(白)第14章振動(dòng)

1、1大大 學(xué)學(xué) 物物 理理 I I哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)院物理系哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)院物理系主講：黃喜強(qiáng)主講：黃喜強(qiáng)E-mail: Tel: 86418420214.114.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)14.1.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程xkf0dd222xtx固有角頻率固有角頻率mk(4)( 弧度弧度/秒秒)(2)fv0f22ddtxmmaf0f0cos()xAt簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式:v平衡位置0dd22xmktxf0v0vf0v(1)(3)(5)彈簧振子視頻第第1414章章 振振 動(dòng)動(dòng)314.1.2諧振動(dòng)的特征量諧振動(dòng)的特征量1、振幅振幅 A2、固有周期固有周期 T3、固有頻率固有

2、頻率 Tv1Tv224、相位、相位0()t22020vxA1000vtgx0t時(shí)時(shí)00t為初相位為初相位)cos(0tAx由初始條件由初始條件00vx 和00cosxA00sinA 解方程組可得解方程組可得xO)sin(dd0tAtxt+T狀態(tài)不變狀態(tài)不變)(cos0TtA)(sin0TtA2T/2T4相位概念：相位概念：1.描述振動(dòng)系統(tǒng)描述振動(dòng)系統(tǒng)形象狀態(tài)形象狀態(tài)的物理量的物理量)(0txv02223A00A0A0-A0A2.描述振動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)的變化趨勢(shì)描述振動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)的變化趨勢(shì)3.描述頻率相同的兩振動(dòng)系統(tǒng)的描述頻率相同的兩振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)步調(diào)振動(dòng)步調(diào)（或兩物理量）（或兩物理量）相位超前相位超前

3、相位落後相位落後)cos(0tAx)sin(dd0tAtx514.1.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度、加速度及簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度、加速度及簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線22ddtxa txddv)sin(0tA)2cos(0tA)cos(02tA)cos(02tA)cos(0tAxAmv2Aam速度超前位移速度超前位移/2相位相位加速度超前位移加速度超前位移相位相位6)cos(tAxt)0( tAr14.1.4 14.1.4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相量圖法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相量圖法-旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法AA)(tArxxO。 。 。7例、例、 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為0.01kg的物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅為的物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅為0.08

4、m，周，周期為期為4s，起始時(shí)刻物體在，起始時(shí)刻物體在x=0.04m處，向處，向ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，如圖軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，如圖,試求：（試求：（1）t=1.0s時(shí)，物體所處的位置和所受的力；（時(shí)，物體所處的位置和所受的力；（2）由起）由起始位置運(yùn)動(dòng)到始位置運(yùn)動(dòng)到x=-0.04m處所需要的最短時(shí)間。處所需要的最短時(shí)間。Ox/m0.04-0.04解：首先要求出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程。由題意：s4TmA08. 02(/ )2rad sT所以，將初始條件代入簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程中：0cos()0;0.04xAttxm初 始 條 件 ：00.040.08cos8所以01cos203 03即：由題意，物體向由題意，物體向ox軸負(fù)

5、方向運(yùn)動(dòng)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，得到簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為：0.08cos()23xt9（1）要求t=1.0s，物體所處的位置和所受的力，0.08cos()0.08cos(*1.0)0.0692323xtm *0.069fkxk km物體所受的力為：因?yàn)?223*0.069*0.069() *0.01*0.0691.7*102fkmN力的方向沿著x軸的正方向，指向平衡位置。10（2）假設(shè)物體從起始位置運(yùn)動(dòng)到x=-0.04m處所需要的時(shí)間為t，則：0.040.08cos()23t2arccos( 1/ 2)3330.6722ts所以所以旋轉(zhuǎn)矢量法求解：旋轉(zhuǎn)矢量法求解：11 簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例1、水平彈簧振子

