié)方差函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)。 2.3 復(fù)隨機(jī)過(guò)程定義2.5設(shè),ttxt，,ttyt是取實(shí)數(shù)值的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)任意tttttiyxz，其中1i，則稱(chēng),ttzt為復(fù)隨機(jī)過(guò)程

10、定理2.2復(fù)隨機(jī)過(guò)程,ttxt的協(xié)方差函數(shù)),(tsb具有性質(zhì)（1）對(duì)稱(chēng)性：),(),(stbtsb；（2）非負(fù)定性2.4 幾種重要的隨機(jī)過(guò)程一、正交增量過(guò)程定義 2.6 設(shè)tt ,是零均值的二階矩過(guò)程，若對(duì)任意的,4321tttt有公精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)式03412tttt，則稱(chēng)t正交增量過(guò)程。tstsrts,min,2二、獨(dú)立增量過(guò)程定義 2.7 設(shè)tt ,是隨機(jī)過(guò)程， 若對(duì)任意的正整數(shù)n和,21nttt隨機(jī)變量12312,nntttttt是互相

11、獨(dú)立的，則稱(chēng)tt ,是獨(dú)立增量過(guò)程，又稱(chēng)可加過(guò)程。定義 2.8 設(shè)tt ,是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程，若對(duì)任意, ts隨機(jī)變量st的分布僅依賴(lài)于st，則稱(chēng)tt ,是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程。三、馬爾可夫過(guò)程定 義2.9設(shè)tttx,為 隨機(jī) 過(guò)程， 若對(duì) 任意正 整 數(shù)n及nttt,21,0,)(1111nnxtxxtxp，且其條件分布1111,|)(nnnnxtxxtxxtxp=11|)(nnnnxtxxtxp，(2.6) 則稱(chēng)tttx,為馬爾可夫過(guò)程。四、正態(tài)過(guò)程和維納過(guò)程定義 2.10 設(shè)tttx,是 隨 機(jī)過(guò)程， 若對(duì)任意 正 整數(shù)n和tttt,21,(,21txtx,ntx)是n維正態(tài)隨機(jī)變量，則稱(chēng)t

12、ttx,是正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程。定義 2.11 設(shè)ttw),(為隨機(jī)過(guò)程，如果（1）0)0(w；（2）它是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程；（3）對(duì)ts,，增量0, |,0)()(22stnswtw，則稱(chēng)ttw),(為維納過(guò)程，也稱(chēng)布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程。定理 2.3 設(shè)ttw),(是參數(shù)為2的維納過(guò)程，則（1）任意t),(,|,0)(2tntw；（2）對(duì)任意tsa, ),min()()()()(2atasawtwawswe, 特別：tstsrw,min,2。五、平穩(wěn)過(guò)程定 義2.12 設(shè)tttx,是 隨 機(jī) 過(guò) 程 ， 如 果 對(duì) 任 意 常 數(shù)和 正 整 數(shù),n當(dāng)nntttt,11時(shí)，nttt,21與nttt,21

13、有相同的聯(lián)合分布，則稱(chēng)tttx,為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程，也稱(chēng) 狹義平穩(wěn)過(guò)程 。定義 2.13 設(shè)tttx,是隨機(jī)過(guò)程，如果（1）tttx,是二階矩過(guò)程；（2）對(duì)于任意ttmt,常數(shù)；（3）對(duì)任意的strtsrts,，則稱(chēng)tttx,為廣義平穩(wěn)過(guò)程，簡(jiǎn)稱(chēng)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)為平穩(wěn)過(guò)程 。若 t 為離散集，則稱(chēng)平穩(wěn)過(guò)程tttx,為平穩(wěn)序列 。第三章泊松過(guò)程.1 泊松過(guò)程的定義和例子定義 3.1計(jì)數(shù)過(guò)程定義 3.2稱(chēng)計(jì)數(shù)過(guò)程 0),(ttx為具有參數(shù)0 的泊松過(guò)程，若

