人教版六年級數(shù)學(xué)上冊全冊教案 第5單元 圓 教材分析

1、第五單元  圓 一、教學(xué)內(nèi)容1圓的認(rèn)識2圓的周長3圓的面積4扇形的認(rèn)識二、教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生認(rèn)識圓，學(xué)會用圓規(guī)畫圓，掌握圓的基本特征。2使學(xué)生會利用直尺和圓規(guī)，在教師指導(dǎo)下設(shè)計一些與圓有關(guān)的圖案。3使學(xué)生通過實(shí)踐操作，理解圓周率的意義，理解和掌握圓的周長計算公式，并解決一些相應(yīng)的實(shí)際問題。4引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握圓的面積計算公式，并解決一些簡單的實(shí)際問題。5使學(xué)生認(rèn)識扇形，掌握扇形的一些基本特征。6使學(xué)生經(jīng)歷嘗試、探究、分析、反思等過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，在解決一些與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的過程中，提高問題解決的能力。7使學(xué)生在推導(dǎo)圓的周長與面積的計算公式過程中體會和掌握轉(zhuǎn)化

2、、極限等數(shù)學(xué)思想。8通過生活實(shí)例、數(shù)學(xué)史料，感受數(shù)學(xué)之美，了解數(shù)學(xué)文化，提高學(xué)習(xí)興趣。    三、主要變化與具體編排（一）主要變化1改變圓的各部分名稱的引入方式。實(shí)驗(yàn)教材在引入圓時，先讓學(xué)生利用圓形杯蓋、圓柱體物體、三角板上的圓孔描出圓，再把圓剪下來，通過多次對折等方式引出圓心、半徑、直徑等概念；在認(rèn)識了圓的半徑和直徑的特點(diǎn)之后，再專門教學(xué)用圓規(guī)畫圓的方法?？紤]到學(xué)生在生活中已經(jīng)具備初步的用圓規(guī)畫圓的知識，本次修訂時，對于“你能想辦法在紙上畫一個圓嗎”這一問題，教材同時給出了用杯蓋、三角尺上的圓孔、圓規(guī)畫圓的方法，符合真實(shí)的學(xué)情。接下來，利用圓規(guī)畫圓的方

3、法引出圓心、半徑、直徑等概念，水到渠成，這樣的引入方式也能更好地體現(xiàn)圓“一中同長”的本質(zhì)特征。接下來，通過讓學(xué)生用圓規(guī)畫幾個大小不同的圓，探討直徑、半徑的特點(diǎn)，在這一過程中，使學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握用圓規(guī)畫圓的方法。2增加圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大小的內(nèi)容?！皥A，一中同長也”，這是墨子中對圓的定義。只要確定了“中”和“長”，圓的位置與大小就確定下來了。解析幾何中圓的解析式（x-a）2+(y-b)2=r2中也很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn)。圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大小這一事實(shí)，過去雖然沒在教材中明確指出，但實(shí)際上學(xué)生已經(jīng)在自覺應(yīng)用了。例如，用圓規(guī)畫圓時，不可避免地會遇到“針尖定在哪兒”“畫多大的圓”

4、等問題，如果要畫半徑是3 cm的圓，針尖到紙邊緣的距離必須大于3 cm，才能在紙上畫出一個完整的圓來。在本冊教材中，接下來還要安排利用圓設(shè)計圖案的內(nèi)容，在設(shè)計圖案的過程，學(xué)生會時時處處遇到“要畫一個多大的圓”“這個圓的圓心應(yīng)該在哪兒”等問題。因此，教材增加這一部分內(nèi)容，能幫助學(xué)生在應(yīng)用知識的過程中更好地認(rèn)識圓的數(shù)學(xué)特征。3正文中降低圓的對稱性的篇幅，新增利用圓設(shè)計圖案的內(nèi)容。由于在“軸對稱圖形”的相關(guān)內(nèi)容中，已經(jīng)對圓的對稱性有過比較充分的探討，所以，本單元不再單獨(dú)編排圓的對稱性的例題，只在相關(guān)練習(xí)中加以鞏固。在修訂過程中，新增了利用圓設(shè)計圖案的內(nèi)容。先讓學(xué)生模仿教材上提供的