6、、水平彈簧振子0dd222xtxmk2、單擺的運(yùn)動(dòng)、單擺的運(yùn)動(dòng) 很小時(shí)很小時(shí)222ddsintmlmgl0dd22lgtlg)cos(t令令解得解得)cos(tAx-AAkmT22固有周期固有周期glT2sinmgcosmgmgmT12sinmglM- 諧振動(dòng)諧振動(dòng)3 3、復(fù)擺、復(fù)擺 很小時(shí)很小時(shí)力矩力矩0dd222tJmgl22ddtJmglM令令C 質(zhì)心質(zhì)心gmsinl0軸軸Ml 周期周期mglJT2134 4 豎直彈簧振子豎直彈簧振子mg自然自然平衡平衡任意任意x0 xxkmgmafmgxxkfmakx 由以上三式可得由以上三式可得即即220d xkxdtm與水平彈簧振子相同，只改變平衡

7、位置與水平彈簧振子相同，只改變平衡位置f14x (cm)0.25-0.50 t (s)2求：振動(dòng)方程求：振動(dòng)方程（振動(dòng)表達(dá)式）（振動(dòng)表達(dá)式）解解：由圖可知由圖可知cm5 .0As2T)s1 (2T初始條件：初始條件：)cm(25. 0cos5 . 0cos000Ax5 . 0cos030)3cos(5 . 0tx對(duì)嗎？對(duì)嗎？初始條件初始條件v000sin0A0sin030)3cos(5 . 0tx練習(xí)題練習(xí)題(cm)0 xAA/2/3-/3Av015 例例 一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿 X 軸做諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為軸做諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為).SI)(32cos(1042tx從從 t=0 時(shí)刻起，到質(zhì)點(diǎn)位置在時(shí)

8、刻起，到質(zhì)點(diǎn)位置在 x = -2cm 處，且向處，且向 X 軸正方向軸正方向運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間間隔為運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間間隔為(A) 1/8 s (B) 1/4 s (C) 1/2 s (D) 1/3 s 解法（解法（1）: 解析法解析法.將將 x = -2 cm 代入振動(dòng)方程，得代入振動(dòng)方程，得).SI)(32cos(10410222t21)32cos(t考慮到振子此時(shí)向考慮到振子此時(shí)向 X 軸正方向運(yùn)動(dòng)，軸正方向運(yùn)動(dòng)，v 0 , 故取故取34)32(t. s21t16解法（解法（2）：旋轉(zhuǎn)矢量法）：旋轉(zhuǎn)矢量法.).SI)(32cos(1042tx，時(shí)時(shí)300tXOp3Q, ,1024軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)軸

9、正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)且向且向Xx,2而而) s (21t17系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒222121xkmEEEPKv2020)cos(21)sin(21tAktAm2222121kAAm)(mk14.1.5 諧振動(dòng)的能量諧振動(dòng)的能量)sin(dd0tAtx)cos(0tAx18簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判據(jù)1. 動(dòng)力學(xué)判據(jù)動(dòng)力學(xué)判據(jù)受正比而反向的恢復(fù)力作用受正比而反向的恢復(fù)力作用xkf即即0dd22xmktx2. 能量判據(jù)能量判據(jù)振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒0ddxmktv0ddddxmktxxv0ddxkxvmv積分積分恒量222121xkmv3. 運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù))cos(tAx相對(duì)平

10、衡位置的位移隨時(shí)間按正、余弦相對(duì)平衡位置的位移隨時(shí)間按正、余弦規(guī)律變化規(guī)律變化（一次積分）（一次積分）（二次積分）（二次積分）19無(wú)阻尼自由振蕩，電容板上電量為q， 振蕩電流i，總能量常量222121Licq0ddddtiLitqcq22dddd,ddtqtitqi01dd22qLctq-諧振動(dòng)微分方程求導(dǎo)由于LC+_iq例：20頻率頻率電磁振蕩：電磁振蕩：tqtqitqqsinddcos00LC11）發(fā)射高電磁能）發(fā)射高電磁能-使電路開(kāi)放使電路開(kāi)放2）能量）能量 4 減小減小 L和和C，提高，提高 電路變化如圖電路變化如圖 所示所示從振蕩電路過(guò)渡到振蕩偶極子從振蕩電路過(guò)渡到振蕩偶極子LC+(

