物理實(shí)驗(yàn)誤差分析與數(shù)據(jù)處理要點(diǎn)

1、實(shí)驗(yàn)誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.1 測(cè)量與誤差 22 誤差的處理 63 不確定度與測(cè)量結(jié)果的表示 104 實(shí)驗(yàn)中的錯(cuò)誤與錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的剔除 135 有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則 156 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法 177 題 2521實(shí)驗(yàn)誤差分析與數(shù)據(jù)處理1測(cè)量與誤差1.1測(cè)量及測(cè)量的分類(lèi)物理實(shí)驗(yàn)是以測(cè)量為基礎(chǔ)的。在實(shí)驗(yàn)中，研究物理現(xiàn)象、物質(zhì)特性、驗(yàn)證物理原理都需要進(jìn)行測(cè)量。所謂測(cè)量，就是將待測(cè)的物理量與一個(gè)選來(lái)作為標(biāo)準(zhǔn)的同類(lèi)量進(jìn)行比較，得出 它們的倍數(shù)關(guān)系的過(guò)程。選來(lái)作為標(biāo)準(zhǔn)的同類(lèi)量稱(chēng)之為單位，倍數(shù)稱(chēng)為測(cè)量數(shù)值。 一個(gè)物理 量的測(cè)量值等于測(cè)量數(shù)值與單位的乘積。在人類(lèi)的發(fā)展歷史上，不同時(shí)期，不同的國(guó)家，乃至不同的地區(qū)，

2、同一種物理量有著許多不同的計(jì)量單位。如長(zhǎng)度單位就分別有碼、英尺、市尺和米等。為了便于國(guó)際交流，國(guó)際 計(jì)量大會(huì)于1990年確定了國(guó)際單位制（SI）,它規(guī)定了以米、千克、秒、安培、開(kāi)爾文、摩 爾、坎德拉作為基本單位，其他物理量（如力、能量、電壓、磁感應(yīng)強(qiáng)度等）均作為這些基 本單位的導(dǎo)出單位。1 .直接測(cè)量與間接測(cè)量測(cè)量可分為兩類(lèi)。一類(lèi)是直接測(cè)量，是指直接將待測(cè)物理量與選定的同類(lèi)物理量的標(biāo)準(zhǔn) 單位相比較直接得到測(cè)量值的一種測(cè)量。它無(wú)須進(jìn)行任何函數(shù)關(guān)系的輔助運(yùn)算。如用尺測(cè)量4二 21長(zhǎng)度、以秒表計(jì)時(shí)間、天平稱(chēng)質(zhì)量、安培表測(cè)電流等。另一類(lèi)是間接測(cè)量，是指被測(cè)量與直 接測(cè)量的量之間需要通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系的

3、輔助運(yùn)算，才能得到被測(cè)量物理量的量值的測(cè) 量。如單擺測(cè)量重力加速度時(shí)， 需先直接測(cè)量單擺長(zhǎng)l和單擺的周期T,再應(yīng)用公式g =求得重力加速度g。物理量的測(cè)量中，絕大部分是間接測(cè)量。 但直接測(cè)量是一切測(cè)量的基礎(chǔ)。 不論是直接測(cè)量，還是間接測(cè)量，都需要滿足一定的實(shí)驗(yàn)條件，按照嚴(yán)格的方法及正確地使 用儀器，才能得出應(yīng)有的結(jié)果。 因此實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，一定要充分了解實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?正確使用儀器, 細(xì)心地進(jìn)行操作讀數(shù)和記錄，才能達(dá)到鞏固理論知識(shí)和加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練的目的。2 .等精度測(cè)量與不等精度測(cè)量同一個(gè)人，用同樣的方法，使用同樣的儀器，在相同的條件下對(duì)同一物理量進(jìn)行多次測(cè) 量，盡管各次測(cè)量并不完全相同，但我們沒(méi)有

4、任何充足的理由來(lái)判斷某一次測(cè)量更為精確， 只能認(rèn)為它們測(cè)量的精確程度是完全相同的。我們把這種具有同樣精確程度的測(cè)量稱(chēng)之為等精度測(cè)量。在所有的測(cè)量條件中， 只要有一個(gè)發(fā)生變化， 這時(shí)所進(jìn)行的測(cè)量即為不等精度測(cè) 量。在物理實(shí)驗(yàn)中，凡是要求多次測(cè)量均指等精度測(cè)量，應(yīng)盡可能保持等精度測(cè)量的條件不變。嚴(yán)格地說(shuō)，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中保持測(cè)量條件不變是很困難的。但當(dāng)某一條件的變化對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響不大時(shí)，乃可視為等精度測(cè)量。在本書(shū)中，除了特別指明外，都作為等精度測(cè)量。1.2誤差及誤差的表現(xiàn)形式1 .誤差物理量在客觀上有著確定的數(shù)值，稱(chēng)為真值。測(cè)量的最終目的都是要獲得物理量的真值。但由于測(cè)量?jī)x器精度的局限性、測(cè)量方法或

5、理論公式的不完善性和實(shí)驗(yàn)條件的不理想，測(cè)量這種差異稱(chēng)之為誤差。若某物人員不熟練等原因，使得測(cè)量結(jié)果與客觀真值有一定的差異, 理量測(cè)量的量值為 x,真彳1為A,則產(chǎn)生的誤差&x為:任何測(cè)量都不可避免地存在誤差。在誤差必然存在的條件下，物理量的真值是不可知的。所以在實(shí)際測(cè)量中計(jì)算誤差時(shí)，通常所說(shuō)的真值有如下幾種類(lèi)型：(1)理論真值或定義真值。如用平均值代替真值，三角形內(nèi)角何等于180°等。(2)計(jì)量約定真值。如前面所介紹的基本物理量的單位標(biāo)準(zhǔn)，以及國(guó)際大會(huì)約定的基 本物理量。(3)標(biāo)準(zhǔn)器相對(duì)真值(或?qū)嶋H值)。用比被標(biāo)準(zhǔn)過(guò)的儀器高一級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)器的量值作為標(biāo) 準(zhǔn)器相對(duì)真值。例如：用 0

6、.5級(jí)的電流表測(cè)得某電路的電流為1.200A,用0.2級(jí)電流表測(cè)得的電流為1.202A,則后者可示為前者的真值。2 .誤差的表示形式誤差的表示形式有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差之分。絕對(duì)誤差是測(cè)量值和真值的數(shù)值之差5 = x A(1-1)根據(jù)絕對(duì)誤差的大小還難以評(píng)價(jià)一個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度，還需要考慮被測(cè)量本身的大小，為此引入相對(duì)誤差，相對(duì)誤差E定義為絕對(duì)誤差 6與被測(cè)量量的真值 x的比值，即:E =9x100%(1-2)x相對(duì)誤差常用百分比表示。它表示絕對(duì)誤差在整個(gè)物理量中所占的比重，它是無(wú)單位的一個(gè)純數(shù)，所以既可以評(píng)價(jià)量值不同的同類(lèi)物理量的測(cè)量，也可以評(píng)價(jià)不同物理量的測(cè)量， 從而判斷它門(mén)之間優(yōu)劣。如果

