高等數(shù)學(xué)：2-3 函數(shù)的連續(xù)性 (1-32)

1、2.3 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性10 函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)連續(xù)的概念X0 xy0Ay=f(x)(1)f(x)在在 x0 處無(wú)定義處無(wú)定義Ay=f(x)xy0(2)X0f(x)在在 x0 處有定義處有定義X0y=f(x)xy0(3)f(x)在在 x0 處出現(xiàn)跳躍處出現(xiàn)跳躍(4)xy0X0y=f(x)f (x)在在 x0 附近無(wú)界附近無(wú)界(5)xy0X0y=f (x)f (x0)f (x)在在 x0 處連續(xù)處連續(xù)圖圖 (1)-(4) 在在 x0 處曲線出現(xiàn)間斷處曲線出現(xiàn)間斷;圖圖 (5)曲線在曲線在 x0 處連續(xù)處連續(xù).圖形圖形 (5)的特征：的特征：f(x0)f(x)在在 x0 處連續(xù)處連續(xù)xy0

2、 x0y=f(x)(5)f(x)x, xxfxf)()()( 0其中其中 即即, xxx00)(lim )()(lim00 xfxfxx 定義：定義： 設(shè)設(shè) 在某鄰域在某鄰域 上有定義上有定義 ,如果如果 )(xf),(r xN0)()(lim00 xfxfxx 則稱則稱 在在 x0 處處連續(xù)連續(xù) )(xff(x) 在在 x0 處連續(xù)的處連續(xù)的 語(yǔ)言描述：語(yǔ)言描述： )(xf有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)存存在在給給的的 xx , 000設(shè)設(shè) 在某鄰域在某鄰域 內(nèi)有定義內(nèi)有定義 ,如果對(duì)任如果對(duì)任 )(0 xN.)()( 0 xfxff (x) 在在 x0 處連續(xù)的三要素：處連續(xù)的三要素：)(xf（1） 在

3、某鄰域在某鄰域 內(nèi)有定義內(nèi)有定義 ； )(0 xN)(limxfxx0（2） 存在存在 (設(shè)為設(shè)為A );(3).)(Axf 0f(x) 在在 x0 處左處左連續(xù)：連續(xù)：)()(lim)(0000 xfxfxfxx f(x) 在在 x0 處右連續(xù)：處右連續(xù)：)()(lim)(0000 xfxfxfxx f(x) 在在 (a , b) 內(nèi)連續(xù)：內(nèi)連續(xù)：若若 f (x) 在在 (a , b) 內(nèi)每一點(diǎn)處內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)都連續(xù) ( 稱稱 f (x)為為 (a , b) 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)內(nèi)的連續(xù)函數(shù) )f(x) 在在 a , b 上連續(xù)：上連續(xù)： 若若 f (x) 在在 (a , b) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) ,

4、在在 x = a 處右連續(xù)處右連續(xù) , 在在 x = b 出左連續(xù)出左連續(xù) , 則稱則稱 f(x) 在在 a , b 上連續(xù)上連續(xù) (稱為稱為 a , b 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù))00 xxfxxf 在在函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù))()(定理定理)()()(00000 xfxfxf 即即有有處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù) ,20 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)定理定理 ( 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì))設(shè)設(shè) f(x) , g(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處連續(xù)處連續(xù) , 則則(1) f(x) g(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處也連續(xù)處也連續(xù) ;(2) f(x) g(x)

5、 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處也連續(xù)處也連續(xù) ;(3) 若若 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處也連續(xù)處也連續(xù) ;)()()(xgxf , xg00 連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算后連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算后 , 在其定義域上連續(xù)在其定義域上連續(xù)基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)的連續(xù)性(1) 基本三角函數(shù)在定義域上連續(xù)基本三角函數(shù)在定義域上連續(xù),sinsinlim xxxx00,coscoslim xxxx00由由可知：可知：sinx ，cosx 在其定義域上連續(xù)在其定義域上連續(xù) .再根據(jù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)知：再根據(jù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)知：tanx ，cotx ，secx ，cscx 在其定義域上連續(xù)在其定義域上連續(xù) .所以所以,