11、a)_(b)LC+_(c)LC+_+qql(d)21例、兩個(gè)勁度系數(shù)分別為例、兩個(gè)勁度系數(shù)分別為k k1 1和和k k2 2的輕質(zhì)彈簧，按照?qǐng)D中的輕質(zhì)彈簧，按照?qǐng)D中a a、b b、c c所示的方式連接，求其振動(dòng)系統(tǒng)的諧振頻率。所示的方式連接，求其振動(dòng)系統(tǒng)的諧振頻率。k1k2m（a）k1k2m（b）k1k2m（c）解（解（1 1）圖（）圖（a a）的情形。設(shè)底面）的情形。設(shè)底面光滑，當(dāng)物體由平衡位置拉開(kāi)一光滑，當(dāng)物體由平衡位置拉開(kāi)一小位移小位移x x時(shí)，有：時(shí)，有：2122()d xmkkxdt 212kkm令則方程可以寫成：則方程可以寫成：2220d xmxdt所以其諧振頻率為：所以其諧振頻率

12、為：1212kkm補(bǔ)充：補(bǔ)充：22（2 2）圖（）圖（b b）的情形，當(dāng)物體由平衡位置拉開(kāi)一小位移）的情形，當(dāng)物體由平衡位置拉開(kāi)一小位移x時(shí)，有：時(shí)，有：212122()d xmk xk xkkxdt 1212kkm12xxx所以，同上其振動(dòng)頻率為：所以，同上其振動(dòng)頻率為：（3 3）圖（）圖（c c）的情形。當(dāng)物體由平衡位置拉開(kāi)一小位移）的情形。當(dāng)物體由平衡位置拉開(kāi)一小位移x時(shí)，時(shí)，設(shè)兩彈簧伸長(zhǎng)量分別為設(shè)兩彈簧伸長(zhǎng)量分別為x1和和x2，顯然有：，顯然有：并且：并且：1 122kxk xk x所以有：所以有：12111kkkk1k2m（b）k1k2m（c）23所以其諧振頻率為：所以其諧振頻率為：

13、12121122()k kkmkk m12kkk結(jié)論結(jié)論 ：（1 1）圖（圖（a a）和圖（）和圖（b b）屬于彈簧并聯(lián)使用：）屬于彈簧并聯(lián)使用：（2 2）圖（）圖（c c）屬于彈簧串聯(lián)使用：）屬于彈簧串聯(lián)使用：12111kkk24 例例 一勁度系數(shù)為一勁度系數(shù)為 k 的輕彈簧截成三等分，取出其中的兩根，的輕彈簧截成三等分，取出其中的兩根，將它們并聯(lián)在一起，下面掛一質(zhì)量為將它們并聯(lián)在一起，下面掛一質(zhì)量為 m 的物體，則振動(dòng)系統(tǒng)的的物體，則振動(dòng)系統(tǒng)的頻率為頻率為.221)(.321)(.621)(.21)(mkDmkCmkBmkA解解: 設(shè)每一等分彈簧的勁度系數(shù)為設(shè)每一等分彈簧的勁度系數(shù)為 k0

14、 ，因此由彈簧串聯(lián)關(guān)系，有因此由彈簧串聯(lián)關(guān)系，有,3,3100kkkk兩個(gè)同樣的彈簧并聯(lián)，有兩個(gè)同樣的彈簧并聯(lián)，有kkk620振動(dòng)頻率為振動(dòng)頻率為mkmk621212答案：答案：( B)25例、一個(gè)質(zhì)量為例、一個(gè)質(zhì)量為m m的小球在一個(gè)光滑的半徑為的小球在一個(gè)光滑的半徑為R R的球形碗底作微小的球形碗底作微小振動(dòng)，如圖所示。設(shè)振動(dòng)，如圖所示。設(shè)t=0=0時(shí)，時(shí)，=0=0，小球的速度為，小球的速度為v0 0，向右運(yùn)動(dòng)。，向右運(yùn)動(dòng)。試求在振幅很小情況下，小球的振動(dòng)方程。試求在振幅很小情況下，小球的振動(dòng)方程。ROPPNmg解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象。設(shè)逆時(shí)針解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象。設(shè)逆時(shí)針?lè)较虻慕俏灰茷檎?/p>