7、待測(cè)量有理論值或公認(rèn)值，也可用百分差來(lái)表示測(cè)量的好壞。即:百分差Eq|測(cè)量值公認(rèn)值|公認(rèn)值100%(1-3)1.3誤差的分類(lèi)既然測(cè)量不能得到真值，那么怎樣才能最大限度的減小測(cè)量誤差并估算出誤差的范圍呢？要解決這個(gè)問(wèn)題， 首先要了解誤差產(chǎn)生的原因及其性質(zhì)。測(cè)量誤差按其產(chǎn)生的原因與性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過(guò)失誤差。1 .系統(tǒng)誤差 在一定條件下(指儀器、 方法和環(huán)境)對(duì)同一物理量進(jìn)行多次測(cè)量時(shí)，其誤差按一定的規(guī)律變化，測(cè)量結(jié)果都大于真值或都小于真值。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因可能是已知的，也可能是未知的。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因主要有：(1)由于儀器本身存在一定的缺陷或使用不當(dāng)造成的。如儀器零點(diǎn)不準(zhǔn)、儀器水

8、平或 鉛直未調(diào)整、祛碼未校準(zhǔn)等。(2)實(shí)驗(yàn)方法不完善或這種方法所依據(jù)的理論本身具有近似性。例如用單擺測(cè)量重力 加速度時(shí)，忽略空氣對(duì)擺球的阻力的影響，用安培表測(cè)量電阻時(shí)， 不考慮電表內(nèi)阻的影響等所引入的誤差。(3)實(shí)驗(yàn)者生理或心理特點(diǎn)或缺乏經(jīng)驗(yàn)所引入的誤差。例如有人讀數(shù)時(shí)，頭習(xí)慣性的 偏向一方向，按動(dòng)秒表時(shí)，習(xí)慣性的提前或滯后等。2 .隨機(jī)誤差 同一物理量在多次測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和符號(hào)以不可預(yù)知的方式變化的測(cè)量誤差稱(chēng)為隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差不可修正。 隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因很多，歸納起來(lái)大致可分為以下兩個(gè)方面：(1)由于觀測(cè)者在對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)、確定平衡(如天平)、估讀數(shù)據(jù)時(shí)所引入的誤差。(2)實(shí)驗(yàn)中各種微

9、小因素的變動(dòng)。例如，實(shí)驗(yàn)裝置和測(cè)量機(jī)構(gòu)在各次調(diào)整操作上的變 動(dòng)性，實(shí)驗(yàn)中電源電壓的波動(dòng)、環(huán)境的溫度、濕度、照度的變化所引起的誤差。隨機(jī)誤差的出現(xiàn)， 單就某一次觀測(cè)來(lái)說(shuō)是沒(méi)有規(guī)律的，其大小和方向是不可預(yù)知的。但對(duì)某一物理量進(jìn)行足夠多次測(cè)量，則會(huì)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，隨機(jī)誤差可用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估算。1.4測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度、精確度我們常用精度反映測(cè)量結(jié)果中誤差大小的程度。誤差小的精度高，誤差大的精度低，這里精度卻是一個(gè)籠統(tǒng)的概念，它并不明確表示描寫(xiě)的是哪一類(lèi)誤差，為描述更具體，我們把精度分為精密度、準(zhǔn)確度和精確度。1 .精密度精密度表示測(cè)量結(jié)果中的隨機(jī)誤差大小的程度。它是指在一定條件下進(jìn)

10、行重復(fù)測(cè)量時(shí),所得結(jié)果的相互接近程度。它用來(lái)描述測(cè)量得重復(fù)性。精密度高，即測(cè)量數(shù)據(jù)得重復(fù)性好， 隨機(jī)誤差較小。(i)精密度(i i )準(zhǔn)確度(i i i )精確度圖1-1測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度、精確度圖示(以打靶為例)2 .準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小得程度。用它來(lái)描述測(cè)量值接近真值得程度。準(zhǔn) 確度高，即測(cè)量結(jié)果接近真值得程度高，系統(tǒng)誤差小。3 .精確度精確度是對(duì)測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合描述。它是指測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性及 接近真值的程度。為了形象地說(shuō)明這三個(gè)概念的區(qū)別和聯(lián)系，我們以打靶為例說(shuō)明(圖1-1):(i)精密度高而準(zhǔn)確度較差；ii ）準(zhǔn)確度高而精密度較差；iii ）精密度

11、和準(zhǔn)確度都很高，即精確度很高。2誤差的處理誤差的產(chǎn)生有其必然性和普遍性，誤差自始至終存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，一切測(cè)量結(jié)果都存在誤差。本節(jié)主要介紹上述兩類(lèi)誤差的處理方法。2.1 系統(tǒng)誤差一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的優(yōu)劣，往往在于系統(tǒng)誤差是否已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)或盡可能消除，所以預(yù)見(jiàn)一切可能產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差的因素，并設(shè)法減小它們是非常重要的。一般而言，對(duì)于系統(tǒng)誤差可以在實(shí)驗(yàn)前對(duì)儀器進(jìn)行校準(zhǔn)， 對(duì)實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行改進(jìn)， 在實(shí)驗(yàn)時(shí)采取一定的措施對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行 補(bǔ)償和消除，實(shí)驗(yàn)后對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正等。系統(tǒng)誤差的處理是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，它沒(méi)有一個(gè)簡(jiǎn)單的公式，主要取決于實(shí)驗(yàn)者的經(jīng)驗(yàn)和技巧并根據(jù)具體情況來(lái)處理。 從實(shí)驗(yàn)者對(duì)系統(tǒng)誤差掌握的程度來(lái)

12、分， 又可分為已定 系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差兩類(lèi)。1 .已定系統(tǒng)誤差已定系統(tǒng)誤差是指絕對(duì)值和符號(hào)都已確定的，可以估算出的系統(tǒng)誤差分量。例如：對(duì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)值為50毫克的三等祛碼，就無(wú)法知道該祛碼的誤差值是多少。只知道它對(duì)測(cè)量結(jié)果 造成的未定系統(tǒng)誤差限為± 2mg,但如果在使用前用高一級(jí)的祛碼進(jìn)行校準(zhǔn)，就可得到已定系統(tǒng)誤差得值。2 .未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差是指符號(hào)或絕對(duì)值未經(jīng)確定的系統(tǒng)誤差分量。例如，儀器出廠時(shí)的準(zhǔn)確度指標(biāo)是用符號(hào) ©表示的。它只給出該類(lèi)儀器誤差的極限范圍。但實(shí)驗(yàn)者使用該儀器時(shí)并不 知道該儀器的誤差的確切大小和正負(fù)，只知道該儀器的準(zhǔn)確程度不會(huì)超過(guò)儀的極限（例如上面

