第3章復(fù)變函數(shù)的積分

1、1同微積分一樣，在復(fù)變函數(shù)中，積分法也是研究復(fù)變函數(shù)性質(zhì)十分重要的方法在解決實(shí)際問題中也是有力的工具 本章先介紹復(fù)變函數(shù)積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算方法然后介紹關(guān)于解析函數(shù)積分的柯西古薩基本定理及其推廣，有了這些基礎(chǔ)，我們建立柯西積分公式，最后證明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，從而導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式.第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分21.有向曲線有向曲線: 設(shè)設(shè)C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲線曲線, , 如果選定如果選定C的兩個可能方向中的一個作的兩個可能方向中的一個作為正方向?yàn)檎较? (或正向或正向), ), 那么我們就把那么我們就把C理解

2、為帶理解為帶有方向的曲線有方向的曲線, , 稱為稱為有向曲線有向曲線. .xyoAB如果如果A到到B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負(fù)向的負(fù)向, . C記為記為3.1 復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)3.1.1積分的定義積分的定義3簡單閉曲線正向的定義簡單閉曲線正向的定義:簡單閉曲線C 的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P 順此方向前進(jìn)時, 鄰近P 點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P 點(diǎn)的左方. xyoPPPP與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明: 在今后的討論中,常把兩個端點(diǎn)中的一個作為起點(diǎn), 另一個作為終點(diǎn), 除特殊聲明外, 正方向總是指從起點(diǎn)到

3、終點(diǎn)的方向.42. 定義定義3.1( ),( ) , ( ) , azbzf zCCab以為起點(diǎn)為終點(diǎn)沿 有定義 順著從 到 的方向取設(shè)分點(diǎn)oxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1 (1,2, ),kkkzzkn在每個弧段上任意取一點(diǎn)設(shè)有向曲線C( ),()zz tt 011,kknazzzzzb把曲線C分成若干弧段,作和式1 (),nnkkkSfz5oxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1 , , ,( )(),( )(),( ):kkknCzzzSJf zCabJf zCabf z dz其中當(dāng)分點(diǎn)無限增多 而這些弧段長度的最大值趨于零時 如果和數(shù) 的極限存在且等

4、于則稱沿從 到可積 而稱 為沿從 到的積分 并記號表示( )d .CJf zz.C稱為積分路徑( )d,Cf zzC表示沿 正方向積分( )dCf zzC表示沿 負(fù)方向積分.6關(guān)于定義的說明關(guān)于定義的說明:(1) , ( ),.baJJf z dzJa bC如果 存在 一般不能把 寫成因?yàn)榈闹挡粌H和有關(guān) 而且和積分路徑 有關(guān)(2) ( ),( ).f zCf zC沿 可積的必要條件是沿 有界1(3)( )dlim().nkkCnkCf zzfz曲線 等分時，有（4）如果 為閉曲線，那末沿此閉曲線的 積分記作 .CCdzzf)(C CCdzzf)(C C C73. 定理定理3.1( )( , )

5、( , ),( ) ,f zu x yiv x yCf zC若函數(shù)沿曲線 連續(xù)則沿可積 且證明：證明： ),()()( ttyitxtzzC由參數(shù)方程給出由參數(shù)方程給出設(shè)光滑曲線設(shè)光滑曲線正方向?yàn)閰?shù)增加的方向正方向?yàn)閰?shù)增加的方向, , BA及終點(diǎn)及終點(diǎn)對應(yīng)于起點(diǎn)對應(yīng)于起點(diǎn)及及參數(shù)參數(shù) ( )dCCCf zzudxvdyivdxudy注：今后我們所提曲線，若無特殊聲明，總假定是光滑或按段光滑的。8, 0)( ttz并且并且 , ),(),()( 內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù)在在如果如果Dyxviyxuzf , ),( ),( 內(nèi)均為連續(xù)函數(shù)內(nèi)均為連續(xù)函數(shù)在在和和那么那么Dyxvyxu , kkki

6、設(shè)設(shè) )( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因?yàn)橐驗(yàn)?)()(11 kkkkyyixx, kkyix 91()nnkkkSfz nkkkkkkkyixviu1)(,(),( 1 (,)(,)nkkkkkkkuxvy , , 都是連續(xù)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)由于由于vu根據(jù)線積分的存在定理根據(jù)線積分的存在定理,所以1 (,)(,)nkkkkkkkivxuy 10當(dāng)當(dāng) n 無限增大而弧段長度的最大值趨于零時無限增大而弧段長度的最大值趨于零時, , , ),( , 下式兩端極限存在下式兩端極限存在的取法如何的取法如何點(diǎn)點(diǎn)的分法任何的分法任何不論對不論對kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkk

7、yuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 11 : ddd )(相乘后求積分得到相乘后求積分得到與與yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式即復(fù)函數(shù)積分可表為兩個實(shí)積分即復(fù)函數(shù)積分可表為兩個實(shí)積分.123.1.2. 復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算問題復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算問題( ),f zC沿 連續(xù) 則設(shè)有向曲線C：( )( )( ),()zz tx tiy t

8、t ( ) ( ) ( )d(3.2)Cf z dzf z t z tt( )Re ( ) ( )dIm ( ) ( )d(3.3)Cf z dzf z t z ttif z t z tt復(fù)積分的變量代換公式或13證明證明( )dCf zzddddCCu xv yiv xu y ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )du x ty t x tv x ty ty tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )div x ty t x tu x ty ty tt tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf注：注： 用公式(3.

9、2)或(3.3)計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分,是從積分路徑的參數(shù)方程著手,稱為參數(shù)方程法.14例例1 解解. , , ,d)(1 010為整數(shù)為整數(shù)徑的正向圓周徑的正向圓周為半為半為中心為中心為以為以求求nrzCzzzCn zxyor0z 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri15zxyor0z , 0 時時當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 時時當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0,

10、 0, 0,2nni重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān)重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān). .,d20 inneri Cnzzzd)(110163.1.3 復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為常數(shù)為常數(shù)kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf12 (4) , , nCC CC如果是由等光滑曲線依次相互連接所組成的按段光滑曲線 則12( )( )d( )d( )d .nCCCCf z dzf zzf

11、 zzf zz17 , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML設(shè)曲線 的長度為函數(shù)在上連續(xù)且滿足那末估值不等式估值不等式22(5)( )d( )|d( ) d ,()()CCCf zzf zzf zsdzdxdyds弧長微分(6)積分估值積分估值定理定理3.218證明證明 , 1兩點(diǎn)之間的距離兩點(diǎn)之間的距離與與是是因?yàn)橐驗(yàn)?kkkzzz , 度度為這兩點(diǎn)之間弧段的長為這兩點(diǎn)之間弧段的長ks knkkzf 1)( 所以所以 nkkkzf1)( nkkksf1)( 兩端取極限得兩端取極限得.d)(d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因?yàn)橐驗(yàn)?n

12、kksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所以所以證畢證畢19例例2 計(jì)算 ，其中 為從原點(diǎn)到點(diǎn) 的直線段。CzdzCi 43解：解：直線的方程可寫成10 ,4,3ttytx或10 ,43ttitz于是2102102)43(21)43()43(itdtitdtizdzC由于CCCCxdyydxiydyxdxidydxiyxzdz)(容易驗(yàn)證，右邊兩個線積分都與路線 無關(guān)，所以 的值無論 是怎樣的曲線都等于CCzdzC2)43(21i20例例3 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折線再到軸到點(diǎn)從原點(diǎn)沿的弧段上從原點(diǎn)到點(diǎn)拋物線的直線段從原點(diǎn)到點(diǎn)

13、為其中計(jì)算ixixyiCzzC(1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x21(2) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 22xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為),10()(

14、tttz1到到1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 積分路徑不同積分路徑不同,積分結(jié)果也可能不同積分結(jié)果也可能不同.23例例4 解解, 12zdzzz計(jì)算積分其中 為圓環(huán)及實(shí)軸積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為:21,I ztt zdzz12dtxyo2C1C1212III2:2(0),iCze1:(0),iCze:12,II ztt Izdzz1Czdzz2CzdzzIIzdzz0diiieiee21dt022d2iiieiee.所圍區(qū)域

15、位于上半平面部分的邊界24112dt0diiieiee21dt022d2iiieiee30diie1302diie230diie20cos3id 0sin3id 2234.3253.1.4 小結(jié)與思考 這一小節(jié)我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條這一小節(jié)我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì)件以及計(jì)算和性質(zhì). 應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì)跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì). 本課本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.作業(yè)作業(yè) ：lP99：第三章習(xí)題 1，2263.2 柯西柯西-古薩基本定理古薩基本定理早在早在1825年柯西給出

16、了如下定理，它是復(fù)變函數(shù)論中的一年柯西給出了如下定理，它是復(fù)變函數(shù)論中的一條基本定理，現(xiàn)稱為條基本定理，現(xiàn)稱為柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理27n定理定理3.2.1 如果函數(shù) 在單連通域 內(nèi)處處解析，那末函數(shù) 沿 內(nèi)的任何一條封閉曲線 的積分值為零。即n推論推論3.2.1 設(shè)函數(shù) 在復(fù)平面上的單連通域 內(nèi)解析，則 在 內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的積分與路徑無關(guān)。 0dzzfc)(zfBB)(zfC)(zfB)(zfB28證明：證明：設(shè) 與 是D內(nèi)連接 與 的兩條曲線，則正方向曲線 與負(fù)方向曲線 就連接成D內(nèi)的一條閉曲線C， 從而由柯西積分定理及的性質(zhì)（4）有:1C2C0z1z1C2C120( )( )(