15、方向的角位移為正，t t時(shí)刻小球位于時(shí)刻小球位于P P點(diǎn)，角位移為點(diǎn)，角位移為，受力情況如圖所，受力情況如圖所示。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，在軌跡的示。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，在軌跡的切線方向有：切線方向有：sinmgmasin0agaRR亦即：亦即：其中其中a at t為切向加速度為切向加速度當(dāng)振幅很小時(shí)，有當(dāng)振幅很小時(shí)，有sin26代入上面有：代入上面有：0Rg20 gR即：即：其中，角頻率為其中，角頻率為求解該微分方程可以得到：求解該微分方程可以得到：0cos()t式中的振幅和初相可以由初始條件確定。式中的振幅和初相可以由初始條件確定。當(dāng)當(dāng)t=0t=0時(shí)，時(shí)，00,vR則有：則有：000cos0,si

16、nvR可以得到：可以得到：00;2vR 所以，小球的振動(dòng)方程為：所以，小球的振動(dòng)方程為：0cos()2vgtRR27例、質(zhì)量為例、質(zhì)量為m m，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為l的勻質(zhì)細(xì)桿，上端可以無(wú)摩擦地繞懸掛軸的勻質(zhì)細(xì)桿，上端可以無(wú)摩擦地繞懸掛軸轉(zhuǎn)動(dòng)，下端與一勁度系數(shù)為轉(zhuǎn)動(dòng)，下端與一勁度系數(shù)為k k的輕彈簧相連，如圖所示，細(xì)桿處的輕彈簧相連，如圖所示，細(xì)桿處于鉛直位置時(shí)，彈簧處于不變形狀態(tài)。試求細(xì)桿做微振動(dòng)時(shí)的頻于鉛直位置時(shí)，彈簧處于不變形狀態(tài)。試求細(xì)桿做微振動(dòng)時(shí)的頻率。率。Ok解：由桿、彈簧、地球所構(gòu)成的系統(tǒng)，沒(méi)有外力和耗散力作功，解：由桿、彈簧、地球所構(gòu)成的系統(tǒng)，沒(méi)有外力和耗散力作功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

17、取平衡位置系統(tǒng)的勢(shì)能為零，當(dāng)桿在某一系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。取平衡位置系統(tǒng)的勢(shì)能為零，當(dāng)桿在某一任意位置時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為：任意位置時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為：2211(1 cos )222lEJkxmgC其中，其中，J為桿繞為桿繞O O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，x為彈為彈簧的伸長(zhǎng)量，在桿作微小振動(dòng)時(shí)，簧的伸長(zhǎng)量，在桿作微小振動(dòng)時(shí)，xl代入上面式子，并且兩邊對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)代入上面式子，并且兩邊對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，有：數(shù)，有：2821sin02dddJklmgldtdtdt.21,3ddJmldtdtsin式中，式中，在桿作微小振動(dòng)時(shí)，在桿作微小振動(dòng)時(shí)，代入后，可以得到：代入后，可以得到：6302klmgml

18、所以，桿的微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)的頻率為：所以，桿的微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)的頻率為：16322klmgml2914.2 14.2 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)二、阻尼振動(dòng)二、阻尼振動(dòng)粘性阻力粘性阻力vfv22ddddtxmtxkx0dddd22xmktmxtx或或有有0dd2dd2022xtxtxtxe02202特征方程特征方程將試探將試探 解解代入上式代入上式令令mk /0m/2一、無(wú)阻尼振動(dòng)一、無(wú)阻尼振動(dòng)例：水平彈簧諧振子例：水平彈簧諧振子0dd2022xtxmk0)cos(00tAx300dd2dd2022xtxtxtxe022022020/202) 1(0)cos(e)(00tAtxt220特

19、征方程特征方程特征根特征根試探試探 解解阻尼度阻尼度 - 表征阻尼大小的常量表征阻尼大小的常量1）當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),方程的解為方程的解為式中式中mk /0m/2vfv阻尼振蕩（阻尼?。┳枘嵴袷帲ㄗ枘嵝。┳枘嵯禂?shù)阻尼系數(shù)tx阻尼振蕩阻尼振蕩220isincoseiisincoseiicos2eeii312）過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)（阻尼較大）過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)（阻尼較大）當(dāng)當(dāng)解為解為無(wú)周期，非振動(dòng)。無(wú)周期，非振動(dòng)。3）臨界阻尼運(yùn)動(dòng)）臨界阻尼運(yùn)動(dòng)當(dāng)當(dāng)在在振幅衰減到原來(lái)的振幅衰減到原來(lái)的2021ttcctx)(2)(1202202ee)(2021ttcctxe)()(211%37e1或或圖圖 時(shí)間時(shí)間,tx臨界阻尼臨界阻尼過(guò)阻尼