13、所舉祛碼中的士 2mg）。所以這種系統(tǒng)誤差通常只能定出它的極限范圍，由于不能知道 它的確切大小和正負(fù)，故無(wú)法對(duì)其進(jìn)行修正。對(duì)于未定系統(tǒng)誤差在物理實(shí)驗(yàn)中我們一般只考 慮儀器測(cè)量?jī)x器的（最大）允許誤差加（簡(jiǎn)稱(chēng)儀器誤差）。2.2 隨機(jī)誤差的估算隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是隨機(jī)性。也就是說(shuō)在相同條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，每次測(cè)量的誤差的大小和正負(fù)無(wú)法預(yù)知，純屬偶然。但是實(shí)踐和理論證明，如果測(cè)量次數(shù)足夠多的話，大部分測(cè)量的隨機(jī)誤差都服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。本書(shū)只著重介紹隨機(jī)誤差的正態(tài)分布。1 .正態(tài)分布的特征與數(shù)學(xué)表達(dá)遵從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差有以下幾點(diǎn)特征：（1）單峰性。絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的可能性（概率）比絕

14、對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率小。（2）對(duì)稱(chēng)性。絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，對(duì)稱(chēng)分布于真值的兩側(cè)。（3）有界性。在一定的條件下，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限度。n（4）抵償性。當(dāng)測(cè)量次數(shù)很多時(shí)，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零，即lim'、）=0正態(tài)分布的特征可用正態(tài)分布曲線形象地表達(dá)。如圖2-1所示。橫坐標(biāo)表示誤差 5 = x 1 - xo式中xo為被測(cè)量量的真值?？v坐標(biāo)為一個(gè)與誤差出現(xiàn)的概率有關(guān)的概率密度函數(shù)f（&。根據(jù)概率論的數(shù)學(xué)方法可以導(dǎo)出:(2-1)()=1e：2; 2 二(a)(b)圖2-1概率密度函數(shù)曲線圖測(cè)量值的隨機(jī)誤差出現(xiàn)在6到+ d6區(qū)間內(nèi)可能性為fd6即圖（a）

15、中陰影所含的面積元。上式中 仃是一個(gè)與實(shí)驗(yàn)條件有關(guān)的常數(shù)，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)誤差，其值為: n(2-2)Ji2 i 4式中n為測(cè)量次數(shù)，各次測(cè)量的隨機(jī)誤差為S ,i =1,2n。2 .標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義由式2-1可知，隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線的形狀與仃值有關(guān)，如圖（b）所示，a值越小，分布曲線越尖銳，峰值 f （6）越高，說(shuō)明絕對(duì)值小的誤差占多數(shù)，且測(cè)量值的離散性較小，重復(fù)性好，測(cè)量精密度較高；反之仃值越大，則曲線越平坦，該組測(cè)量值的離散性大，測(cè)量精密度低。標(biāo)準(zhǔn)誤差反映了測(cè)量值的離散程度。由f（6）d5是測(cè)量值隨機(jī)誤差出現(xiàn)在小區(qū)間（5,6+d6）的可能性（概率），即n次測(cè)e 2% =68.3%p（：、.

16、：；）= f （、）d ：=量值誤差出現(xiàn)在 （-er, +aj內(nèi)的概率為：(2-3)這說(shuō)明對(duì)任一次測(cè)量， 其測(cè)量值誤差出現(xiàn)在 -仃 到+仃區(qū)間內(nèi)的概率為 68.3%。從概 率密度分布函數(shù)的曲線圖來(lái)看：設(shè)曲線下面積為1即100% ,則介于（R,+ 間的曲線下的面積為 68.3% 。用同樣的方法計(jì)算可得介于（-25+2cr）間的概率為 95.5%,介于（-3。,氣仃）間的概率為 99.7%。顯然，測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于 3仃的概率僅為0.3%。在通 常情況下的有限次測(cè)量測(cè)量誤差超出土 3。范圍的情況幾乎不會(huì)出現(xiàn)，所以把3仃稱(chēng)為極限誤差。3 .近真值一一算術(shù)平均值盡管一個(gè)物理量的真值是客觀存在的，但由

17、于誤差的存在，企圖得到真值的愿望仍然不能實(shí)現(xiàn)。那么是否能夠得到一個(gè)測(cè)量結(jié)果的最佳值，或者說(shuō)得到一個(gè)最接近真值的數(shù)值呢？根據(jù)隨機(jī)誤差具有抵償性特點(diǎn)，我們可以求得真值的最佳估計(jì)值一一近真值。設(shè)在相同條件下對(duì)一個(gè)物理量進(jìn)行多次沒(méi)量，測(cè)量值分別為X1 , x2, x3，xn ,則該沒(méi)量 值的算術(shù)平均值:(2-4)1 n ,、x=-Z xi (i = 1, 2, 3,)n i i而各次測(cè)量的隨機(jī)誤差為:i =xi - x0式中?為真值，玉為第i次測(cè)量值，對(duì)n次測(cè)量的絕對(duì)誤差求和有:nn二.- i =' xi 一 nxo i 4 i 4等式兩邊各除以n可得：1 n1 n_一 " '

18、; i = 、 xi - xo = x - xon yn y當(dāng)測(cè)量次數(shù)nT8由隨機(jī)誤差具有抵償性的特點(diǎn)，所以有： nlim '、.、i =0n Ua故根據(jù)以上推導(dǎo)可得：由此可知，測(cè)量次數(shù)愈多，算術(shù)平均值接近真值的可能性愈大。當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠時(shí)，算* 術(shù)平均值是真值的最佳估計(jì)值 。2.3標(biāo)準(zhǔn)誤差的估算一一標(biāo)準(zhǔn)偏差由于真值不知道，誤差S無(wú)法計(jì)算，因而按照式2-2標(biāo)準(zhǔn)誤差 仃也無(wú)從估算。根據(jù)算 術(shù)平均值是近真值的結(jié)論，在實(shí)際估算誤算時(shí)采用算術(shù)平均值代替真值，用各次測(cè)量值與算術(shù)平均值的差值Vi =為-x來(lái)估算各次測(cè)量的誤差，差值稱(chēng)為殘差 。當(dāng)測(cè)量次數(shù) n有限時(shí),如用殘差來(lái)表示誤差時(shí)，其計(jì)算公式為

19、: 、n v2Sx =(2-5)1 n(x -x) = i n -1 ii， n TSx稱(chēng)為任一次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差，它是測(cè)量次數(shù)有限多時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差的一個(gè)估計(jì)值。其代表的物理意義為：如果多次測(cè)量的隨機(jī)誤差遵從正態(tài)分布，那么，任一次測(cè)量的測(cè)量值誤差落在-Sx到+Sx區(qū)域之間的可能性（概率）為 68.3%。通過(guò)誤差理論可以證明，平均值.x的標(biāo)準(zhǔn)偏差為:(2-6)歸(Xi -x)2ei工x : n(n 一1)上式說(shuō)明算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是n次測(cè)量中的任意一次測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)偏差的上，Sx小n于Sx ,因?yàn)樗阈g(shù)平均值是測(cè)量結(jié)果的最佳值，它比任意一次測(cè)量值Xi更接近真值，所以誤小。Sx的物理意義是在多次測(cè)量的隨機(jī)