14、它滿(mǎn)足下列條件(1) x(0)= 0 ；(2) x(t) 是獨(dú)立增量過(guò)程；(3) 在任一長(zhǎng)度為t 的區(qū)間中，事件a 發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)t 0 的泊松分布，即對(duì)任意 s,t0，有) 1.3(),2, 1 ,0( ,!)()()(nntensxtsxpnt注意，從條件(3)知泊松過(guò)程是平穩(wěn)增量過(guò)程且ttxe)(。由于，ttxe)(表示單位時(shí)間內(nèi)事件a 發(fā)生的平均個(gè)數(shù)，故稱(chēng)為此過(guò)程的 速率 或強(qiáng)度 。定義 3.3稱(chēng)計(jì)數(shù)過(guò)程0),(ttx為具有參數(shù)0 的泊松過(guò)程， 若它滿(mǎn)足下列條件(1) x(0)= 0 ；(2) x(t) 是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程；(3) x(t) 滿(mǎn)足下列兩式：)(2)()(),( 1

15、)()(hotxhtxphohtxhtxp(3.2) 定理 3.1定義 3.2 與定義 3.3 是等價(jià)的。3.2 泊松過(guò)程的基本性質(zhì)一、數(shù)字特征設(shè)0),(ttx是泊松過(guò)程，stmsmtsrtsbtstxsxetsrttxdtttxetmxxxxxxx)()(),(),() 1()()(),()()()()(2一般泊松過(guò)程的有),min(),(tstsbx。有特征函數(shù)定義，可得泊松過(guò)程的特征函數(shù)為)1(exp)()(iutiuxxeteeug二、時(shí)間間隔與等待時(shí)間的分布nw為第 n 次事件 a 出現(xiàn)的時(shí)刻或第n 次事件 a 的等待時(shí)間，nt是第 n 個(gè)時(shí)間間隔，它們都是隨機(jī)變量。定理 3.2設(shè)0

16、),(ttx是具有參數(shù)的泊松分布，)1(ntn是對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔序列，則隨機(jī)變量),2, 1(ntn是獨(dú)立同分布的均值為/1的指數(shù)分布。定理3.3設(shè) 1,nwn是與泊松過(guò)程0),(ttx對(duì)應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列，則nw服從參數(shù)為n 與的分布，其概率密度為0,00,)!1()()(1ttntetfntwn三、到達(dá)時(shí)間的條件分布精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)定理 3.4設(shè)0),(ttx是泊松過(guò)程，已知在0,t內(nèi)事件 a 發(fā)生 n 次，則這 n 次到達(dá)時(shí)間nwww21與

17、相應(yīng)于n 個(gè) 0,t上均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量有相同的分布。3.3 非齊次泊松過(guò)程定義 3.4稱(chēng)計(jì)數(shù)過(guò)程( ),0x tt為具有跳躍強(qiáng)度函數(shù)( ) t的非齊次泊松過(guò)程，若它滿(mǎn)足下列條件：(1) (0)0x；(2) ( )x t是獨(dú)立增量過(guò)程；(3) ()( )1( )( )()( )2( )p x thx tt ho hp x thx to h非齊次泊松過(guò)程的均值函數(shù)為：0( )( )txmts ds定理3.5設(shè)( ),0x tt是具有均值函數(shù)0( )( )txmts ds的非齊次泊松過(guò)程，則有()( )exp, (0)!()( )()( )xxntstxxmmnnp x tsx t

18、nmtsmt或( )exp( )!( )xntxmtnp x tnm上式表明()( )p x tsx tn 不僅是t的函數(shù)，也是s的函數(shù)。3.4 復(fù)合泊松過(guò)程定義3.5 設(shè)0),(ttn是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，,.2, 1,kyk是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與0),(ttn獨(dú)立，令,0)()(1tktxytnk則稱(chēng)0),(ttx為復(fù)合泊松過(guò)程。定理 3.6設(shè), 0)()(1tktxytnk是復(fù)合泊松過(guò)程，則（1） 。0),(ttx是獨(dú)立增量過(guò)程；（2）x(t) 的特征函數(shù)1)(exp)()(ugtugytx，其中)(ugy是隨機(jī)變量1y的特征函數(shù)；是事件的到達(dá)率。（3）若,)(21ye則.)(,)

19、(211ytetxdytetxe第 4 章馬爾可夫鏈4.1 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率一、馬爾可夫鍵的定義定義1設(shè)有隨機(jī)過(guò)程,tnxn，若對(duì)于任意的整數(shù)tn和任意的iiiin 110,，條件概率滿(mǎn)足,11110011nnnnnnnnixixpixixixixp則稱(chēng),tnxn為馬爾可夫鏈，簡(jiǎn)稱(chēng)馬氏鏈 。二、轉(zhuǎn)移概率定義 2 稱(chēng)條件概率精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)1( )|ijnnpnp xjxi為馬爾可夫鏈,tnxn在時(shí)刻 n 的一步轉(zhuǎn)移概率，其中iji,，簡(jiǎn)