20、過(guò)阻尼阻尼振蕩阻尼振蕩32定態(tài)解定態(tài)解暫態(tài)解暫態(tài)解周期性驅(qū)動(dòng)力周期性驅(qū)動(dòng)力式中式中tffdddcos0220ddcosddtxmtftxkxddtxtxtxdcosdd2dd2022m2mk0mfd0)cos()cos(e)(00ddttBtAtx14.3 14.3 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振一、受迫振動(dòng)一、受迫振動(dòng)33得定態(tài)解振幅得定態(tài)解振幅:相位相位:2222204)(ddxB2202arctgddd)( ie)(ddtBtx令定態(tài)解令定態(tài)解定態(tài)解定態(tài)解暫態(tài)解暫態(tài)解txtxtxdcosdd2dd2022)cos()cos(e)(00ddttBtAtx代入原方程代入原方程與初始條件無(wú)關(guān)dB和

21、tddtiecostdddtxi220e2i)()(34二二 共振共振當(dāng)當(dāng)由由時(shí)時(shí), B 達(dá)最大達(dá)最大, 稱位移共振稱位移共振rd0dddB2202d振幅振幅:相位相位:2222204)(ddxB2202arctgddd)( ie)(ddtBtx定態(tài)解定態(tài)解2202B1）位移共振位移共振)(00rd時(shí)35在受迫振動(dòng)中位移振幅出現(xiàn)極大值的現(xiàn)象在受迫振動(dòng)中位移振幅出現(xiàn)極大值的現(xiàn)象稱為位移共振稱為位移共振, 簡(jiǎn)稱共振簡(jiǎn)稱共振 r稱為共振的角頻率稱為共振的角頻率2）共振峰的寬度或共振寬度）共振峰的寬度或共振寬度在欠阻尼情況下，共振寬度為在欠阻尼情況下，共振寬度為3）振動(dòng)系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)）振動(dòng)系統(tǒng)的品質(zhì)因

22、數(shù)220QB2B202202B共振共振:Bo2202d36速度共振速度共振能量共振轉(zhuǎn)移能量共振轉(zhuǎn)移37試推導(dǎo)關(guān)于受迫振動(dòng)的相位和振幅表達(dá)式。試推導(dǎo)關(guān)于受迫振動(dòng)的相位和振幅表達(dá)式。22022cos(1)d xdxxhtdtdt2202arctan12222220()4hA 解：設(shè)方程（解：設(shè)方程（1 1）的穩(wěn)態(tài)解為）的穩(wěn)態(tài)解為cos()xAt則有：則有：2sin()cos()(2)xAtxAt 將（將（2 2）代回到方程（）代回到方程（1 1）中，可以得到：）中，可以得到：220cos() 2 sin()cos()cos(3)AtAtAtht38220cos()2 sin()cos()cos(3

23、)AtAtAtht220coscossinsin 2sincoscossin coscossinsin cos(4)AttAttAttht 220cos2sincosAAAh 將（將（3 3）用三角函數(shù)展開(kāi)，得到：）用三角函數(shù)展開(kāi)，得到：該方程為恒等式，所以兩邊該方程為恒等式，所以兩邊sinsint t、coscost t的系數(shù)應(yīng)該相等，的系數(shù)應(yīng)該相等，于是可以得到：于是可以得到：即：即：220()cos2sin(5)AAh 220sin2cossin0AAA 同理，同理，sinsint t的系數(shù)：的系數(shù)：即：即：220()sin2cos0(6)AA 39220220()cos2sin(5)(

24、)sin2cos0(6)AAhAA2202tan() 2202arctan()由（由（6 6）可以得到：）可以得到：所以所以將（將（5 5）（）（6 6）兩邊平方相加，可以得到：）兩邊平方相加，可以得到：2222220()4(7)Ah 所以可以得到振幅：所以可以得到振幅：12222220()4hA 40 x1A2AA12O1x2x14.4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1110cos()xAt2220cos()xAt120cos()xxxAtx22121220102cos()AAAA A1102200110220sinsintgcoscosAAAA14.4.1 同方向、同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同