20、誤差遵從正態(tài)分布的條件下，真值處于X 士S又區(qū)間內(nèi)的概率為 68.3%。3不確定度與測(cè)量結(jié)果的表示3.1測(cè)量不確定度由于測(cè)量誤差的存在，難以確定被測(cè)量的真值。測(cè)量不確定度是與測(cè)量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù)，它表征測(cè)量真值在某一個(gè)量值范圍內(nèi)不能肯定程度的一個(gè)估計(jì)值。也就是說(shuō)不確定度是測(cè)量結(jié)果中無(wú)法修正的部分，反映了被測(cè)量的真值不能肯定的誤差范圍的一種評(píng)定, 確定度包含A類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度和B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度。測(cè)量不1. A類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度由于偶然因素，在同一條件下對(duì)同一物理量X進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量值 x1, x2 ,x3，xn,將是分散的，從分散的測(cè)量值出發(fā)用統(tǒng)計(jì)的方法評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，就是標(biāo)準(zhǔn)不確定度的類(lèi)評(píng)定。設(shè)A

21、類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為Ua(x),用統(tǒng)計(jì)的方法算出平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為S.,不確定度的A類(lèi)分量就取為平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即:(3-1)u A(X)= Sx =u：(司x)2n(n -1)x -uA(x)，X +uA(x)中包按誤差理論的正態(tài)分布，如不存在其他影響，則測(cè)量值范圍 含真值的概率為 68.3%。2. B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度。測(cè)量中凡是不符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的不確定度統(tǒng)稱(chēng)為B類(lèi)不確定度。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，有的依據(jù)計(jì)量?jī)x器的說(shuō)明書(shū)或鑒定書(shū)， 經(jīng)驗(yàn)，從中獲得儀器的極限誤差, 分布，則B類(lèi)評(píng)定不確定度為:有的依據(jù)儀器的準(zhǔn)確度， 有的則粗略的依據(jù)儀器的分度值或限(或允許誤差或示值誤差)此類(lèi)誤差一般可視為均勻儀 uB (x

22、) y3(3-2)例：使用量程為 0300mm差在土 0.05mm以內(nèi)，即極限誤差為,分度值為0.05mm的游標(biāo)卡尺，測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)，其示值誤儀=0.05mm ,則由此游標(biāo)卡尺引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u B (x)為:儀Ub(x)=30.05=0.029mm.33.合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度(1)直接測(cè)量結(jié)果不確定度的估算物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果表示中，總不確定度u (x)的估算方法行為兩類(lèi)，即多次重重測(cè)量用統(tǒng)計(jì)方法算出的A類(lèi)分量Ua(x)和用其它方法估算出的B類(lèi)分量Ub(x)。用方和根的方法合成為總不確定度u ( x)：u(x) =v；Ua(x)+UB(x)(3-3)例：已知游標(biāo)卡尺(加=0.005cm)的初始讀為0

23、.05cm,測(cè)量圓環(huán)內(nèi)徑數(shù)據(jù)如下表所示， 試求其測(cè)量的不確定度。測(cè)量次數(shù)123456d (cm)3.2553.2503.2603.2553.2503.255計(jì)算出:d = 3.254cm 則零點(diǎn)修正后：d =3.254 -0.05 = 3.249cm< (di -d)2S- = i-= 0.002cmd . n(n -1)所以有：UA(d) =SdUB(d)儀 0.0053.3=0.003cmu(d) = uA(d) uB(d) = 0.004cm(2)間接測(cè)量不確定度的估算物理實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一般都通過(guò)間接測(cè)量獲得的，間接測(cè)量是以直接測(cè)量為基礎(chǔ)的，直接測(cè)量值不可避免地有誤差存在，顯然由直接測(cè)

24、量值根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過(guò)運(yùn)算而獲得的間接測(cè)量的結(jié)果，必然也有誤差存在。怎樣來(lái)計(jì)算間接測(cè)量的誤差呢？這實(shí)質(zhì)上是要解決一個(gè) 誤差的傳遞問(wèn)題，即求得估算間接測(cè)量值誤差的公式，稱(chēng)為誤差的傳遞公式。設(shè)間接測(cè)量量 N是n個(gè)獨(dú)立的直接測(cè)量量 A、B、C,，H的函數(shù)，即N = f (A, B, C,，H)若各直接測(cè)量值 A、B、C,，H的不確定度分別為 u (A), u (B), u (C),，u (H), 它們使N值也有相應(yīng)的不確定度 u (N),由于不確定度都是微小量，相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的“增 量”，因此間接測(cè)量的不確定度公式與數(shù)學(xué)中的全微分公式基本相同，利用全微分公式，則 間接測(cè)量的不確定度：u(n)=.

25、；a u2(A)/、2/-.2,fa 2小、J Cf1 2 小、十 = | u (B) + =! u (C)蓋 Ju2(H)(3-4)如果先對(duì)函數(shù)表達(dá)或取對(duì)數(shù)，再求全微分可得:（3-5）當(dāng)間接測(cè)量量N是各直接測(cè)量量 A、B、C,，H的和或差的函數(shù)時(shí)，則用（3-4）式 計(jì)算較為方便，當(dāng)間接測(cè)量量N是各直接測(cè)量量 A、B、C,，H的積或商的函數(shù)時(shí)，則用（3-4）式先計(jì)算N的相對(duì)不確定度u（Nl ,然后再計(jì)算u （N）比較方便。N在一些簡(jiǎn)單的測(cè)量問(wèn)題中，有時(shí)要求不需太精確的測(cè)量問(wèn)題中可以用絕對(duì)值合成方法, 即u(N)=cfu(A) + Au(B) +u(C) + ccu(N)Njlnj一Au(A)

26、+I In f3u(B) +fln f-u(C),Cain f+ - u(H)cH(3-6)(3-7)當(dāng)然這種絕對(duì)值合成的方法所得結(jié)果一般偏大。與實(shí)際的不確定度合成情況可能也有較大出入。但因其計(jì)算比較簡(jiǎn)，在要求不高，作粗略做算時(shí)，往往采用絕對(duì)值合成法，但在科 學(xué)實(shí)驗(yàn)中，一般都采用“方和根”合成來(lái)計(jì)算間接測(cè)量結(jié)果的不確定度，常用函數(shù)的方和根 合成與絕對(duì)值合成公式見(jiàn)下表：函數(shù)表送式方和根合成公式絕對(duì)值合成公式N =x ±yu(N) ="u2(x) +u2(y)u(N) = u(x) + u(y)AN =AMB , N =AB/.2u(N) liu(A)十 ju(B) N -R

