代幾綜合問題--知識講解（提高）VIP

1、word中考沖刺：代幾綜合問題知識講解提高責編：常春芳【中考展望】 代幾綜合題是初中數學中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型近幾年的中考壓軸題多以代幾綜合題的形式出現解代幾綜合題一般可分為“認真審題、理解題意；探求解題思路；正確解答三個步驟,解代幾綜合題必須要有科學的分析問題的方法數學思想是解代幾綜合題的靈魂，要善于挖掘代幾綜合題中所隱含的重要的轉化思想、數形結合思想、分類討論的思想、方程不等式的思想等，把實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，這是學習解代幾綜合題的關鍵題型一般分為：1方程與幾何綜合的問題；2函數與幾何綜合的問題；3動態(tài)幾何中的函數問題；4直角坐標系中的幾何問題；5幾何圖形中的探究、

2、歸納、猜測與證明問題.題型特點：一是以幾何圖形為載體，通過線段、角等圖形尋找各元素之間的數量關系，建立代數方程或函數模型求解；二是把數量關系與幾何圖形建立聯系，使之直觀化、形象化，從函數關系中點與線的位置、方程根的情況得出圖形中的幾何關系.以形導數，由數思形，從而尋找出解題捷徑. 解代幾綜合題要靈活運用數形結合的思想進行數與形之間的相互轉化，關鍵是要從題目中尋找這兩局部知識的結合點，從而發(fā)現解題的突破口.【方法點撥】方程與幾何綜合問題是中考試題中常見的中檔題，主要以一元二次方程根的判別式、根與系數的關系為背景，結合代數式的恒等變形、解方程組、解不等式組、函數等知識其根本形式有：求代數式的值、求

3、參數的值或取值范圍、與方程有關的代數式的證明函數型綜合題主要有：幾何與函數結合型、坐標與幾何、方程與函數結合型問題，是各地中考試題中的熱點題型主要是以函數為主線，建立函數的圖象，結合函數的性質、方程等解題解題時要注意函數的圖象信息與方程的代數信息的相互轉化例如函數圖象與x軸交點的橫坐標即為相應方程的根；點在函數圖象上即點的坐標滿足函數的解析式等函數是初中數學的重點，也是難點，更是中考命題的主要考查對象，由于這類題型能較好地考查學生的函數思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化思想，能較全面地反映學生的綜合能力，有較好的區(qū)分度，因此是各地中考的熱點題型幾何綜合題考查知識點多、條件隱晦，要求學生有較

4、強的理解能力，分析能力，解決問題的能力，對數學知識、數學方法有較強的駕馭能力，并有較強的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力1 幾何型綜合題，常以相似形與圓的知識為考查重點，并貫穿其他幾何、代數、三角等知識，以證明、計算等題型出現2 幾何計算是以幾何推理為根底的幾何量的計算，主要有線段和弧長的計算，角的計算，三角函數值的計算，以及各種圖形面積的計算等3 幾何論證題主要考查學生綜合應用所學幾何知識的能力4 解幾何綜合題應注意以下幾點：1 注意數形結合，多角度、全方位觀察圖形，挖掘隱含條件，尋找數量關系和相等關系；2 注意推理和計算相結合，力求解題過程的標準化；3 注意掌握常規(guī)的證題思路，常規(guī)的輔助線作法；4 注意

5、靈活地運用數學的思想和方法【典型例題】類型一、方程與幾何綜合的問題1.2022大慶模擬如圖，RtABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm點P從B出發(fā)沿BA向A運動，速度為每秒1cm，點E是點B以P為對稱中心的對稱點，點P運動的同時，點Q從A出發(fā)沿AC向C運動，速度為每秒2cm，當點Q到達頂點C時，P，Q同時停止運動，設P，Q兩點運動時間為t秒1當t為何值時，PQBC？2設四邊形PQCB的面積為y，求y關于t的函數關系式；3四邊形PQCB面積能否是ABC面積的？假設能，求出此時t的值；假設不能，請說明理由；4當t為何值時，AEQ為等腰三角形？直接寫出結果【思路點撥】1先在RtA