25、方向、同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 412)(2010k) 12()(2010k2121AAAAA21AAA21AAA其它值)(2010)cos(021tAxxx)cos(21020212221AAAAA( 同相同相 )( 反相反相 )同一直線上的同一直線上的n個(gè)個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosntaxn)cos(tAx42)2sin(2nRA)2sin(2Ra兩式相除兩式相除)2sin()2sin(naA)cos(tAxaRACOxPM)(21nCOM)(21COP21nCOMCOP43例、若一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方

26、向同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。已知一例、若一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。已知一個(gè)分振動(dòng)的表達(dá)式為：個(gè)分振動(dòng)的表達(dá)式為：x1 1= =Acoscos( (t+5+5/6)/6)，而合振動(dòng)的表達(dá)式，而合振動(dòng)的表達(dá)式為：為：x= =Acoscos( (t+/2)/2)。試求另一分振動(dòng)的表達(dá)式。試求另一分振動(dòng)的表達(dá)式。解法一、（解析法）解法一、（解析法）因?yàn)槟硶r(shí)刻合振動(dòng)的位移等于該時(shí)刻兩個(gè)分振動(dòng)位移之和。因?yàn)槟硶r(shí)刻合振動(dòng)的位移等于該時(shí)刻兩個(gè)分振動(dòng)位移之和。即：即：12xxx所以：所以：215cos()cos()2622 sin()sin()362sin()cos()36xxxAtAtAtAtAt

27、44解法二、（旋轉(zhuǎn)矢量法）解法二、（旋轉(zhuǎn)矢量法）AA1A25/620畫出畫出t=0t=0時(shí)刻合振動(dòng)的振幅矢量時(shí)刻合振動(dòng)的振幅矢量A A和分振和分振動(dòng)的振幅矢量動(dòng)的振幅矢量A A1 1，如圖所示。由矢量運(yùn)，如圖所示。由矢量運(yùn)算法則可以得到另外一個(gè)分振動(dòng)的振幅算法則可以得到另外一個(gè)分振動(dòng)的振幅矢量矢量A A2 2。因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?AAA2AA2 06所以得到：所以得到：由圖可以得到：由圖可以得到：所以可以寫出另外一個(gè)振動(dòng)的表達(dá)式：所以可以寫出另外一個(gè)振動(dòng)的表達(dá)式：2cos()6xAt45例、有三個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程分別為：例、有三個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程分別為：12320

28、.05cos();0.05cos();0.05cos()33xtxtxt試求合振動(dòng)方程。試求合振動(dòng)方程。OxA1A2A3A/32/3解：方法一（旋轉(zhuǎn)矢量法）解：方法一（旋轉(zhuǎn)矢量法）取坐標(biāo)取坐標(biāo)OxOx，每一振動(dòng)相位差為，每一振動(dòng)相位差為/3/3，三，三個(gè)分振動(dòng)以及合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量位置，個(gè)分振動(dòng)以及合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量位置，如圖可以表示出來(lái)。如圖可以表示出來(lái)。由圖可以求出合振動(dòng)的振幅為：由圖可以求出合振動(dòng)的振幅為：22112233112233221(coscoscos)(sinsinsin)22(cos0coscos)(sinsin)33330.05 1 30.1AAAAAAAA46合振動(dòng)的初始位相為：合振動(dòng)的初始位相為：11122331122331sinsinsintansss3tan13AAAAcoA coA co0.1cos()3xt所以，合振動(dòng)的振動(dòng)方程為：所以，合振動(dòng)的振動(dòng)方程為：方法二、（解析法）方法二、（解析法）直接利用三角函數(shù)的計(jì)算，可以求出合振動(dòng)方程為：直接利用三角函數(shù)的計(jì)算，可以求出合振動(dòng)方程為：12320.05cos()0.05cos()0.05cos()330.05cos()0.1cos()cos()3330.05cos()0.05cos()330.1cos()3xxxxtttttttt47tAx11costAx22cos2