6、 基本三角函數(shù)在定義域上連續(xù)基本三角函數(shù)在定義域上連續(xù)證明證明對(duì)任意的對(duì)任意的 x0 R , xxxxxaxf00 lim)(lim)(lim000 xxxxxaaa )()(lim0000001xfaaaaxxxxxxx 證明證明對(duì)任意的對(duì)任意的 x0 0 , 利用結(jié)論利用結(jié)論 ,lnlnlim xxxx00 (2) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) f (x) = ax ( a0 , a 1 ) 在其定義域上在其定義域上連續(xù)連續(xù) (3) 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) f(x) = logax ( a0 , a 1 ) 在其定義域在其定義域 上連續(xù)上連續(xù)xxfaxxxxloglim)(lim00 axxxlnlnlim

7、0 ).(loglnln000 xfxax a (4) 冪函數(shù)冪函數(shù) f (x) = x ( 0 ) 在其定義域上連續(xù)在其定義域上連續(xù) 證明證明對(duì)任意的對(duì)任意的 x0 0 , xxfxxxx00 lim)(limxxxelnlim 0 xtln txte0lnlim 0 xeln )(00 xfx 定理定理 ( 反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)設(shè) y=f (x)在在 a , b 上連續(xù)上連續(xù),并且嚴(yán)格單調(diào)增并且嚴(yán)格單調(diào)增 ( 或嚴(yán)格單調(diào)減或嚴(yán)格單調(diào)減 ) , f (a) =,在在 (或或 )f (b) = ,則反函數(shù)則反函數(shù) )(yfx1 , , 上連續(xù)上連續(xù) , 并且也是嚴(yán)格單調(diào)增加并且也是

8、嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少或嚴(yán)格單調(diào)減少).證明證明 略略(5) 反三角函數(shù)在其定義域上連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域上連續(xù) 從而有以下結(jié)論：從而有以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在定義域上是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域上是連續(xù)的定理定理 (復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合函數(shù)的極限)若若, uxgxx00 )(limf (u) 在在 u0 處連續(xù)處連續(xù) , 則有則有, ufufxgfuuxx)()(lim)(lim000 即即)(lim()(limxgfxgfxxxx00 說(shuō)明：說(shuō)明：當(dāng)當(dāng) 函數(shù)函數(shù) f 連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí), 極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào) f 可以可以交換次序交換次序 證明證明 , 0 故故存存在在有有

9、時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng), uu 0 )()(0ufuf對(duì)任意的對(duì)任意的 因?yàn)橐驗(yàn)?y =f (u) 在在 u0 處連續(xù)處連續(xù) , 0 , uxg xx00 )(lim又又 , 0 故故對(duì)對(duì)上上 , 0 存存在在有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng), xx 00, uxg 0)()(,xgu xx 就就有有時(shí)時(shí)所所以以當(dāng)當(dāng) 00, uxguu 00)(從而得從而得, ufufufxgf )()()()(00定理證畢定理證畢推論推論 設(shè)設(shè) u= g ( x )在在 x0 處處連續(xù)連續(xù) , u0= g ( x0 ) , y=f (u)在在 u0 處連續(xù)處連續(xù) , 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) y=f ( g ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0

10、處處連續(xù)連續(xù) , 即即 xgfxgfxgfxxxx)()(lim()(lim000 可知：可知：兩個(gè)兩個(gè)(有限個(gè)有限個(gè)) 連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)在連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)在一定的區(qū)間內(nèi)也是連續(xù)函數(shù)一定的區(qū)間內(nèi)也是連續(xù)函數(shù)定理定理 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的例如例如;()arcsin(上上連連續(xù)續(xù)在在 , yx02 ;)(上上連連續(xù)續(xù)在在 , xy 1230 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類如果如果f (x) 在在 x0 處不連續(xù)處不連續(xù) , 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) x0 為函數(shù)為函數(shù) f (x)的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) (或或不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)) .f (x)

11、在在 x0 處連續(xù)的三要素：處連續(xù)的三要素：)(limxfxx0（2） 存在存在 (設(shè)為設(shè)為A );(3)Axf )(0（1）f (x) 在某鄰域在某鄰域 內(nèi)有定義內(nèi)有定義 ； )(0 xNX0 xy0Ay=f(x)(1)f(x)在在 x0 處無(wú)定義處無(wú)定義X0y=f(x)xy0(3)f(x)在在 x0 處出現(xiàn)跳躍處出現(xiàn)跳躍(4)xy0X0y=f(x)f(x)在在 x0 附近無(wú)界附近無(wú)界xy1sin f(x)在在x=0附近無(wú)限震蕩附近無(wú)限震蕩(5)Ay=f(x)xy0(2)X0f(x)在在 x0 處有定義處有定義間斷點(diǎn)的分類：間斷點(diǎn)的分類：1、第一類間斷點(diǎn)：第一類間斷點(diǎn)：2、第二類間斷點(diǎn)：第二