5、步驟，畫出美麗的圖案，再放手讓學(xué)生試著畫出教材上提供的圖案。在這一過程中，需要用到用圓規(guī)畫圓的方法，需要觀察這些圖案是由哪些圖形組成的，是如何組成的。需要學(xué)生對圓心位置的確定、半徑大小的確定、圓的對稱性等知識加以綜合應(yīng)用，一方面，幫助學(xué)生進(jìn)一步了解圓的特征，另一方面，使學(xué)生充分體會數(shù)學(xué)的對稱美、和諧美。例如，下面左圖中大圓內(nèi)部的每個“水滴”是由三個半圓圍成的，其中兩個半圓的直徑是大圓半徑的一半，還有一個半圓的直徑是大圓的半徑，除此之外，還要關(guān)注這些半圓的圓心位置在哪里。右圖中，大圓的內(nèi)部有八個小圓，這些圓的直徑都是大圓的半徑，依次排列在大圓的八等分線上，互相重疊，形成了美麗的圖案。 

6、教學(xué)時，還可以讓學(xué)生自由創(chuàng)作出更多的作品。此外，還可以借助這些圖案，復(fù)習(xí)軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的知識。由于這一內(nèi)容的操作性、綜合性、探究性都很強(qiáng)，也可以把它設(shè)計成一個“綜合與實(shí)踐”活動。4增加求圓與外切正方形、內(nèi)接正方形之間面積的內(nèi)容。在“圓的面積”部分，增加了解決實(shí)際問題的內(nèi)容，即求圓與外切正方形、內(nèi)接正方形之間的面積。要求學(xué)生利用圖形之間的關(guān)系，靈活計算這兩部分的面積，并在“討論”環(huán)節(jié)進(jìn)一步得出更為一般化的結(jié)論。要計算正方形的面積，首先要求出正方形的邊長，這是比較常規(guī)的思路。例如，求圓的外切正方形的面積時，觀察到正方形的邊長和圓的直徑相等，所以很容易求出來。但在求圓的內(nèi)接正方形的邊長

7、時卻遇到了困難，圓的直徑和正方形的對角線相等，但沒有辦法直接求出正方形的邊長。此時，教材引導(dǎo)學(xué)生改變觀察角度，把正方形分割成兩個三角形，這兩個三角形的底是圓的直徑，高是圓的半徑，很容易求出其面積。在解決幾何問題時，經(jīng)常會有這種“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的情形。有時，換一個角度看問題，會發(fā)現(xiàn)一個全新的世界。經(jīng)歷這樣的問題解決過程，有助于提高學(xué)生多角度分析問題的意識和能力。解決了圓半徑是1m的特殊問題后，教材在“回顧與反思”環(huán)節(jié)，進(jìn)一步討論半徑為r的情況，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，圓的外切正方形面積是4r2，外切正方形與圓之間的面積是0.86r2,內(nèi)接正方形的面積是2r2，圓與內(nèi)接正方形之間的面積是1.

8、14r2。這些結(jié)果中隱藏著很多有意思的數(shù)學(xué)事實(shí)，如：外切正方形的面積始終是內(nèi)接正方形面積的2倍，外切正方形與內(nèi)接正方形之間的面積正好是2r2,即和內(nèi)接正方形面積相等，等等。       5“扇形”由選學(xué)變?yōu)檎浇虒W(xué)內(nèi)容。扇形的內(nèi)容是學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計圖的必要基礎(chǔ)，根據(jù)標(biāo) 準(zhǔn)（2011年版）對相關(guān)內(nèi)容的調(diào)整，此次修訂把這部分內(nèi)容由選學(xué)變?yōu)檎浇虒W(xué)內(nèi)容。（二）具體編排1. 圓的認(rèn)識（1）圓的各部分名稱、圓的性質(zhì)。教材首先呈現(xiàn)了自然界和社會生活中形形色色的“圓”，其中包括許多同心圓。豐富的圓形圖案，使學(xué)生感受到圓很美，同時，感