27、A ) V B )u(N)=3+蛆 ABN =KA （K為常數(shù)）u(N) u(A) u(N) =Ku(A), NAu(N) u(A) u(N) =Ku(A),NAN =An,n =1,2,u(N)u(A)=nNAu(N)u(A)=nNAN =%,'Au(N)u(A)-n NAu(N)u(A)-nNAN =sin Au( N) =|cosAu(A)u(N) = cos A u( A)N =ln xu(A) u(N)= Au(A) u(N)= A3.2測(cè)量結(jié)果的一般表示一個(gè)完整的測(cè)量的結(jié)果不僅要給出該量值的大?。〝?shù)值和單位）同時(shí)還應(yīng)給出它的不確定度。用不確定度來(lái)表征測(cè)量結(jié)果的可信賴程度，于

28、是測(cè)量結(jié)果應(yīng)寫(xiě)成下列標(biāo)準(zhǔn)形式：x = x ±u（x）（單位）Urxx為多次測(cè)量值的算術(shù)平均值,式中x為測(cè)量值的最佳估計(jì)值，對(duì)等精度多次測(cè)量而言,u （x）為不確定度，Ur為相對(duì)不確定度。4實(shí)驗(yàn)中的錯(cuò)誤與錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的剔除實(shí)驗(yàn)中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，盡早發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的錯(cuò)誤是實(shí)驗(yàn)得以順利進(jìn)行的前提保障，數(shù)據(jù)分析就是發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的重要方法。例1:三次單擺擺50個(gè)周期的時(shí)間，得出 98.4s, 96.7s,97.7s。從數(shù)據(jù)可知擺的周期接 近2s,但前面兩個(gè)數(shù)據(jù)相差 1.7s,而后兩個(gè)相差1.0s,它們都在半個(gè)周期以上，顯然這樣大 的差異不能用手按稍表稍或滯后的操作誤差去解釋?zhuān)礈y(cè)量有誤差。例2:用靜力稱(chēng)衡

29、法測(cè)一塊玻璃的密度P ,所用公式為P= mi P。，式中mi= 5.78gmi - m2為玻璃質(zhì)量，m2 = 4.77g為玻璃懸掛在水中的質(zhì)量。這次測(cè)量顯然有錯(cuò)誤，因?yàn)樵诖薽i與m2之差近似為1g; P值接近6 g/cm3,沒(méi)有這樣大密度的玻璃。4.1 拉依達(dá)判據(jù)在一組數(shù)據(jù)中，有一、二個(gè)稍許偏大或偏小的數(shù)值，如果簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)分析不能判定它是 否為錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，就要借助于誤差理論。 在前面標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義中已提到對(duì)于服從正態(tài)分 布的隨機(jī)誤差，出現(xiàn)在±6區(qū)間內(nèi)概率為 68.3%,與此相仿，同樣可以計(jì)算，在相同條件下對(duì)某一物理量進(jìn)行多次測(cè)量，其任意一次測(cè)量值的誤差落在-36到+36區(qū)域之間的可

30、能性(概率)為：P(T6,36) = jf (公)dAx=99.7%(4-1)如果用測(cè)量列的算術(shù)平均替代真值，則測(cè)量列中約有99.7%的數(shù)據(jù)應(yīng)落在X±3$區(qū)間內(nèi)，如果有數(shù)據(jù)出現(xiàn)在此區(qū)間之外，則我們可以認(rèn)為它是錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，這時(shí)我們應(yīng)把它舍去， 這樣以標(biāo)準(zhǔn)偏差SX的3倍為界去決定數(shù)據(jù)的取舍就成為一個(gè)剔除壞數(shù)據(jù)的準(zhǔn)則，稱(chēng)為拉依 達(dá)準(zhǔn)則。但要注意的是數(shù)據(jù)少于1。個(gè)時(shí)此準(zhǔn)則無(wú)效。4.2 格羅布斯判據(jù)對(duì)于服從正態(tài)分布的測(cè)量結(jié)果，其偏差出現(xiàn)在 ±36附近的概率已經(jīng)很小，如果測(cè)量次 數(shù)不多，偏差超過(guò) ±36幾乎不可能，因而，用拉依達(dá)判據(jù)剔除疏失誤差時(shí)，往往有些疏失 誤差剔除不掉。另

31、外，僅僅根據(jù)少量的測(cè)量值來(lái)計(jì)算d ,這本身就存在不小的誤差。因此當(dāng)測(cè)量次數(shù)不多時(shí)，不宜用拉依達(dá)判據(jù)，但可以用格羅布斯判據(jù)。按此判據(jù)給出一個(gè)數(shù)據(jù)個(gè) 數(shù)n相聯(lián)系的系數(shù) Gn,當(dāng)已知數(shù)據(jù)個(gè)數(shù) n,算術(shù)平均值x和測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)偏差 Sx,則可以保 留的測(cè)量值為的范圍為(X -Gn Sx) <Xi M(X+Gn Sx)(4-2)Gn系數(shù)表N345678910111213Gn1.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.33N14151617181920222530Gn2.372.412.442.482.502.532.562.602.662.74也可用擬合式計(jì)算G

32、n值ln（ n 一2.65）n < 30 時(shí)取 Gn =+1.3052.31ln（ n -3）nn > 30 時(shí)取 Gn = +1.36 2.30550例：測(cè)得一組長(zhǎng)度值（單位：cm）98.2898.2698.2498.2998.2198.3098.9798.2598.2398.25計(jì)算出:x =98.328cm,Sx =0.227cm,n =10,Gn =2.18 x Gn Sx =98.833cm,X Gn Sx =98.823cm數(shù)據(jù)98.97在此范圍之外應(yīng)舍去。舍去后再計(jì)算有x = 98.257cm, Sx = 0.029cm, Sx = 0.010cm5有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)

33、則5.1 有效數(shù)字在物理量的測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果都是存在一定的誤差，這些值不能任意地取舍，它反映出測(cè)量量的準(zhǔn)確程度。如何科學(xué)地，合理地反映測(cè)量結(jié)果，這就涉及到有效數(shù)字的問(wèn)題。有效數(shù)字在物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常使用。什么是有效數(shù)字，有效位數(shù)如何確定，有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則有 什么不同，在用有效數(shù)字表示測(cè)量結(jié)果時(shí)，如何與誤差聯(lián)系起來(lái)?？梢哉f(shuō)，誤差決定有效數(shù)字。例如：實(shí)驗(yàn)測(cè)得某一物理量，其測(cè)量列的算術(shù)平均值為x=1.674cm ,算得其不確定度u (x) = 0.04cm。從u (x)數(shù)值中可知，這一組測(cè)量量在小數(shù)點(diǎn)后面第二位就已經(jīng)有誤 差，所以X等于1.674中“7”已經(jīng)是有誤差的可疑數(shù)，表示結(jié)果X時(shí)后面一位“ 4

