高等數(shù)學(xué)3泰勒公式南京航空航天大學(xué)

1、 3 31 1 微分中值定理微分中值定理 3 32 2 函數(shù)單調(diào)性與曲線(xiàn)的凹凸性函數(shù)單調(diào)性與曲線(xiàn)的凹凸性3 33 3 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值 3 34 4 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪3 35 5 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則3 36 6 泰勒（泰勒（Taylor)Taylor)公式公式3.6 泰勒泰勒(Taylor)公式公式一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出二、二、 泰勒中值定理泰勒中值定理三、三、 簡(jiǎn)單應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用 應(yīng)用應(yīng)用用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)理論分析理論分析近似計(jì)算近似計(jì)算特點(diǎn)特點(diǎn):)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出)(xfxy)(xfy

2、o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應(yīng)用中已知近似公式在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問(wèn)題需要解決的問(wèn)題如何提高精度如何提高精度 ?如何估計(jì)誤差如何估計(jì)誤差 ?xx 的一次多項(xiàng)式的一次多項(xiàng)式下面來(lái)解決這兩個(gè)問(wèn)題：下面來(lái)解決這兩個(gè)問(wèn)題：2001)()(21)(xxxfxR 由洛必達(dá)法則及極限與無(wú)窮小的關(guān)系，知由洛必達(dá)法則及極限與無(wú)窮小的關(guān)系，知)()()()(:0001xxxfxfxfxR 記記誤誤差差1）200000)(21)()()(xxxfxxxfxfxf 000 00112200()( )( )( )limlim,()()2xx

3、xxfxR xf xP xxxxx 00120()( )lim0()2xxfxR xxx 200000)(21)()()(xxxfxxxfxfxf 300)()(! 31xxxf 2000002)(21)()()()(xxxfxxxfxfxfxR 誤差誤差300200000)(! 31)(21)()()(xxxfxxxfxxxfxfxf 由此分析看出，隨著多項(xiàng)式函數(shù)的階數(shù)的提高，這一由此分析看出，隨著多項(xiàng)式函數(shù)的階數(shù)的提高，這一特殊類(lèi)型的多項(xiàng)式與函數(shù)特殊類(lèi)型的多項(xiàng)式與函數(shù) f (x)的近似程度越來(lái)越好的近似程度越來(lái)越好. .問(wèn)題問(wèn)題:.)()()()(0202010nnnxxaxxaxxaax

4、p 2 2）設(shè)函數(shù)）設(shè)函數(shù) f (x) 在含有在含有x0 0的開(kāi)區(qū)間的開(kāi)區(qū)間( (a, ,b) )內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到n+1+1階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù), ,并并設(shè)設(shè) f (x)的近似多項(xiàng)式為：的近似多項(xiàng)式為：0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxpn )()(00 xfxpn )()(00 xfxpn 2.若有相同的切線(xiàn)若有相同的切線(xiàn)3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好近似程度越來(lái)越好1.若在若在 點(diǎn)相交點(diǎn)相交0 xPn(x)的確定的確定),(00 xfa nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 ,

5、 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 二、泰勒二、泰勒( (Taylor) )中值定理中值定理)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 證明證明: : 由由假假設(shè)設(shè), ,)(xRn在在),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且兩函數(shù)兩函數(shù))(xRn及及10)( nxx在以在以0 x及及 x 為端點(diǎn)的為端點(diǎn)的區(qū)間上滿(mǎn)足柯西中值定理的條件區(qū)間上滿(mǎn)足柯西中值定理的條件, ,故有故有)()(1()(0011之間之間與與在在xxxnRnn 0)

6、()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn如如此此下下去去, ,經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò))1( n次次后后, ,得得 兩兩函函數(shù)數(shù))(xRn 及及nxxn)(1(0 在在以以0 x及及1 為為端端點(diǎn)點(diǎn)的的區(qū)區(qū)間間上上滿(mǎn)滿(mǎn)足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件, ,得得0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之間之間與與在在nx 0, ,也在也在 x0 0與與 x 之間之間) )()(1()(1021022之間之間與與在在 xxnnRnn nkn

7、kkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱(chēng)稱(chēng)為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開(kāi)開(kāi)的的 n n 階階泰泰勒勒公公式式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn , 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 則由上面推導(dǎo)可知?jiǎng)t由上面推導(dǎo)可知拉格朗日型的余項(xiàng)拉格朗日型的余項(xiàng) )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 佩亞諾佩亞諾( (Peano) )型的余項(xiàng)型的余項(xiàng)0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 記記 1010)1(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR

8、時(shí)的某鄰域內(nèi)當(dāng)在Mxfxn)() 1(0-帶拉格朗日型余項(xiàng)的帶拉格朗日型余項(xiàng)的Taylor展式展式)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf -帶帶佩佩亞諾亞諾型型余項(xiàng)的余項(xiàng)的Taylor展式展式10)1(000)()()!1()()(!)()( nnknkkxxnfxxkxfxf 注意注意: :1 1. . 當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,泰泰勒勒公公式式變變成成 L L- -中中值值公公式式 )()()()(000之之間間與與在在xxxxfxfxf 20000)(! 2)()()()(,1. 2xxfxxxfxfxfn 泰勒公式變成泰勒公式變成時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)(xx 在在與與之之間間可見(jiàn)

9、可見(jiàn)( )f x )(0 xf00()()fxxx 210( )( )()2 !fR xxx 誤差誤差fd0)(xx 在在與與之之間間)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林( (Maclaurin) )公式公式泰勒公式變成泰勒公式變成時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0. 30 x例例1 按按(x+1)的冪展開(kāi)的冪展開(kāi). 423)(23 xxxxf解解函數(shù)的泰勒展開(kāi)：函數(shù)的泰勒展開(kāi)：, 10 x, 8)1()(0 fxf5)1( f, 6)1( f, 0

10、)1( f. 4, 0)1()( nfn.)1()1(58423)(323 xxxxxxf1|1| )(, 0)(111 xxxxxfxf)!1()1(|)!1()1(| )(,11| )(1111)(121 nxnxfxxfnxnnxnxxnnxnxxxxx)1(1)1()1(41)1(31)1(21)1(ln1432 11)1(11)1( nnnxn 位于位于 x 與與 1之間。之間。例例2 .1ln)(0階階泰泰勒勒公公式式處處展展開(kāi)開(kāi)成成在在將將nxxxf 解解 解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注注意意到到代入公

11、式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式! 7! 5! 3753xxxxy ! 5! 353xxxy ! 33xxy xysin xy )!12()1(! 5! 3sin1253 nxxxxxnn解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式例例5解解)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 301sin()limxxexxxx3333023()!limxxxo xx130sin()limxexxxxx233331123330()()()!limxxxxo xxo xxxxx 13)(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx展開(kāi)至展開(kāi)至x -2次項(xiàng)次項(xiàng)3.3.