9、受到數(shù)學(xué)就在身邊，激發(fā)起良好的學(xué)習(xí)情緒。接下來，請學(xué)生想辦法在紙上畫一個圓，學(xué)生可以調(diào)動以前的經(jīng)驗(yàn)，用茶杯蓋、三角尺上的圓洞等圓形物體進(jìn)行描摹，也可以用圓規(guī)畫圓。用實(shí)物畫圓也是很有意義的動手實(shí)踐機(jī)會，但畫出的圓的大小是固定的，不能隨意變化。而用圓規(guī)畫圓卻可以在兩腳叉開的范圍內(nèi)畫出任意大小的圓來。在畫圓環(huán)節(jié)出現(xiàn)用圓規(guī)畫圓，也是尊重學(xué)情的一種體現(xiàn)。學(xué)生在課外應(yīng)該都嘗試過用圓規(guī)畫圓，但是如何畫得標(biāo)準(zhǔn)，畫得輕松，還需教師進(jìn)一步指導(dǎo)。利用圓規(guī)畫圓，引出圓的各部分名稱。一方面，與前面的活動自然銜接；另一方面，畫圓的過程非常切合“圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合”這一幾何學(xué)的定義。通過這一過程引出圓心

10、、半徑、直徑等概念，將動手操作、觀察思考、概念引出融為一體，自然流暢。對圓特征的認(rèn)識，分四個層次編排：首先，讓學(xué)生將畫好的圓折一折、畫一畫、量一量，發(fā)現(xiàn)沿著任意一條直徑對折，兩邊可以重合，說明了圓是軸對稱圖形。第二，通過對折痕的觀察和想象，讓學(xué)生理解半徑和直徑都有無數(shù)條。第三，通過測量與比較，讓學(xué)生認(rèn)識到同一圓內(nèi)所有的半徑都相等，所有的直徑也都相等，并且直徑的長度是半徑的2倍。第四，結(jié)合畫圓的經(jīng)驗(yàn)，理解圓心可決定圓的位置，半徑可決定圓的大小。（2）利用圓設(shè)計圖案。尺規(guī)作圖是一項有著悠久歷史、充滿魅力的數(shù)學(xué)技能。教材在認(rèn)識圓之后，安排了這樣一個實(shí)踐性內(nèi)容，既可以讓學(xué)生進(jìn)一步熟練用圓規(guī)畫圓的技能，

11、促進(jìn)學(xué)生對圓的特征的進(jìn)一步認(rèn)識，又能讓學(xué)生在用尺規(guī)畫出漂亮圖案的過程中提高動手操作的能力，學(xué)會欣賞數(shù)學(xué)的美，培養(yǎng)熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感。教材先以分解的步驟，展示了如何利用圓的特征，一步一步畫出四個花瓣式的漂亮圖案。這中間，涉及到充分利用圓的對稱性，需要學(xué)生學(xué)會確定某個圓或半圓的圓心和半徑，這也是圓心和半徑分別確定圓的位置與大小的最直接應(yīng)用。此外，還需要學(xué)生添加一些輔助線。因此，這樣的活動體現(xiàn)了很強(qiáng)的綜合性。之后，教材呈現(xiàn)了兩個更復(fù)雜的圖案，讓學(xué)生嘗試畫一畫，這需要學(xué)生綜合運(yùn)用觀察、思考、動手等多方面的技能。教材給出了一些輔助線加以提示，需要學(xué)生對已經(jīng)成形的圖案進(jìn)行“分解”，知道每一部分是怎么來的。

12、用直尺畫出基本的圖形后，再進(jìn)行涂色，涂不同的顏色，也會形成不同的作品。2. 圓的周長（1）圓的周長計算公式的推導(dǎo)。圓的周長計算在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，因此，教材從“要在圓桌和菜板的邊緣箍上一圈鐵皮，求鐵皮的長度”這一學(xué)生熟悉的實(shí)際情境引入，幫助學(xué)生理解圓的周長的概念。學(xué)生已經(jīng)具備了測量一般圖形（物體）周長的技能，因此，面對“分別需要多長的鐵皮”的問題，他們完全能想到解決的辦法：拿卷尺直接繞一圈量，或者把圓形物體在直尺上滾一圈再量出長度，或者拿線在圓形物體上繞一圈，量出線的長度。學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中感受了方法多樣性和“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想。更重要的是，圓周長概念的內(nèi)涵，就在這樣

