第5章無窮級(jí)數(shù)

1、1第五章第五章 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)2考試內(nèi)容1.1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念 2.2.收斂級(jí)數(shù)的和的概念收斂級(jí)數(shù)的和的概念 nnnuuuuu3211nniinuuuus211級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)32.2.級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 性質(zhì)性質(zhì)3 3 去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性斂散性.性質(zhì)性質(zhì)4 4 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來的和收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來的和. .級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)

2、收斂的必要條件收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)其逆否命題其逆否命題: 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)極限不為若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)極限不為0,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散.43.3.幾何級(jí)數(shù)與幾何級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)及其收斂性級(jí)數(shù)及其收斂性 54.4.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法 定義定義0, nnuu比較審斂法比較審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散的基本判定定理正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散的基本判定定理6比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式7比值審斂法比值審斂法(達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法)根值審斂法根值審斂法 (柯西判別法柯西判別法),11發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nn,112收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nn)1( 85.交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布

3、尼茨定理交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理 ).0( , )1()1(111 nnnnnnnaaa其中其中或或定義定義萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: :萊布尼茨型級(jí)數(shù) 96.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂 定義定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù). .發(fā)散發(fā)散條件收斂條件收斂絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂收斂收斂1nnu達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法: : 107.7.冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間( (指開區(qū)間指開區(qū)間) )和收斂域和收斂域定義定義,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x,0nnnxaAbelAbel定理定理11收斂

4、半徑收斂半徑 .1limlim1nnnnnnaRaaR或或收斂域收斂域 收斂點(diǎn)的全體收斂點(diǎn)的全體.),(RR收斂區(qū)間收斂區(qū)間 128.8.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 9.9.冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) ,1)(100nnnxxnaxxSd且收斂半徑仍為且收斂半徑仍為R. . 1310.10.簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法 且收斂半徑仍為且收斂半徑仍為R. . .)(11nnnxnaxS“拆項(xiàng)拆項(xiàng)”,“逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)”,“逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分”等方法等方法.1411.11.初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 定義充要條件充要條件15展

5、開方法展開方法a.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟:,| )(|0lim)2()(MxfRnnn或或討討論論b.間接法間接法 根據(jù)惟一性根據(jù)惟一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, ,四則運(yùn)四則運(yùn)算算, ,恒等變形恒等變形, ,逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), ,逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分等方法等方法,求展開式求展開式.泰勒系數(shù)16常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式! ) 12() 1(!5!3sin1253 nxxxxxnn!212 enxxxnx),(x),(x! )2() 1(!4!21cos242 nxxxxnn),(xnxxxxxnn 132) 1(3121)1ln(

6、1 , 1(x112) 1(111nnxxxx) 1 , 1(x12) 1(5131arctan12153nxxxxxnn 1 , 1x) 1 , 1(xnxnnxxx!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (217考試要求1.1.了解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散了解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散,收斂級(jí)數(shù)的和的概念收斂級(jí)數(shù)的和的概念. 3.3.了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系斂的關(guān)系,了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法. 4.4.會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域. 2.

7、2.了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和級(jí)數(shù)收斂的必要條件了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和級(jí)數(shù)收斂的必要條件,掌握幾何級(jí)數(shù)及級(jí)掌握幾何級(jí)數(shù)及級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件數(shù)的收斂與發(fā)散的條件,掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法判別法.5.5.了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分),會(huì)求簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)會(huì)求簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù). 18典型例題分析例例1 1解解判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:.1ln22nnnn (1),111ln02322)(2nn

8、nnnnnnnn充分大充分大是收斂的，是收斂的，而而1231nn.1ln22收斂收斂nnnn由比較審斂法知由比較審斂法知, ,19. 102100633)2(nnnnn例例1 1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:,3limlim110062331 nnnnnnnnnu有相同的斂散性，有相同的斂散性，與與 1121100633nnnnnnn 發(fā)散，發(fā)散，而而 11nn由比較審斂法知由比較審斂法知, ,.10063312發(fā)散發(fā)散 nnnnn解解20. 1223cos)3(nnnn例例1 1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:,223cos2nnnnnnu解解由達(dá)朗貝爾判別法由達(dá)朗貝爾