34、”已不必再寫(xiě)上，上述結(jié)果正確的表示應(yīng)為x = 1.67 ± 0.04cm。也就是說(shuō)，我們表示測(cè)量結(jié)果的數(shù)字中，只保留一位可疑數(shù)，其余應(yīng)全部是確切數(shù)。有效數(shù)字的定義為：有效數(shù)字是由若干位準(zhǔn)確數(shù)和一位可疑數(shù)構(gòu)成。這些數(shù)字的總位數(shù)稱(chēng)為有效數(shù)字。一個(gè)物理量的數(shù)值和數(shù)學(xué)上的數(shù)有著不同的意義。例如在數(shù)學(xué)上0.2500m = 25.00mm。但在物理測(cè)量上 0.2500m w 25.000cm。因?yàn)?.2500的有效位數(shù)是四位，而 25.000cm的有效 位數(shù)是五位。實(shí)際上，這兩種不同的寫(xiě)法表示了兩種不同精度的測(cè)量結(jié)果。所以在實(shí)驗(yàn)中記錄數(shù)據(jù)時(shí)，有效數(shù)字不能隨意增減。5.2 有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字

35、的正確運(yùn)算關(guān)系到實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確表達(dá)，由于運(yùn)算條件不一樣， 運(yùn)算規(guī)則也不一樣。1 .四則運(yùn)算四則運(yùn)算，一般可以依據(jù)以下運(yùn)算規(guī)則：參加運(yùn)算的各數(shù)字可以認(rèn)為僅最后一位數(shù)碼是有誤差的，其他位的數(shù)碼是無(wú)誤差的；無(wú)誤差的數(shù)碼間的四則運(yùn)算結(jié)果仍為無(wú)誤差數(shù)碼；有誤差的數(shù)碼參加四則運(yùn)算結(jié)果有誤差的數(shù)碼，進(jìn)位和借位認(rèn)為是無(wú)誤差數(shù)碼；最后結(jié)果按四舍五入法僅保留一位有誤差數(shù)碼。(1)加減法例 1 5.345+30.2(數(shù)字下面" _"是指誤差所在位的數(shù)碼)5. 3 4 53 0. 23 5. 5 4 5?。?.345 30.2 =35.5例 2 35.48 - 20.33 5. 4 805.取：3

36、5.48 -20.3 =15.2(2)乘除法例 1 4.178 M0.14. 1 7 810.14 17 80000417842.197 8?。?.178 10.1 =42.2例 2 48216 T233 9 24 8 2 1 61 233 6 9取：48216 -123 392用以上豎式才能得到計(jì)算結(jié)果的四則運(yùn)算，對(duì)我們來(lái)講，不現(xiàn)實(shí)，為了提高運(yùn)算速度， 又保證一定精度的誤差估計(jì)，可把上面加減運(yùn)算和乘除運(yùn)算分別總結(jié)為如下運(yùn)算規(guī)則：1)加減法運(yùn)算規(guī)則：若干項(xiàng)加減運(yùn)算時(shí)，仍然按正常運(yùn)算進(jìn)行；計(jì)算結(jié)果的最后一位， 應(yīng)取到與參加加減運(yùn)算各項(xiàng)中某項(xiàng)最后一位靠前的位置對(duì)齊。如3.14十1056.73 +1

37、03-9.862 =1153參加運(yùn)算的各項(xiàng)最后一位最靠前的是103的個(gè)位，其計(jì)算結(jié)果的最后一位就保留在個(gè)位上。2)乘除法運(yùn)算規(guī)則：計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)保留到與參加運(yùn)算的各數(shù)中有效數(shù)字位 數(shù)最少的位數(shù)相同。如2.7 M3.902+3.4567 =3.0 ,參加運(yùn)算的2.7有效數(shù)字是兩位，為最少，計(jì)算結(jié)果也就取兩位。這一規(guī)則在絕大多數(shù)情況下都成立，極少數(shù)情況下，由于借位或進(jìn)位可能多一位或少一位。如 0.98黑1.1 =1.08就多一位。2.函數(shù)運(yùn)算有效數(shù)字取位函數(shù)運(yùn)算不像四則運(yùn)算那樣簡(jiǎn)單，而要根據(jù)誤差傳遞公式來(lái)計(jì)算。例已知 x = 56.7, y = ln x,求 y。因x的有誤差位是十分位上，

38、所以取ix - 0.1,利用誤差傳遞公式 Ay川f '(x) Ax去估x 0 1計(jì)y的反差位Ay =定0.002 說(shuō)明y的誤差位在千分位上，故 y = lnx = ln56.7 =x 56.74.038。由上可知函數(shù)運(yùn)算有效數(shù)字取位的規(guī)則：已知 x,計(jì)算y = f (x)時(shí)，取Ax為x的最后 一位的數(shù)量級(jí)，利用誤差傳遞公式 Ay = f '(x)Qx估1t y的誤差數(shù)碼位置，y的計(jì)算結(jié)果最后 一位對(duì)應(yīng) Ay的那個(gè)位置。6實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法測(cè)量獲得了大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而要通過(guò)這些數(shù)據(jù)來(lái)得到可靠的實(shí)驗(yàn)結(jié)果或物理規(guī)律，則需要學(xué)會(huì)正確的數(shù)據(jù)處理方法。 本節(jié)將介紹在物理實(shí)驗(yàn)中常用的列表法、

39、 作圖法、逐差法和 最小二乘法等數(shù)據(jù)處理的基本方法。6.1 列表法在記錄和處理實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)常把數(shù)據(jù)列成表格，它可以簡(jiǎn)單而明確地表示出有關(guān) 物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，便于隨時(shí)檢查測(cè)量結(jié)果是否正確合理，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，利于計(jì)算和分析誤差，并在必要時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)隨時(shí)查對(duì)。 通過(guò)列表法可有助于找出有關(guān)物理量之間的規(guī)律性， 得出定量的結(jié)論或經(jīng)驗(yàn)公式等。列表法是工程技術(shù)人員經(jīng)常使用的一種方法。列表時(shí)，一般應(yīng)遵循下列規(guī)則(1)簡(jiǎn)單明了，便于看出有關(guān)物理量之間的關(guān)系，便于處理數(shù)據(jù)。(2)在表格中均應(yīng)標(biāo)明物理量的名稱(chēng)和單位。(3)表格中數(shù)據(jù)要正確反映出有效數(shù)字。(4)必要時(shí)應(yīng)對(duì)某些項(xiàng)目加以說(shuō)明，并計(jì)算出平均值、標(biāo)準(zhǔn)誤