13、的過程中得以清晰化、直觀化。方法需要優(yōu)化，思維需要提升。教材在此基礎(chǔ)上提出“除了上面的方法，還可以怎樣求圓的周長呢？”要求學(xué)生跳出繞、滾、圍等策略的測量方法，找到一種更為一般化的方法。通過“圓的周長和圓的大小有關(guān)系，圓的大小取決于”，啟發(fā)學(xué)生將問題解決的方向放在從圓本身的特征去想辦法突破。第63頁上方的表格，是引導(dǎo)學(xué)生通過測量幾組圓的直徑和周長，自主發(fā)現(xiàn)周長和直徑的比值是一個固定值，從而引出圓周率的概念，并總結(jié)出圓的周長計算公式。在這個內(nèi)容中，教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生利用實(shí)驗(yàn)的手段，通過測量、計算、猜測圓的周長和直徑的關(guān)系、驗(yàn)證猜測等過程，理解并掌握圓的周長計算方法。教材通過直接介紹的方式說明周長與

14、直徑的比值是一個固定的數(shù)，叫做圓周率，用字母“”來表示。為了方便學(xué)生計算，教材規(guī)定“”這個無限不循環(huán)小數(shù)常常只取它的近似數(shù)，即兩位小數(shù)3.14。根據(jù)圓的周長和直徑的倍數(shù)關(guān)系，可以得出求圓的周長的計算公式：Cd或C2r。（2）例1。本例是一個與圓的周長計算有關(guān)的實(shí)際問題。通過學(xué)生經(jīng)?？吹交蚴褂玫淖孕熊囈鰡栴}，能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的廣泛應(yīng)用。自行車的后輪半徑是33cm，它滾一圈能走多遠(yuǎn)，那就是求它的周長。這樣的問題，是“化曲為直”思想的應(yīng)用用曲的車輪周長計量自行車前進(jìn)的距離。第二個問題帶有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)性，“小明從家到學(xué)校1km，輪子大約轉(zhuǎn)了多少圈？”學(xué)生必須通過計算，才能解決這個問題。得出的相關(guān)

15、結(jié)果，也能加強(qiáng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。3圓的面積（1）圓的面積計算公式的推導(dǎo)。教材首先通過計算圓形草坪占地面積的實(shí)際情境提出圓面積的概念，一方面使學(xué)生在以前所學(xué)知識的基礎(chǔ)上理解“圓的面積就是它所占平面的大小”，另一方面使學(xué)生體會在實(shí)際生活中計算圓面積的必要性。學(xué)生以前所學(xué)的圖形都是多邊形（如三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形等），像圓這樣的曲線圖形的面積計算，學(xué)生還是第一次接觸到。把圓分割成若干等份后拼成近似的長方形的方法，學(xué)生很難自主發(fā)現(xiàn)，因此，教材直接給出明確的提示，讓學(xué)生把圓分成若干等份，拼一拼。接下來的過程，則主要交給學(xué)生自主探索。教材讓學(xué)生通過觀察，看到拼出的是近似的長方形（或平行四邊

16、形），隨著分的份數(shù)越來越多，拼出的圖形越來越接近于長方形，體會“無限逼近”的極限思想。這個近似的長方形的的長和寬與圓的周長、半徑有著緊密的聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對比，利用圓與長方形之間的關(guān)系，自行推導(dǎo)出圓的面積計算公式。（2）例1。本例是在學(xué)生推導(dǎo)出了圓面積計算公式以后，用此公式解決本節(jié)開頭的實(shí)際問題。求的是鋪滿草皮需要多少錢，這一問題比“求草皮面積是多少”更有現(xiàn)實(shí)意義、更自然。要求鋪滿草皮需要多少錢，首先要求圓形草皮的面積。（3）例2。本例是求圓環(huán)的面積，教材通過插圖幫助學(xué)生了解什么叫圓環(huán)，理解求圓環(huán)的面積是用外圓面積減去內(nèi)圓面積。教材給出了兩種算法：3.14×623.14

17、15;22和3.14×（6222）。教材也有意引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘法分配律，采用相對簡便的算法，這樣，可以大大減少計算的繁雜程度，減少計算出錯的可能性。（4）例3。本例通過讓學(xué)生解決圓的內(nèi)接正方形、外切正方形與圓之間部分的面積這一實(shí)際問題，經(jīng)歷問題解決的全過程，并在解決具體問題的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)更為一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。例題以中國古建筑中“外方內(nèi)圓”和“外圓內(nèi)方”兩種經(jīng)典設(shè)計為情境，直觀清晰地提出了需要解決的數(shù)學(xué)問題求正方形與圓之間的那部分面積。兩個圖中的圓大小相同，但正方形位置與大小都不同。很自然地引出一個問題：中間部分的面積與圓的面積有沒有關(guān)系？有