9、判別法(比值審斂法比值審斂法)知知, ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11再由再由比較審斂法比較審斂法知知,.收斂收斂1223cosnnnn,12121lim nnn,21收斂收斂nnn212. )32( )4( nnnn例例1 1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:nnnnnnnnnnuu)()(limlim3211211解解由達(dá)朗貝爾判別法知由達(dá)朗貝爾判別法知, ,.收斂收斂 2)32(nnnn, 12132limlimnnunnnn解法二解法二由柯西判別法由柯西判別法(根式審斂法根式審斂法)知知, ,.收斂收斂 2)32(nnnnnnnn231 lim212

10、, e121)231(lim2102332222nnnnnnnn121) 12() 32)(1(limnnnnnnnn22. nnnn)322()5(2例例1 1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:323332)3231(lim)322(limnnnnnnnnn解解由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知,.發(fā)散發(fā)散 1)322(nnnn， e0)3231 (lim23323lim332nnnnnn23例例1 1判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:. 2ln1)6(nnn, , d 發(fā)散發(fā)散22lnlnln1xxxx解解由由柯西積分判別法柯西積分判別法知知,.發(fā)散發(fā)散2ln1n

11、nn24例例2 2解解nnnuu1lim25例例3 3解解?,?ln) 1(1收收斂斂還還是是絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂是是條條件件如如果果收收斂斂斂斂是是否否收收判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnn ,1ln1nnn,11發(fā)散發(fā)散而而nn,ln1ln) 1(11發(fā)散發(fā)散nnnnnnn, 0ln11limln1limnnnnnnn一方面一方面,. 0lnlimlnlimxxnnxn即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂26例例3 3?,?ln) 1(1收收斂斂還還是是絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂是是條條件件如如果果收收斂斂斂斂是是否否收收判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnn ,ln) 1(1 收斂收斂交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)nnnn由萊布尼茨定理知

12、由萊布尼茨定理知,),1(ln)( xxxxf令令),1(011)(xxxf 另一方面另一方面,), 1 ()(上上單單增增在在xf ,ln1 單減單減即即xx,1ln1 時(shí)單減時(shí)單減當(dāng)當(dāng)故故nnn從而原級(jí)數(shù)是條件收斂從而原級(jí)數(shù)是條件收斂27)( )(D. C. B. A.). ( . , ; , ; , ;, 41)4() 3() 3()2()2() 1 ()()4(1lim) 3()2()() 1 (:1111111000111212則以上命題中正確的是則以上命題中正確的是都收斂都收斂與與則則收斂收斂若若發(fā)散發(fā)散則則若若收斂收斂收斂收斂若若收斂收斂則則收斂收斂若若設(shè)有以下命題設(shè)有以下命題n

13、nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvuvuuuuuuuuu解解例例4 4本題應(yīng)選本題應(yīng)選B.28解解例例5 5本題應(yīng)選本題應(yīng)選C.C.nn11222)11ln(nun由比較審斂法由比較審斂法,29收斂收斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散發(fā)散收斂收斂列結(jié)論正確的是列結(jié)論正確的是則下則下收斂收斂發(fā)散發(fā)散若若設(shè)設(shè)121212121121212112111)()() 1(, ), 2 , 1( ,0nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaanaD. C. , B. , A.). ( , , 解解例例6 6. , 故收斂故收斂加括號(hào)而成加括號(hào)而成為收斂級(jí)數(shù)為收斂級(jí)數(shù)11212) 1(

14、)(nnnnnnaaa本題應(yīng)選本題應(yīng)選D.D.3012111) 1() 1(, ), 2 , 1( ,10nnnnnnnnnnnaaaannaD. C. B. A. ) ( 收斂收斂則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)設(shè)設(shè)解解例例7 731解解例例8 8本題應(yīng)選本題應(yīng)選D.32解解例例9 9下列各選項(xiàng)正確的是下列各選項(xiàng)正確的是( ).( ).因?yàn)橐驗(yàn)? )(22)(22222 nnnnnnnnvuvvuuvu由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法可知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法可知, 本題應(yīng)選本題應(yīng)選A.33解解收斂半徑收斂半徑 例例101034例例101035解解例例1 11 136解解例例1 12 24040sinsincossinxxxxxInnnd d. 1401)21(111sinnnnnx,1011)(nnxnxS令令, 00111)11()( nnnnxxxnxS, )1ln()0(1)(0 xSxxxSxd010)21(11nnnnnI)211ln()21( S. )22ln( , ) 1,121又又37解解, 322/111)21(0 nn 2)1(nnxnn 222)1(nnxnnx)(22 nnxx)111(2 xxx,)1(232xx . 1 x38解解例例1 14 4，03431nnx341131x)4(21x21x241121x，02421nnx39