40、差和相對(duì)誤差。例 用千分尺測(cè)量鋼絲直徑，列表如下：次數(shù)初讀數(shù)(mm)未讀數(shù)(mm)直徑Di (mm)D(mm)u (D)(mm)Ur10.0022.1472.1452.1450.0010.06%20.0042.1482.14430.0032.1492.14640.0012.1452.14450.0042.1492.14560.0032.1472.1446.2 作圖法物理實(shí)驗(yàn)中所得到的一系列測(cè)量數(shù)據(jù)，也可以用圖線直觀地表示出來(lái)，作圖法就是在坐標(biāo)紙上描繪出一系列數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖線?？梢匝芯课锢砹恐g的變化規(guī)律，找出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，求經(jīng)驗(yàn)公式的常用方法之一。同時(shí)作好一張正確、 實(shí)用、美觀的圖是實(shí)驗(yàn)

41、技能訓(xùn)練中的一項(xiàng)基本功，每個(gè)同學(xué)都應(yīng)該掌握。1.圖示法物理實(shí)驗(yàn)所揭示的物理量之間的關(guān)系，可以用一個(gè)解析函數(shù)關(guān)系來(lái)表示，也可以用坐標(biāo)紙?jiān)谀骋蛔矫鎯?nèi)由一條曲線表示，后者稱(chēng)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的圖形表示法，簡(jiǎn)稱(chēng)圖示法。圖示法的作圖規(guī)則如下：(1)選取坐標(biāo)紙作圖一定要用坐標(biāo)紙， 根據(jù)不同實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和函數(shù)形式來(lái)選取不同坐標(biāo)紙，在普物實(shí)驗(yàn)中最常用的是直角坐標(biāo)紙。再根據(jù)所測(cè)得數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和對(duì)測(cè)量結(jié)果的要求來(lái)定坐標(biāo)紙的大 小，原則上是以不損失實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和能包括所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)作為選擇依據(jù)，一般圖上的最小分格至少應(yīng)是有效數(shù)字的最后一位可靠數(shù)字。(2)定坐標(biāo)和坐標(biāo)標(biāo)度通過(guò)以橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。寫(xiě)出坐標(biāo)軸

42、所代表的物理量的名稱(chēng)和單位。為了使圖線在坐標(biāo)紙上的布局合理和充分利用坐標(biāo)紙，坐標(biāo)軸的起點(diǎn)不一定從變量的 “ 0”開(kāi)始。圖線若是直線，盡量使圖線比較對(duì)稱(chēng)地充滿整個(gè)圖紙，不要使圖線偏于一角或一邊。為此，應(yīng)適當(dāng)放大(或縮小)縱坐標(biāo)軸和橫坐標(biāo)軸的比例。在坐標(biāo)軸上按選定的比例標(biāo)出若干等距離的整齊的數(shù)值標(biāo)度，標(biāo)度的數(shù)值的位數(shù)應(yīng)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有效數(shù)字位數(shù)一致。選定比例時(shí)，應(yīng)使最小分格代表“ 1”、“2”或“ 5”,不要用“ 3”、“6” “7”、“9”表示一個(gè)單位。因 為這樣不僅使標(biāo)點(diǎn)和讀數(shù)不方便，而且也容易出錯(cuò)。(3)標(biāo)點(diǎn)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，找到每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在坐標(biāo)紙上的位置，用鉛筆以“X”標(biāo)出各點(diǎn)坐標(biāo)，要求與測(cè)量數(shù)據(jù)

43、對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)準(zhǔn)確地落在“X”的交點(diǎn)上。一張圖上要畫(huà)幾條曲線時(shí)，每條曲線可用不同標(biāo)記如“ +”、“?！薄ⅰ啊钡纫允緟^(qū)別。(4)連線用直尺、曲線板、鉛筆將測(cè)量點(diǎn)連成直線或光滑曲線，校正曲線要通過(guò)校正點(diǎn)連成折線。因?yàn)閷?shí)驗(yàn)值有一定誤差， 所以曲線不一定要通過(guò)所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，只要求線的兩旁實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布均勻且離曲線較近，并在曲線的轉(zhuǎn)折處多測(cè)幾個(gè)點(diǎn)，對(duì)個(gè)別偏離很大的點(diǎn)，要重新審核，進(jìn)行分析后決定取舍。(5)寫(xiě)出圖紙名稱(chēng)要求在圖紙的明顯位置標(biāo)明圖紙的名稱(chēng)，即圖名、作者姓名、日期、班級(jí)等。2.圖解法圖解法就是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所作好的圖線，用解析法找出相應(yīng)的函數(shù)形式，如線性函數(shù)， 二次函數(shù)、募函數(shù)等，并求出其函數(shù)的參數(shù)，得出

44、具體的方程式。特別是當(dāng)圖線是直線時(shí)， 采用此法更為方便。(1)直線圖解法取點(diǎn)在直線上任取兩點(diǎn) A (xr y。，B(X2, y2),其坐標(biāo)值最好是整數(shù)值。用“ 符號(hào)表 示所取的點(diǎn)，與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)相區(qū)別。一般不要取原實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。所取兩點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)應(yīng)盡量彼此分 開(kāi)一些，以減小誤差。求斜率k在坐標(biāo)紙的適當(dāng)空白的位置，由直線方程y = kx + b,寫(xiě)出斜率的計(jì)算公式：k = y2 y1(6-1)X2 -Xi將兩點(diǎn)坐標(biāo)值代入上式，寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果。求截距b如果橫坐標(biāo)的起點(diǎn)為零， 其截距b為x = 0時(shí)的y值，其直線的截距即由圖上直接讀出。 如果起點(diǎn)不為零，可由下式求出截距：X2%一"X2 -Xi(6-2

45、)例：已知電阻絲的阻值R與溫度t的關(guān)系為:R=R0(1 at) =R R°at其中R。、a是常數(shù)。現(xiàn)有一電阻絲，其阻值隨溫度變化如下表所示。請(qǐng)用作圖法作R-t直線,并求R。、Roa的值。t (C)15.020.025.030.035.040.045.050.0R ( )28.0528.5229.1029.5630.1030.5731.0031.62解：由上表可知tmax tmin =50.0 15.0 =35.0 (C)Rmax -Rmin =31.62 28.05 =3.57 ()即溫度t的變化范圍為35 C,而電阻值 R的變化范圍為3.570。根據(jù)坐標(biāo)紙大小的選 擇原則，既要反映

46、有效數(shù)字又能包括所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，選 40格X40格的圖紙。取自變量t為橫 坐標(biāo)，起點(diǎn)為10C,每一小格為1C;因變量R為縱坐標(biāo)，起點(diǎn)為 28Q ,每一小格為0.1 Q,描點(diǎn)連線圖，得 R-t直線如圖6-1,所示。圖6-1在直線上取兩點(diǎn)(19.0, 28.40), (43.0, 30.90)則:Rea30.90 -28.40- 43.0 -19.0= 0.104(Q /C)= 26.4 ( )43.0 28.40 -19.0 30.9043.0 -19.0R0 ：故有 R=26.4+0.10t ()(2)曲線的改直在實(shí)際工作中，許多物理量之間的函數(shù)關(guān)系形式是復(fù)雜的，并非都為線性，但是可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換

