現(xiàn)代分析3-3賦范空間(1)

1、范數(shù)與賦范線性空間范數(shù)與賦范線性空間3范數(shù)-向量空間中向量長度概念的拓展“長度”概念的特征是：零向量零向量的長度是零，并且任意向量的長度是非負實數(shù)。 一個向量 v 乘以一個標量 a 時，長度應變?yōu)樵蛄?v 的 |a|（ a 的絕對值）倍。 三角不等式成立。也就是說，對于兩個向量 v 和 u ，它們的長度和（“三角形”的兩邊）大于 v+u （第三邊）的長度。定義1:設(shè)X是實(或復)的線性空間,如果對每個向量Xx有一個確定的實數(shù),記為 x與之對應,并且滿足: (1). 00, 0 xxx等價于且(2). xx其中 為任意實(復)數(shù);(3). ,Xyxyxyx則稱 x為向量x的范數(shù), 稱 x按范數(shù)

2、 x成為賦范線性空間.設(shè) nx 是x中的點列,如果存在 Xx使 ),(0nxxn則稱 nx依范數(shù)收斂于x記為 或),(nxxnxxnnlim如果令 yxyxd),(),(Xyx容易驗證 ),(yxd是x上的距離,且nx依范數(shù)收斂于 x等價于 nx按距離 ),(yxd收斂于 x稱為由范數(shù) x導出的距離.完備的賦范線性空間稱為Banach(巴拿赫)空間.例1:歐氏空間 nR,對每個 xnR.),(321定義 221.nx （3） 如果令 ),(yxdyx 2211.nn= ynR.),(321,則 ),(yxd即為 nR中歐幾里得距離,且滿足(1)中條件(a)及(b),由此可知 x是 nR中范數(shù),

3、又因 nR完備,故 nR按(3)中范數(shù)成Banach空間.例2:空間 ,baC對每個 x,baC, 定義)(maxtxxbta（4） 容易證明 ,baC按(4)中范數(shù)成為Banach空間.例3:空間 pl對每個 plx.),(321,定義 jxjsup（5） 不難驗證 l 按(5)中范數(shù)成為Banach空間.例4:空間 ,baLp設(shè) )(tf是 ,ba上實值可測函數(shù), 0p,如果 pxf)(是 ,ba上可積函數(shù), 則稱 )(tf是 ,ba上 p方可積函數(shù), ,ba上 p方可積函數(shù)全體記為 ,baLp當 1p時, ,1baL即為 ,ba上 L可積函數(shù)全體. 在空間 ,baLp中,我們把兩個 ea

4、.相等的函數(shù)視為 ,baLp中同一個元素 而不加以區(qū)別,設(shè) ,baLgfp,因為 pptgtftgtf)(, )(max2()()()()(2ppptgtf所以， ptgtf)()(是 L上可積函數(shù),即 ,baLgfp,至于 ,baLp關(guān)于數(shù)乘運算封閉是顯見的.于是 ,baLp按函數(shù)通常的加法及 數(shù)乘運算 成為線性空間.對每個 , baLfp,定義ppbapdttff1)( （6）我們要證明當 1p時, ,baLp按 pf成為Banach空間.為此,首先 證明幾個重要的不等式. 引理1:(Holder不等式)設(shè) 1p111qp,baLfp,baLgp那么 )()(tgtf在 ,ba上 L可積,

5、并且成立 qpbagfdttgtf)()(（7） 證明:首先證明當 1p111qp時,對任何正數(shù)A及B,有 qBpABAqp11（8） 事實上,做輔助函數(shù) )0()(tttt10,則 1)(1tt,所以在(0,1)上, 0)( t,在 ), 1 ( 上 0)( t因而 ) 1 (是函數(shù) )(t 在 ), 0( 上的最大值,即1) 1 ()(t), 0( t由此可得)1 (tt), 0( t令 BAt ,代入上面不等式,那么)1 (BABA兩邊乘B,得到BABA)1 (1令 p1,則 q11于是上式成為 qBpABAqp11如果 0pf(或 0qg),則 eatf.0)(于 ,ba(或 eatg

6、.0)(于 ,ba), 這時,不等式(7)自然成立,所以不妨設(shè) 0pf0pg做函數(shù) qpgtgtftft)()(,)()(令 qptBtA)(,)(代入不等式(8),得到qtptttqp)()()()(（9） 由(9)立即可知 )()(tt在 a,b上L 可積,由此可知f(t)g(t)也L 可積,對(9)的 兩邊積分,得到 baqbapbadtqtdtptdttt1)()()()(因此 qpbagfdttgtf)()(證畢.引理2:(Minkowski不等式)設(shè) , 1baLgfpp那么 ,baLgfp,并且成立不等式 pppgfgf（10）證明:當 1p時,因 )()()()(tgtftgt