12、類間斷點(diǎn)： (2) 若若 , 又又稱稱 x0為函數(shù)為函數(shù) f (x) 的的 )()(0000 xfxf可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) （1）若若 , 又稱又稱 x0 為函數(shù)為函數(shù) f (x) 的的)()(0000 xfxf跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)的的為為函函數(shù)數(shù)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱右右極極限限都都存存在在處處左左、在在間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)如如果果)(,)(xfxxxf 00第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)的的為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)至至少少有有一一不不存存在在右右極極限限處處，其其左左、在在間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)如如果果)(,)(xfxxxf 00第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)說(shuō)明：說(shuō)明： 00 xx , Axx , xfxF)(

13、)(則則可可構(gòu)構(gòu)造造，的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)如如果果 xfx )(0函數(shù)：函數(shù)：所以所以 ，F(xiàn)(x) 在在 x0 處連續(xù)處連續(xù) 由于此時(shí)有由于此時(shí)有)(lim)(limxfxFxxxx00 )(0 xFA 例例 討論下列函數(shù)的連續(xù)性：討論下列函數(shù)的連續(xù)性： xxf exf xxxf x13211arctan)()(;)()(;sin)()( 解解 (1) 當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)時(shí), x 屬于初等函數(shù)屬于初等函數(shù) xxxf sin)( 的定義區(qū)間的定義區(qū)間 , 于是于是 f (x) 在在 x 處連續(xù)處連續(xù)當(dāng)當(dāng) x = 0 時(shí)時(shí), f (x) 無(wú)定義無(wú)定義 , 可知可知 x = 0 是間斷點(diǎn)

14、是間斷點(diǎn)由于由于 xxxf xx100 sinlim)(lim所以所以, x = 0 是可去間斷點(diǎn)是可去間斷點(diǎn)(2) 當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)時(shí),x 屬于屬于初等函數(shù)初等函數(shù) 的定義區(qū)的定義區(qū) exf x1 )(間，可知間，可知 x 0 是函數(shù)是函數(shù) f (x) 的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)當(dāng)當(dāng) x = 0 時(shí)時(shí), f (x) 無(wú)定義無(wú)定義 , 可知可知 x = 0 是間斷點(diǎn)是間斷點(diǎn)由于由于不不存存在在）(lim)(lim)( exffxxx 10000所以所以, x = 0 是函數(shù)是函數(shù) 的第二類的第二類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn). exf x1 )(3) 當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)時(shí),x 屬于屬于初等函數(shù)初等函數(shù) xxf 1arctan

15、)( 的定義區(qū)間的定義區(qū)間 ,于是于是 f (x) 在在 x 處連續(xù)處連續(xù)當(dāng)當(dāng) x = 0 時(shí)時(shí), f (x) 無(wú)定義無(wú)定義 , 可知可知 x = 0 是是間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)因?yàn)橐驗(yàn)?arctanlim)(lim)( xxffxx210000 ;arctanlim)(lim)( xxffxx210000 所以所以, x = 0 是是函數(shù)函數(shù) 的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)xxf 1arctan)( 例例 討論函數(shù)討論函數(shù) 的連續(xù)性的連續(xù)性 0120212x , xxx , xxxxfcossin)()( 解解在分段點(diǎn)在分段點(diǎn) x = 0 處處 , f 20 )(xxxxffxx210000 sin)(li

16、m)(lim)( )()(lim02210fxxxx 1200200 xxxffxxcoslim)(lim)( )(02f 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí),f (x)在在 x = 2n 處無(wú)定義處無(wú)定義 , 可知可知 x =2n是是間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) 于是于是 f (x) 在在 x = 0 處連續(xù)處連續(xù)又因又因 xxxxfnfnxnx210222 sin)(lim)(lim)(所以所以, x = 2n 是是 f (x) 的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn) , 而在其余的而在其余的 x 0 的點(diǎn)處的點(diǎn)處 f (x) 連續(xù)連續(xù) 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), f (x)在在 x = -1 處無(wú)定義處無(wú)定義 , 可知可知 x = -