47、后成為線性關(guān)系，即把曲變成直線，這種方法叫曲線改直。例如：PV = C , C為常數(shù)由R =C工作R-1圖得直線，斜率即為 CoV VS=v0t+1 at2,V0,a為常數(shù)。2S 1s1兩邊除以t得：-=V0+1 at ,作3 -t圖為直線，其斜率為 一a ,截距為V0。t 2 t2y=axb,其中a, b為常數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，得lg y =lg a + b lg x ,以1g y為橫坐標(biāo)，1g y為縱坐標(biāo)作圖得一直線， 截距 為lg a,斜率為bo3 .作圖法的優(yōu)點(diǎn)直觀：這是作圖法的最大優(yōu)點(diǎn)之一，可根據(jù)曲線形狀，很直觀很清楚地表示在一定條件下，某一物理量與另一物理量之間的相互關(guān)系，找出物理規(guī)律。

48、簡(jiǎn)便：在測(cè)量精度要求不高時(shí)，由曲線形狀探索函數(shù)關(guān)系，作圖法比其他數(shù)據(jù)處理方法要簡(jiǎn)便?？梢园l(fā)現(xiàn)某些測(cè)量錯(cuò)誤：若在曲線上個(gè)別點(diǎn)偏離特別大，可提醒人們重新核對(duì)。在圖線上，可以直接讀出沒(méi)有進(jìn)行測(cè)量的對(duì)應(yīng)于某x的y值(內(nèi)插法)。在一定條件下，也可以從圖線的延伸分部讀出測(cè)量數(shù)據(jù)范圍以外的點(diǎn)(外推法)。但也應(yīng)看到作圖法有其局限性。特別是受圖紙大小的限制，不能?chē)?yán)格建立物理量之間函 數(shù)關(guān)系，同時(shí)受到人為主觀性進(jìn)行的描點(diǎn)、連線的影響，不可避免地會(huì)帶來(lái)誤差。6.3逐差法逐差法是對(duì)等間距測(cè)量的有序數(shù)據(jù)進(jìn)行逐項(xiàng)或相等間隔項(xiàng)相減得到結(jié)果的一種方法。它計(jì)算簡(jiǎn)便，并可充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)差錯(cuò)，總結(jié)規(guī)律，是物理實(shí)驗(yàn)中常用

49、的一種數(shù)據(jù)處理方法。1 .逐差法的使用條件(1)自變量x是等間距離變化的。m(2)被測(cè)的物理量之間的函數(shù)形式可以寫(xiě)成x的多項(xiàng)式，即y=£ amxmomz02 .逐差法的應(yīng)用以拉伸法測(cè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為例，說(shuō)明如下：設(shè)實(shí)驗(yàn)中等間隔地在彈簧下加祛碼(如每次加1克)，共加9次，分別記下對(duì)應(yīng)的彈簧下端點(diǎn)的位置L0, Li, L2,，L9,則可用逐差法進(jìn)行以下處理。(1)驗(yàn)證函數(shù)形式是線性關(guān)系把所測(cè)的數(shù)據(jù)逐項(xiàng)相減，即- Li Li - Lo- L2 - L2 - L1- L9 - L9 -'L8看ALo, AL1, AL2,，凡9是否基本相等。而當(dāng) ALi均基本相等時(shí)，就驗(yàn)證了外力與彈簧

50、的 伸長(zhǎng)量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的，即F =k L用此法可檢查測(cè)量結(jié)果是否正確，但注意的是必須要逐項(xiàng)逐差。(2)求物理量數(shù)值現(xiàn)計(jì)算每加1克祛碼時(shí)彈簧的平均伸長(zhǎng)量：L .Li ' ±2 - L3 - -19.L 二9_3 一1_。）（L2 Li） （L3L2）（L9 Lg）一9_ L9 -L099從上式可看出，中間的測(cè)量值全部低消了，只有始末二次測(cè)量值起作用，與一次加9克祛碼的測(cè)量完全等價(jià)。為了保證多次測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作一些組合，仍能達(dá)到多次測(cè)量來(lái)減小誤差的目的。因此一般使用逐差法的規(guī)則應(yīng)用如下方法：通?？蓪⒌乳g隔所測(cè)量的值分成前后兩組的，前一組為L(zhǎng)o、Li、L2

51、、L3、L4,后一組為L(zhǎng)5、L6、L7、Lg、L9,將前后兩組的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減為L(zhǎng)1 - L5 - L0工2 = Le - LiLL5 = L9 - L4再取平均值一, 1L =-(L5-Lo) (L6 -Li)(L9 -L4)5i ,4(L5 i -Li)5 i o由此可見(jiàn)，與上面一般求平均值方法不同，這時(shí)每個(gè)數(shù)據(jù)都用上了。但應(yīng)注意，這里的ALH是增加5克祛碼時(shí)彈簧的平均伸長(zhǎng)量。故對(duì)應(yīng)項(xiàng)逐差可以充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)，具有對(duì)數(shù)據(jù)取平均和減小的效果。6.4最小二乘法由一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)找出一條最佳的擬合直線（或曲線），常用的方法是最小二乘法。所得的變量之間的相關(guān)函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為回歸方程。所以最小二乘法線性擬合亦稱(chēng)

52、為最小二乘法線性回歸。本章只討論用最小二乘法進(jìn)行一元線性回歸問(wèn)題，有關(guān)多元線性回歸和非線性回歸， 請(qǐng)參考其他書(shū)籍。1. 一元線性回歸最小二乘法所依據(jù)的原理是：在最佳擬合直線上，各相應(yīng)點(diǎn)的值與測(cè)量值之差的平方和 應(yīng)比在其他的擬合直線上的都要小。假設(shè)所研究的變量只有兩個(gè)：x和y,且它們之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，是一元線性方程y=Ao+Ax（6-3）實(shí)驗(yàn)測(cè)量的一組數(shù)據(jù)是X： Xi,X2,X3, ,Xmy：yi,丫2，, ,ym需要解決的問(wèn)題是：根據(jù)所測(cè)得的數(shù)據(jù)，如何確定（6-3）式中的常數(shù) Ao和Ai。實(shí)際2i上，相當(dāng)于作圖法求直線的斜率和截距。由于實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不可能都同時(shí)落在（ 6-3）式表示的直線上，為使討論簡(jiǎn)單起見(jiàn)，限定： 所有測(cè)量值都是等精度的。只要實(shí)驗(yàn)中不改變實(shí)驗(yàn)條件和方法，這個(gè)條件就可以滿 足。 只有一個(gè)變量有明顯的隨機(jī)誤差。因?yàn)閄i和都含有誤差，把誤差較小的一個(gè)作為變量x,就可滿足該條件。