18、什么樣的關(guān)系？例3是給出一個特殊的圓半徑，先解決特殊問題，在“反思”部分再討論一般性的規(guī)律?！胺治雠c解答”引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖示尋找正方形與圓之間的關(guān)系。第一個圖，很容易看出正方形的邊長就是圓的直徑；第二個圖，正方形的邊長不知道，不能用邊長的平方直接計算面積。此時，就需要轉(zhuǎn)換思路，將正方形看成兩個底是圓的直徑、高是圓的半徑的三角形（或四個小三角形）。在前面的解題環(huán)節(jié)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形與圓之間的面積與圓的半徑是有關(guān)的，那到底有什么樣的關(guān)系呢？因此，在“回顧與反思”這一環(huán)節(jié)，需要繼續(xù)延伸討論，進(jìn)一步探討一般化的結(jié)論。圓的半徑是r與半徑是1m的解題思路完全相同，因?yàn)榘霃?m只是其中的一種特例。讓學(xué)生利用剛才

19、的方法，得到一個代數(shù)式的結(jié)果。把r=1m代入，與前面的結(jié)果相符，以此檢驗(yàn)這個代數(shù)式的正確性。4. 扇形的認(rèn)識教材呈現(xiàn)了三個名稱中含有“扇”的物體，引出問題：什么是扇形？這樣的引入方式，把扇形這個數(shù)學(xué)名詞與學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，有助于激發(fā)學(xué)生的研究興趣。教材結(jié)合圖示，以直接介紹的方式，揭示了“弧”“扇形”“圓心角”等術(shù)語的含義。事實(shí)上，扇形就是弧和圓心角所組成的圖形。幾何原本中這樣定義扇形：由頂點(diǎn)在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形叫做扇形。扇形的大小與圓心角的大小緊密相關(guān)，也與所在圓的半徑大小有關(guān)。到第七單元學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計圖時，還用到了各部分扇形的大小占整個圓的百分?jǐn)?shù)。

20、這些，需要學(xué)生直觀感知并理解，但總體要求并不高，例如，扇形統(tǒng)計圖中沒有提出計算各扇形圓心角的明確要求。因此，教材上只列出了兩類特殊的扇形：半圓為弧的扇形對應(yīng)的圓心角是180°，圓為弧的扇形對應(yīng)的圓心角是90°。四、教學(xué)建議1引導(dǎo)學(xué)生動手操作、自主探索圓的特征。2注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用和體驗(yàn)轉(zhuǎn)化、極限等數(shù)學(xué)思想方法。3緊密結(jié)合生活素材，培養(yǎng)學(xué)生在日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力。  確定起跑線 一、教學(xué)內(nèi)容確定標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動場400m跑的各跑道起跑線。二、教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生了解田徑場以及環(huán)形跑道的基本結(jié)構(gòu)，學(xué)會綜合運(yùn)用圓的周長等知識來計算并確定400m跑的起跑線

21、。2使學(xué)生經(jīng)歷觀察、計算、推理等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，體會抽象、推理等基本的數(shù)學(xué)思想。3使學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識在生活中的廣泛應(yīng)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性。三、具體編排本活動主要由以下三個部分組成。（1）發(fā)現(xiàn)和提出問題。教材以400 m跑為背景，呈現(xiàn)起跑時的真實(shí)情況，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活問題：為什么都是跑400m，運(yùn)動員要站在不同的起跑線上？使學(xué)生通過對起跑線位置的關(guān)注和思考，進(jìn)一步提出更多的數(shù)學(xué)問題，例如：是不是起跑線在前面的選手跑的路程更短些？比賽是公平的，每個人跑的路程應(yīng)該同樣長，那為什么起跑線是不同的呢？難道每條跑道的終點(diǎn)線也設(shè)置得不同？引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：終點(diǎn)是相同的，但外圈和內(nèi)圈的長度是不同的。如果起跑線相同的話，外圈的同學(xué)跑的距離長，不公平。所以外圈跑道的起跑線位置應(yīng)該往前移。在此認(rèn)知基礎(chǔ)上，很自然地提出本活動的核心問題：各條跑道的起跑線應(yīng)該相差多少米？即如何確定每條跑道的起跑線。（2）分析和解決問題。教材第80頁第二幅圖中呈現(xiàn)了小組同