20、稱(chēng)為轉(zhuǎn)移概率。定義3若對(duì)任意的iji,，馬爾可夫鏈,tnxn的轉(zhuǎn)移概率)(npij與 n 無(wú)關(guān)， 則稱(chēng)馬爾可夫鏈?zhǔn)驱R次的，并記)(npij為ijp。定義 4稱(chēng)條件概率) 1,0,(|)(nmijiixjxppmnmnij為馬爾可夫鏈,tnxn的 n 步轉(zhuǎn)移概率 ，定理1設(shè),tnxn為馬爾可夫鏈，則對(duì)任意整數(shù)nln0,0和iji,，n 步轉(zhuǎn)移概率)(nijp具有下列性質(zhì)：.)4(;)3(;)2(;)1()()1()()()()()(121111nnnnjkkkikikiknijiklnkjliknijppppppppppppnn定義 5設(shè),tnxn為馬爾可夫鏈，稱(chēng))(,)(0ijjxpnpjxp

21、pnjj和為,tnxn的初始概率 和絕對(duì)概率 ，并分別稱(chēng),ijpj和),(ijnpj為,tnxn的初始分布和絕對(duì)分布，簡(jiǎn)記為jp和)(npj。定理2設(shè),tnxn為馬爾可夫鏈，則對(duì)任意ij和1n，絕對(duì)概率)(npj具有下列性質(zhì)：pnpnpppnppnpnpppnpttnttiiijijiinijij)1()()4()0()()3() 1()()2()()1 ()()(定理 3設(shè),tnxn為馬爾可夫鏈，則對(duì)任意iiiin,21和1n，有nniiiiiiiiinnppppixixixp1211,22114.2 馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類(lèi)一、狀態(tài)分類(lèi)假設(shè),0nxn是齊次馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間0,1,2,i，

22、轉(zhuǎn)移概率是, ,ijpi ji, 初始分布為, ,jpi ji。定 義4.6 如 集 合( ):1,0niin np非 空 ， 則 稱(chēng) 該 集 合 的 最 大 公 約 數(shù)()( ). . :0niidd ig c d n p為狀態(tài)i的周期。如1d就稱(chēng)i為周期的，如1d就稱(chēng)i為非周期的。（若對(duì)每一個(gè)不可被d整除的n，有( )niip=0，且d是具有此性質(zhì)的最大正整數(shù)，則稱(chēng)d為狀態(tài)i的周期。）引理 4.1 如i的周期為d，則存在正整數(shù)m ，對(duì)一切mn，有()0ndiip。定義對(duì),sji記( 0 )( 1 )100,|ijijffp xj xi精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

23、- - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)( )0,1,2,1|,2nijnkfp xj xj knxin（4.15 ）()nijijn tff稱(chēng)( )nijf是系統(tǒng)在0 時(shí)從i出發(fā)經(jīng)過(guò)n步轉(zhuǎn)移后首次到達(dá)狀態(tài)j的概率，而()ijf則是在 0 時(shí)從i出發(fā)，系統(tǒng)在有限步轉(zhuǎn)移內(nèi)不可能到達(dá)狀態(tài)j的概率。我們將( )nijf和ijf統(tǒng)稱(chēng)為首達(dá)概率 （又稱(chēng)首中概率） 。引理（1）( )0nijijffnji,（2）首達(dá)概率可以用一步轉(zhuǎn)移概率來(lái)表示：11 21121( )nnnijiii iijij ijijfp pp定義 4.7 若iif