17、1是是f (x) 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) .又又1201211 xxxffxxcoslim)(lim)( 不存在不存在 ,所以所以 , x = -1 是是 f (x) 的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn) 而在其余的而在其余的 x 0 的點(diǎn)處的點(diǎn)處 f (x) 連續(xù)連續(xù) 40 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理(基本原理基本原理)若若 f (x) C a ,b , 則則 f ( a ,b )= m , M 其中其中 C a ,b 表示表示 a ,b 上連續(xù)函數(shù)的全體上連續(xù)函數(shù)的全體 注意：注意：定理中的兩個(gè)重要條件：閉區(qū)間定理中的兩個(gè)重要條件：閉區(qū)間 ；連續(xù)性；連續(xù)性不可少不可少 ，否則結(jié)論未

18、必成立，否則結(jié)論未必成立定理定理(最值定理最值定理)若若 f (x) C a ,b , 則則 f (x) 必能在必能在 a ,b 上取得最大值上取得最大值 M , 最小值最小值 m , 即存在兩數(shù)即存在兩數(shù). Mf mf b a , )(,)(,2121 使使證明證明由基本原理知：由基本原理知：f ( a ,b )= m , M . Mf mf b a , )(,)(,2121 使使存存在在又因?qū)θ我庥忠驅(qū)θ我?x a ,b 有有m f (x) M所以所以 , f (x) 在在 處取得最小值處取得最小值 , 在在 處取得最大值處取得最大值 1 2 注意：注意：定理中的兩個(gè)重要條件：閉區(qū)間定理中

19、的兩個(gè)重要條件：閉區(qū)間 ；連續(xù)性；連續(xù)性不可少不可少 ，否則結(jié)論未必成立，否則結(jié)論未必成立.違反閉區(qū)間條件反例：違反閉區(qū)間條件反例：)()(112 , x , xxf 違反連續(xù)性條件反例：違反連續(xù)性條件反例： x , , x , xxf 00101()(定理（有界定理）定理（有界定理）若若 f (x) C a ,b , 則則 f (x) 在在 a , b 上有界上有界 證明證明由基本原理知：對(duì)任意由基本原理知：對(duì)任意 x a ,b 有有m f (x) M所以所以 f (x) 在在 a ,b 上有界上有界 注意：注意：定理中的兩個(gè)重要條件：閉區(qū)間定理中的兩個(gè)重要條件：閉區(qū)間 ；連續(xù)性；連續(xù)性一般

20、不可減弱一般不可減弱 ，否則結(jié)論未必成立，否則結(jié)論未必成立定理定理 (介值定理介值定理)若若 f (x) C a ,b , 則對(duì)任意則對(duì)任意 介于介于 f (a) , f (b) 之間的值之間的值 c , 存在存在 使使 b , a cf )( 證明證明如果如果 f (a) = f (b)=c , 則可取則可取 b a 或或 下設(shè)下設(shè) f (a)f (b) , 不妨設(shè)不妨設(shè) f (a) f (b) , 則對(duì)則對(duì) 則據(jù)基本原理知?jiǎng)t據(jù)基本原理知 mc M， cf b a )(, 使使存存在在注意注意：此定理的條件一般不可減弱此定理的條件一般不可減弱 x , , x , xxf 00101()(反例

21、：反例：xy0y=f(x)f(a)f(b)cab幾何意義：幾何意義：任意任意 f (a)c f (b) ,定理定理 (零值定理零值定理)若若 f (x) C a ,b , f (a) f (b)0 ,則存在則存在, b , a )( 使使0 )( f證明證明因?yàn)橐驗(yàn)?f (a) 與與 f (b) 異號(hào)異號(hào) ,則則f (a) 0 f (b) 或或 f (b) 0 f (a)取取 c = 0 ,利用介值定理知利用介值定理知 , 存在存在 使使 b , a )( 0 )( f幾何意義：幾何意義：xy0y=f(x)ab例例證明：方程證明：方程 在在( 1 , 2 )中有實(shí)根中有實(shí)根.0133 xx證明

22、證明設(shè)設(shè), xxxf133 )(則則 f (x) C a , b .又又 f (1)= -1 , f (2)= 3 ,根據(jù)零值定理根據(jù)零值定理 ,存在存在, , )(21 使使, f0 )( 即方程即方程 在在 ( 1 , 2 ) 中有實(shí)根中有實(shí)根 0133 xx例例證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)? )()(f f如果如果 f (x) 在在 a , b 上連續(xù)上連續(xù) , 且且 f (a) b ,證明：在證明：在 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使使 )(f(轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題)令令 F (x)=f (x)-x , 此時(shí)此時(shí) F (x) C a , b , 且有且有00bbf