線段和差的最值問題25125

1、中考專題復(fù)習(xí) 求線段和差的最值2.幾何最值問題的基本原理。兩點(diǎn)之間線段最短垂線段最短三角形兩邊之差小于第三邊利用函數(shù)關(guān)系求最值1.常見的幾何最值問題有：線段最值問 題，線段和差最值問題，周長(zhǎng)最值問題、 面積最值問題等；一、兩條線段一、兩條線段和和的的最小最小值值已知：直線m外兩點(diǎn)A,B，在直線m上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小；（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)： （1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：例例1 1：在：在ABCABC中，中，AC=BC=2AC=BC=2，ACB=90ACB=90O O，D D是是BCBC邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，E E是是ABAB上的一動(dòng)點(diǎn)，則上的一動(dòng)點(diǎn)，則EC+EDEC+ED的最小值的最小

2、值為為 。ACBDp.E E2、拋物線在坐標(biāo)系中的位置如圖：對(duì)、拋物線在坐標(biāo)系中的位置如圖：對(duì)在其稱軸上找一點(diǎn)在其稱軸上找一點(diǎn)P，使得，使得PBC的周的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo) .要求要求PBC的周長(zhǎng)最??？的周長(zhǎng)最??？第一步第一步 尋找、構(gòu)造幾何模型尋找、構(gòu)造幾何模型只要只要PB+PC最小就好了！最小就好了！經(jīng)典模型：牛喝水！把把PB+PC轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為PA+PC ！當(dāng)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到H時(shí)，時(shí)，PA+PC最小最小133222AC第二步第二步 計(jì)算計(jì)算勾股定理勾股定理練習(xí)：已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐練習(xí)：已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為標(biāo)為C(3C(3，-2)-2)，且在，且在x

3、 x軸上截得的線軸上截得的線段段ABAB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為4 4，在，在y y軸上有一點(diǎn)軸上有一點(diǎn)P P，使，使APCAPC的周長(zhǎng)最小，求的周長(zhǎng)最小，求P P點(diǎn)坐標(biāo)。點(diǎn)坐標(biāo)。ACBA/OP3.3.如圖，如圖，AOB=45AOB=45，角內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，角內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P P ，PO=10PO=10，在，在AOAO，BOBO上有兩動(dòng)點(diǎn)上有兩動(dòng)點(diǎn)Q Q，R R，求，求PQRPQR周長(zhǎng)的最小值。周長(zhǎng)的最小值。ABOPDERQ例例4:4:在矩形在矩形ABCDABCD中，中，F(xiàn) F是是BCBC的三等分點(diǎn)，的三等分點(diǎn)，E E是是ABAB的二等分點(diǎn)，在的二等分點(diǎn)，在x x軸、軸、y y軸上是否分別存在軸上是否分別存在點(diǎn)點(diǎn)

4、M M、N N, ,使得四邊形使得四邊形MNFEMNFE的周長(zhǎng)最??？如果的周長(zhǎng)最??？如果存在存在, ,求出周長(zhǎng)的最小值求出周長(zhǎng)的最小值; ;如果不存在如果不存在, ,請(qǐng)說請(qǐng)說明理由明理由. .要求四邊形要求四邊形MNFE的周長(zhǎng)最??？的周長(zhǎng)最??？把三條線段轉(zhuǎn)移把三條線段轉(zhuǎn)移到同一條直線上到同一條直線上就好了！就好了！EFE/F/MN第二步第二步 計(jì)算計(jì)算勾股定理勾股定理54322FE52122EF練習(xí)：如圖練習(xí)：如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD是正方形是正方形, ,ABEABE是是等邊三角形等邊三角形,M,M為對(duì)角線為對(duì)角線BDBD（不含（不含B B點(diǎn)）上任點(diǎn)）上任意一點(diǎn)意一點(diǎn), ,將將B

5、MBM繞點(diǎn)繞點(diǎn)B B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6060得到得到BN,BN,連接連接ENEN、AMAM、CM.CM. 求證：求證：AMBAMBENBENB； 當(dāng)當(dāng)M M點(diǎn)在何處時(shí)，點(diǎn)在何處時(shí)，AMAMCMCM的值最??；的值最??；當(dāng)當(dāng)M M點(diǎn)在何處時(shí)，點(diǎn)在何處時(shí)，AMAMBMBMCMCM的值最小，的值最小，并說明理由；并說明理由； EA DB CNM二、求兩線段二、求兩線段差差的的最大值最大值問題問題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)1、已知直線m外兩點(diǎn)A,B,在直線在直線m上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使，使PA與與PB的差最大的差最大（1）點(diǎn)）點(diǎn)A、B在直線在直線m同側(cè)：同側(cè)：（2）點(diǎn)）點(diǎn)A、B在直線在直線m異

6、側(cè)：異側(cè)：過B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B,連接AB交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB，PA-PB最大值為ABcbxaxy2)3, 0(),0 , 3(, 1CBxxyOABC應(yīng)用：應(yīng)用：1、拋物線線交交x x軸于軸于A A，B B兩點(diǎn)，交兩點(diǎn)，交 y y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)C,C, 已知拋物線的對(duì)稱軸為已知拋物線的對(duì)稱軸為是是（1 1）求拋物線的解析式；）求拋物線的解析式；（2 2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,P,使點(diǎn)使點(diǎn)P P到到B，C兩點(diǎn)的距離之差最大？若存在，求出它兩點(diǎn)的距離之差最大？若存在，求出它們之差的最大值，并求出點(diǎn)們之差的最大值，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在的

7、坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由。請(qǐng)說明理由。 23 xyOxyADCB2 2、如如圖所示，直線圖所示，直線與與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)點(diǎn)A A為為 y y 軸正半軸上的一點(diǎn)，軸正半軸上的一點(diǎn)，AA經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)B B和點(diǎn)和點(diǎn)O,O,直線直線BCBC交交 A與點(diǎn)與點(diǎn)D。（2 2）過）過O O，C C，D D三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)P,P,使線段使線段POPO與與PDPD之差最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和之差最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和點(diǎn)點(diǎn)P P的坐標(biāo)。若不存在，請(qǐng)說明理由。的坐標(biāo)。若不存在，請(qǐng)說明理由。 （1

8、1）求點(diǎn)）求點(diǎn)D D的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；當(dāng)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到E時(shí)，時(shí)，PAPB最小最小當(dāng)當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，時(shí)，QDQC最大最大第一步，尋找、構(gòu)造幾何模型第一步，尋找、構(gòu)造幾何模型第二步，計(jì)算第二步，計(jì)算如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A A為為OO外一點(diǎn)外一點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)B B在圓上當(dāng)點(diǎn)在圓上當(dāng)點(diǎn)B B位于何處位于何處ABAB可以取最大值或最小值？可以取最大值或最小值？ 考題模型考題模型點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最大點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最大/小值問題小值問題 當(dāng)當(dāng)O，B，A三點(diǎn)共線，且點(diǎn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)B位于位于OA之間時(shí)，之間時(shí)，AB最??；最小； 最大典型例題1.（2016安徽）如圖，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PAB=PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）A、B .2 C、D、B如圖，在邊長(zhǎng)為如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形的菱形ABCD中，中，A60M是是AD 邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，N是是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿沿MN所在直線翻折得所在直線翻折得AMN，連接，連接AC，則，則AC長(zhǎng)度的長(zhǎng)度的最小值是多少？最小值是多少？解：如圖所示，根據(jù)翻折的性質(zhì)得MAMA，則點(diǎn)A在以M為圓心MA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)