24、=1，則 稱(chēng)狀態(tài)i為常返的； 若iif1，則 稱(chēng)狀態(tài)i為非常返的 。定義 4.8 如i，則稱(chēng)常返態(tài)i為正常返的；如i，則稱(chēng)常返態(tài)i為零常返的，非周期的正常返態(tài)稱(chēng)為遍歷狀態(tài)。從狀態(tài)是否常返，如常返的話是否正常返，如正常返的話是否非周期等三層次上將狀態(tài)區(qū)分為以下的類(lèi)型：1)11iiiiiiiiffd非常返態(tài)(零常返態(tài)(= )狀態(tài)常返態(tài)()有周期()正常返態(tài)(0， 若有0|)()(|limexexpnn，則稱(chēng)二階矩隨機(jī)序列( )nxe依概率收斂于二階矩隨機(jī)變量x(e) ，記作xxpn。4、均方收斂設(shè)有二階矩隨機(jī)序列nx和二階矩隨機(jī)變量x，若有0|lim2xxenn(6.3) 成立，則稱(chēng)nx均方收斂，

25、記作xxsmn.。注：(6.3)式一般記為l.i.mnxxx或.nl i mxx。5、依分布收斂設(shè)有二階矩隨機(jī)序列nx和二階矩隨機(jī)變量x，若nx相應(yīng)的分布函數(shù)列( )nfx，在 x 的分布函數(shù)f(x) 的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn)處，有)()(limxfxfnn則稱(chēng)二階矩隨機(jī)序列nx依分布收斂于二階矩隨機(jī)變量x，記作xxdn精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)對(duì)于以上四種收斂定義進(jìn)行比較，有下列關(guān)系：(1) 若xxsmn.，則xxpn(2) 若xxean.，則xxpn(3) 若

26、xxpn，則xxdn定理 2 二階矩隨機(jī)序列nx收斂于二階矩隨機(jī)變量x的充要條件為0|lim2mnnxxe定理 3設(shè),nnnxyz都是二階矩隨機(jī)序列，u 為二階矩隨機(jī)變量，nc為常數(shù)序列，a，b，c 為常數(shù)。令xmxiln. .，ymyiln. .，zmzi ln. .，cmciln.。則（1）ccmci lnnnlim. .；（2）umui l . .；（3）cuucmi ln)(. .；（4）byaxbyaxmi lnn)(. .；（5）. .limnnnmxi lexexe；（6）).)(.(lim,mnmnmnymi lmxileyxeyxe；特別有|. .|lim222nnnmxi

27、lexexe。定理 4 設(shè)nx為二階矩隨機(jī)序列，則nx均方收斂的充要條件為下列極限存在lim,mnmnxxe。二、均方連續(xù)定義設(shè)有二階矩過(guò)程),(tttx，若對(duì)0tt，有2000lim|()( ) | 0hex thx t，則稱(chēng)( )x t在0t點(diǎn)均方連續(xù) ，記作000.()( )hl i m x thx t。若對(duì) t 中一切點(diǎn)都均方連續(xù) ，則稱(chēng)( )x t在 t 上均方連續(xù) 。定理（均方連續(xù)準(zhǔn)則）二階矩過(guò)程),(tttx在 t 點(diǎn)均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)處連續(xù)在點(diǎn)),(),(21ttttrx。推論若相關(guān)函數(shù)),(21ttrx在),(tttt上連續(xù)，則它在tt 上連續(xù)三、均方導(dǎo)數(shù)定義 7

28、設(shè)),(tttx是二階矩過(guò)程，若存在一個(gè)隨機(jī)過(guò)程)(tx，滿(mǎn)足20()( )lim|( ) |0hx thx texth( )x tt則稱(chēng)在 點(diǎn)均方可微，記作0( )()( )( ).hdx tx thx txtl i mdth( )( )xtx tt并稱(chēng)為在 點(diǎn)的均方導(dǎo)數(shù)。類(lèi)似的有22)(dtxdtx或稱(chēng)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)12112211212212012120(,)(,)( ,)( ,)limxxxxhhrth thrth trtthrtth

29、hh h為),(21ttrx在12( ,)t t的廣義二階導(dǎo)數(shù)，記為21212),(ttttrx定理 6 均方可微準(zhǔn)則二階矩過(guò)程),(tttx在t點(diǎn)均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)),(),(21ttttrx在點(diǎn)的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。推論1 二階矩過(guò)程),(tttx在 t 上均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)),(21ttrx在),(tttt上每一點(diǎn)廣義二階可微。推論 2 若),(21ttrx在),(tttt上每一點(diǎn)廣義二階可微，則( )xdmtdt在 t 上以及1212121212( ,),( ,),( ,)xxxrt trt trtttttt在tt上存在，且有121212111212122222121