17、 )CCCf z dzf z dzf z dz因此12( )( )CCf z dzf z dz293.3 基本定理的推廣基本定理的推廣定理定理3.3.1 設(shè) 是簡單閉曲線， 為 的內(nèi)部，函數(shù) 在閉域 上解析，則CDC)(zfCDD 0dzzfc定理定理3.3.2 設(shè) 是簡單閉曲線， 為 的內(nèi)部，函數(shù)在 內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則CDCDCDD 0dzzfc定理定理3.3.3 （閉路變形原理）（閉路變形原理）在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.30n定理定理3.3.4 （復(fù)合閉路定理）（復(fù)合閉路定理）n設(shè) 為多連通域 內(nèi)的一條簡單閉曲線， 是在 內(nèi)部的簡單閉

18、曲線，它們互不包含也互不相交，并且以 為邊界的區(qū)域全含于 ，則有如下結(jié)論：n如果 在 內(nèi)解析，那么 1）n其中 及 均取正方向;n 2）nCCC,21nCCCC,21DCCD CnkCkdzzfdzzf1)()( 0)(dzzfkC)(zfCD31n這里 為由 及 所組成的復(fù)合閉路（其方向是： 按逆時針進(jìn)行，n 按順時針進(jìn)行）.n例如例如：根據(jù)閉路變形原理，例2中包含 的任何一條正向簡單閉曲線 都有：C), 2 , 1(nkCkCkCizzdz200z32例例3.3.1 計(jì)算 的值， 為包含圓周 在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線.dzzzz2121|z解：函數(shù) 有兩個奇點(diǎn) 和 ，在 內(nèi)作兩個互不包含也

19、互不相交的正向圓周 與 ， 只包含奇點(diǎn) ， 只包含 ，那末根據(jù)復(fù)合閉路定理，有dzzzz2120z1z1C2C1C0z2C1zdzzzzdzzzzdzzzzCC21222121212idzzdzzdzzdzzCCCC4111111221133 3. 4 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分n推論推論3.2.1 如果函數(shù) 在單連通域 內(nèi)處處解析，那么積分 與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路線 無關(guān).n由推論3.2.1，積分 在 內(nèi)確定了一個單值函數(shù) ，即n定理定理3.4.1 如果 在單連通域 內(nèi)處處解析，那么函數(shù) 必為 內(nèi)的一個解析函數(shù)，并且)(zfBCdzzf)(Cdfzz0)(B)(zF)(zFdfzz0)(

20、)(zfB)(zFB)()(zfzF34證明：證明： 作一個以Z為心，以充分小的 為半徑的圓 ，使得 在 內(nèi)取動點(diǎn) ，則zD CCDC(0)zzz 00()( )1( )( )zzzzzF zzF zfdfdzz 由于積分與路徑無關(guān)，因而我們可取 的積分路徑為由 沿與 相同的路徑到Z ,再從Z沿直線段到 ,從而有0( )zzzfd0z0( )zzfdzz()( )1( )zzzF zzF zfdzz于是0()( )1( )( )( )zzzF zzF zf zfdf zzz000111( )( ) ( )( )zzzzzzzzzfdf z dfdf z dzzz 圖3.3 圖3.335但已知

21、在D內(nèi)連續(xù)，所以對 ，可取上述的 充分小，使得在 內(nèi)的一切點(diǎn) 均有 ， 從而由定理3.2有( )f z0 C( )( )ff z0()( )1( ) ( )( )zzzzF zzF zf zff z dzzz即0()( )( )lim( )zF zzF zF zf zz 36n定義定義 如果函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于 ，即 ，那么稱 為 在區(qū)域 內(nèi)的原函數(shù).n 的任意兩個原函數(shù)相差一個常數(shù).n定義定義 的原函數(shù)的一般表達(dá)式 （其中 為任意常數(shù).）為 的不定積分，記作n定理定理3.4.2 如果 在單連通域 內(nèi)處處解析， 為 的一個原函數(shù)，那么 這里 為域 內(nèi)的兩點(diǎn).)(zB)(zf)()(zfz