7、f,由積分性質(zhì)可知不 等式(10) 自然成立.如果 1p,因為 ,baLgfp,所以 ,)()(baLtgtfqqp由Holder不等式有 qbappqpbadttgtffdttgtftf1)()()()()(類似對g也有qbappqpbadttgtfgdttgtftg1)()()()()(因而qbapppqpbaqpbapbabapdttgtfgfdttgtftgdttgtftfdttgtftgtfdttgtf11)()()()()()()()()()()()()()( （11）若 bapdttgtf0)()(,則 0pgf(10)式顯然成立,若 bapdttgtf0)()(,則在(11)式

8、兩邊除以baqpdttgtf1)()(得到 ppbaqpgfdttgtf11)()(由 111qp，得到ppbapppgfdttgtfgf1)()(證畢. 定理1:當 1p時, ,baLp按(6)中范數(shù) pf成為賦范線性空間.證明: pf滿足范數(shù)條件(1)及(2)是顯然的.又由 Minkowski不等式,當 1p時,對任何 gf ,baLp有 pppgfgf,所以 ,baLp按 pfpf成賦范線性空間. 證畢. 定理2: ,baLp1p是Banach空間.證明: 設(shè) nf是 ,baLp中柯西點列,由柯西點列的定義,存 在正整數(shù) km,使當 kmmn,時,成立 ,.2 , 1,21kffkpmn

9、取 kkmn ,且使 .21knnn,則 ,.2 , 1,211kffkpmnkk因此nk 1kkpmnkkff2111（12） 但是因為常數(shù) ,1baLq,由Holder不等式,成立 qpnnbannabffdtffkkkk1)(_11所以級數(shù)nk 1dtffbannkk1 (13)收斂,由級數(shù)形式的Levi定理,級數(shù) )()(1tftfkknnnk 1在a,b上幾乎處處收斂. 因此,函數(shù)列 ,.)3 , 2 , 1)()()()(1111ktftftftfkjnnnnjjk在a,b上幾乎處 處收 斂于一可測函數(shù)f(t).下面證明 ,baLfp因為 nf是 ,baLp中柯西點列, 對于任何正

10、數(shù)0,存在N,使當 Nmn,時, pmnff,取足夠大的 0k,使 Nnk0,于是當 時,就有 Nnkk.0ppnnpbannkkffdttftf_)()(又因當 k時函數(shù)列 pnntftfk)()(.)()(eatftfpn于a,b,由Fatou定理 得到 pntftf)()(是L可積函數(shù),并且有, lim)()(kpbandttftfppbanndttftfk)()(這說明 nff,baLp,且當 Nn 時, . pnff（14）又因 nf,baLp,而 nnffff,由于 ,baLp是線性空間,所以 f,baLp,由(14), ffn,這就證明了 ,baLp是Banach空間.證畢.例5

11、:空間 pl空間中也有類似的Holder不等式 ,baLp空間一樣,在 和Minkowski不等式:nkkk1qnkqkpnkpk1111)()(,( Holder不等式)其中 1p111qppl.),(321.,321,( ) qlpppyxyx,(Minkowski不等式) 其中 1p.),(21xply.),(21pnkpkppnkpkpyx1111)(,)(由此 可知 pl按范數(shù) px成賦范線性空間,并且不難證明 pl完備. 定理3:設(shè)X是n維賦范線性空間, neee,.,21是X的一組 基,則存在常數(shù) M和 M使得對一切 nkkkex1成立 .XMxMnkk2121)(證明:對任意

12、Xx,有 knkknkkkeeX1121122112)()(nkknkke記 2112)(nkkem,則有 x2112)(nkkm任取 Xeyknkk1,由上述不等式知 2121)(nkkkmyxyx這說明,范數(shù) x是歐氏空間 nR上關(guān)于 n,.,21的連續(xù)函數(shù).xfn),.,(21當 ),.,(21n位于 nR的單位球面S上,即. 0,1121xenkkknkk時實際上,若 . 01nkkke,必有 nkkke1. 0,但 121nkk,從而 n,.,21不全為0, 再由 ke是線性無關(guān)的,得到矛盾.這就是說 xfn),.,(21在S上處處不為0, 因S是 nR中有界閉集,f在S 上取得非零的最小值 0, mm,于是,對任意的 Xx,于是 xxnkk2112)(2112)(nkkSn),.,(21),且 mx這樣一來, 我們有 m2112)(nkkxnkk2112)(mx 2112)(nkk令 2112)(nkkmM1mM1,即可得結(jié)論.證畢.推論1:設(shè)在有限維線性空間上定義了兩個范數(shù) x和 1x那么必存在常數(shù)M和 M,使得 xMxxM1證明:我們記 21120)(nkkx,其中 nkkkex1由定理3可知,存在常數(shù)k和 K