30、2121221( )( )(1)( );( ,)(2)( )( )( )( ) ;( ,)(3)( )()( )( ) ;( ,)( , )(4)( )( ) xxxxxdmtde x te x tdtdtrt te x tx te x t x tttrt te x t x te x t x tttrt trt te x tx tt ttt四、均方積分定義 8 如果0n時(shí)，ns均方收斂于s，即20lim|0nne ss，則稱(chēng)( )( )f t x t在 , a b上均方可積，并記為101( )( ).( )( )()nnbiiiiaisf t x t dtl i mf tx ttt( )( )

31、 , f t x ta b稱(chēng)此為在區(qū)間上的均方積分。定理 7（均方可積準(zhǔn)則）( )( )f t x t在區(qū)間 , a b上均方可積的充要條件為121212( )()( ,)bbxaaf tf trt tdt dt存在。特別的， 二階矩過(guò)程( )x t在 , a b上均方可積的充要條件為12( ,)xrt t在 , , a ba b上可積。定理 8設(shè)( )( )f t x t在區(qū)間 , a b上均方可積，則有(1) ( )( )( )( )bbaaef t x t dtf t e x tdt特別有( )( )bbaaex t dte x tdt(2) 111222121212( )( )( )(

32、 )( ) ( )( , )bbbbxaaaaef tx t dtf tx tdtf tf t rt tdt dt特別的有21212|( )|( ,)bbbxaaaex t dtrt tdt dt。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)定理 9設(shè)二階矩過(guò)程),(tttx在 , a b上均方連續(xù)，則( )( ),()tay txdatb在均方意義下存在，且隨機(jī)過(guò)程),(tttx在 , a b上均方可微，且有( )( )y tx t。推論設(shè)( )x t均方可微，且( )

33、xt均方連續(xù)，則( )( )( )tax tx axt dt特別有( )( )( )tax tx axt dt 4 平穩(wěn)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性定義 9 設(shè)( ),x tt為均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，則分別稱(chēng)11( )l.i.m( ),( )()l.i.m( )()22ttttttx tx t dtx t x tx t x tdttt為該過(guò)程的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)。定義 10設(shè)( ),x tt是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，若( )pr.1( )x te x t，即1l.i.m( )2txttx t dtmt以概率 1 成立，則稱(chēng)該平穩(wěn)過(guò)程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。若( )()pr.1 ( )()x t x te x

34、t x t，即1l.i.m( )()( )2txttx t x tdtrt以概率 1 成立，則稱(chēng)該平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。定義 11 如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程( ),x ttt的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱(chēng)該平穩(wěn)過(guò)程為具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。定理10設(shè)( ),x tt是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，則它的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為2221lim1( )022txxttrmdtt(6.9) 定理6.11 設(shè)( ),x tt為均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，則其相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為2211121lim1()( )022txttbrdtt(6.15) 其中111()( )()()()be

35、 x t x tx tx t(6.16) 定理 6.12 對(duì)于均方連續(xù)平穩(wěn)過(guò)程( ),0x tt，等式01l.i.m( )txtxdmt以概率 1 成立的充要條件為1lim1( )02txttbdtt若( )x t為實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，則上式變?yōu)榫穼W(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè)，共 19 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)01lim1( )0txtbdtt定理6.13 對(duì)于均方連續(xù)平穩(wěn)過(guò)程( ),0x tt，等式01l.i.m( )()( )txtx t x tdtrt以概率 1 成立的充要條件為21111lim

36、1()( )0txttbrdtt其中1()b與（ 6.16）式相同。若( )x t為實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，則上式變?yōu)?11101lim1()( )0txtbrdtt第七章平穩(wěn)過(guò)程的譜分析7.1 平穩(wěn)過(guò)程的譜密度設(shè))(tx是均方連續(xù)隨機(jī)過(guò)程，作截尾隨機(jī)過(guò)程tttttxtxt| ,0|),(因?yàn)閠xt均方可積，故存在傅式變換( ,)( )( )iti txtttftxt edtxt edtt .(7.4) 利用帕塞伐公式及傅式反變換，可得2221( )( ),2txtxt dtxt dtftdt定義 7.1設(shè)ttx),(為均方連續(xù)隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)221( )2limttext dttt為)(tx的平均功率，稱(chēng)21( ),2limxxtseftt為)(tx的 功率譜密度 ，簡(jiǎn)稱(chēng) 譜密度 。當(dāng)