22、 )(z)(zfB)(zf)(zfczF)(c)(zfczFdzzf)()()(zfB)(zG)(zf10)()()(01zzzGzGdzzf10,zzB37n從定理3.4.2可以看出，用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算積分，首先，要看積分上、下限的兩點(diǎn)是否可以包含在一個單連通域內(nèi)，且被積函數(shù)是否在該單連通域內(nèi)解析；其次，要易于求出被積函數(shù)的原函數(shù)。n例例3.4.1 求積分n解：idzzz02cosiiizzddzzz020202|sin21sin21cos)sin(21)sin(212238n例例3.4.2 求積分 的值.izdzz0cos解：函數(shù) 在全平面內(nèi)解析，容易求得它有一個原函數(shù) ，所以zzco

23、szzzcossin1cossincossincos00iiizzzzdzzii1122111eeeieei39例例3.3.4 計(jì)算積分izdzez0) 1(解：因?yàn)?在復(fù)平面上處處解析，zez ) 1(所以iizizzdzeezdzez000|)1 () 1(iizieez0|) 11 (1cos1sini40n練習(xí)練習(xí)：計(jì)算積分n（1） ；n（2） ；n（3） ；（4）計(jì)算積分 的值，C是0到n 的擺線： .idziz12)2(idzzz1) 1() 1ln(iizdze32Cdzzz) 182(2a2)cos1 (),sin(ayax41n解解：n（1） ；n（2） ；n（3）0；n（4

24、）注意到積分與路徑無關(guān).3311i2ln8)ln34(8122iaaa216316223342n3.5 柯西積分公式柯西積分公式n定理定理3.5.1 （柯西積分公式）（柯西積分公式）如果函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)處處解析， C為內(nèi)D的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D , 為C內(nèi)的任一點(diǎn),那末 (3.5.1)n公式(3.5.1)稱為柯西積分公式.通過這個公式就可以把一個函數(shù)在C內(nèi)部任何一點(diǎn)的值,用它在邊界上的值來表示.)(zf0zdzzzzfizfC00)(21)(43證明：證明：對于任意固定一點(diǎn) ，則函數(shù) 作為 的函數(shù)在D內(nèi)除點(diǎn)z外解析現(xiàn)以點(diǎn)z為心，充分小的 為半徑作圓周 ，使 對于復(fù)圍線 及

25、函數(shù) ，應(yīng)用復(fù)合閉路定理有zD( )( )fFz0CL ( )F( )( )CLffddzz12LdizLLD而( )( )2( )2( )CLffdif zdif zzz因此44( )( )( )( )LLLff zff zdddzzz又根據(jù) 的連續(xù)性知對 ，只要 時，就有( )f0,0z( )( )2ff z()L再由復(fù)變函數(shù)積分估值不等式可得( )( )( )2( )CLfff zdif zdzz22故有1( )( )2Cff zdiz45例例3.5.1 求下列積分：1） ；2）dzzziz4|sin21dzzzz)3211(4|解：1） ；0|sinsin2104|zzzdzzzi2）

26、dzzdzzdzzzzzz4|4|4|3211)3211(iii64246n3.6 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)n一個解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù).這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)完全不同,因?yàn)橐粋€實(shí)變函數(shù)的可導(dǎo)性不保證導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,因而不能保證高階導(dǎo)數(shù)的存在,關(guān)于解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)我們有下面的定理n定理定理3.6.1 解析函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為: 其中 C 為在函數(shù) 的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞 的任何一條正向簡單閉曲線,而且它的內(nèi)部完全含于D.)(zfCnnndzzzzfinzf), 2 , 1( )()(2!)(100)()(zf0z47高階導(dǎo)數(shù)公式的作用，不在于通過積分來求

27、導(dǎo)，而在于通過求導(dǎo)來求積分.例例3.6.1 求下列積分的值，其中C為正向圓周1| rz1） ；2）dzzzC5) 1( cosdzzeCz22) 1(解：1）函數(shù) 在C內(nèi)的 處不解析，但 在C內(nèi)處處解析.故有5) 1( coszz1zzcos12|)(cos)!15(2) 1( cos51)4(5izidzzzzC482）在C內(nèi)以 為中心作正向圓周 ，以 為中心作正向圓周 ，則根據(jù)復(fù)合閉路定理有i1Ci2C21222222) 1() 1() 1(CzCzCzdzzedzzedzzedzizizedzizizeCzCz212222)()()()()41sin(22)1 (2)1 (ieieiii49n練習(xí)：計(jì)算積分 ，C為以下曲線：n1） ；2） ；3） .dzzzzC3)2(cos41|z41|2|z2|z50解： 有兩個奇點(diǎn) ， ，32)(cos)(zzzzf01z22z1） 在 內(nèi)有一個奇點(diǎn) ，故)(zf1C01z20323216)(cos2)(cos1izzizdzzzIzC2） 在 內(nèi)有一個奇點(diǎn) ，故)(zf2C22zizzizdzzzIzC8)cos(! 212