6、BC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10t，然后由PQBC，根據平行線分線段成比例定理，列出比例式，求解即可；2正確把四邊形PQCB表示出來，即可得出y關于t的函數關系式；3根據四邊形PQCB面積是ABC面積的，列出方程，解方程即可；4AEQ為等腰三角形時，分三種情況討論：AE=AQ；EA=EQ；QA=QE，每一種情況都可以列出關于t的方程，解方程即可【答案與解析】解：1RtABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm，AB=10cmBP=t，AQ=2t，AP=ABBP=10tPQBC，=，=，解得t=；2S四邊形PQCB=SACBSAPQ=AC

7、BCAPAQsinAy=×6×8×10t2t=24t10t=t28t+24，即y關于t的函數關系式為y=t28t+24；3四邊形PQCB面積能是ABC面積的，理由如下：由題意，得t28t+24=×24，整理，得t210t+12=0，解得t1=5，t2=5+不合題意舍去故四邊形PQCB面積能是ABC面積的，此時t的值為5；4AEQ為等腰三角形時，分三種情況討論：如果AE=AQ，那么102t=2t，解得t=；如果EA=EQ，那么102t×=t，解得t=；如果QA=QE，那么2t×=5t，解得t=故當t為秒秒秒時，AEQ為等腰三角形【總結升

8、華】此題考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，綜合性較強，難度適中解答此題時要注意分類討論，不要漏解；其次運用方程思想是解題的關鍵舉一反三：【變式】2022鎮(zhèn)江如圖1，在菱形ABCD中，AB=6，tanABC=2，點E從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設運動時間為t秒，將線段CE繞點C順時針旋轉一個角=BCD，得到對應線段CF1求證：BE=DF；2當t= 秒時，DF的長度有最小值，最小值等于 ；3如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q，當t為何值時，EPQ是直角三角形？4如圖3，將線段CD繞點C順時針旋轉一個角=BCD，得到對應線段CG在點E的運動過程中

9、，當它的對應點F位于直線AD上方時，直接寫出點F到直線AD的距離y關于時間t的函數表達式【答案】解：1ECF=BCD，即BCE+DCE=DCF+DCE，DCF=BCE，四邊形ABCD是菱形，DC=BC，在DCF和BCE中，DCFBCESAS，DF=BE；2如圖1，當點E運動至點E時，DF=BE，此時DF最小，在RtABE中，AB=6，tanABC=tanBAE=2，設AE=x，那么BE=2x，AB=x=6，那么AE=6DE=6+6，DF=BE=12，故答案為：6+6，12；3CE=CF，CEQ90°，當EQP=90°時，如圖2，ECF=BCD，BC=DC，EC=FC，CBD

10、=CEF，BPC=EPQ，BCP=EQP=90°，AB=CD=6，tanABC=tanADC=2，DE=6，t=6秒；當EPQ=90°時，如圖2，菱形ABCD的對角線ACBD，EC與AC重合，DE=6，t=6秒；4y=t12，如圖3，連接GF分別交直線AD、BC于點M、N，過點F作FHAD于點H，由1知1=2，又1+DCE=2+GCF，DCE=GCF，在DCE和GCF中，DCEGCFSAS，3=4，1=3，1=2，2=4，GFCD，又AHBN，四邊形CDMN是平行四邊形，MN=CD=6，BCD=DCG，CGN=DCN=CNG，CN=CG=CD=6，tanABC=tanCGN

11、=2，GN=12，GM=6+12，GF=DE=t，FM=t612，tanFMH=tanABC=2，FH=t612，即y=t12類型二、函數與幾何綜合問題2.如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動tt0秒，拋物線y=x2bxc經過點O和點P矩形ABCD的三個頂點為A1，0、B1，5、D4，0求c、b可以用含t的代數式表示；當t>1時，拋物線與線段AB交于點M在點P的運動過程中，你認為AMP的大小是否會變化？假設變化，說明理由；假設不變，求出AMP的值；在矩形ABCD的內部不含邊界，把橫、縱坐標都是整數的點稱為“好點假設拋物線將這些“好點分成數量相等

12、的兩局部，請直接寫出t的取值范圍【思路點撥】1由拋物線y=x2+bx+c經過點O和點P，將點O與P的坐標代入方程即可求得c，b；2當x=1時，y=1-t，求得M的坐標，那么可求得AMP的度數；3根據圖形，可直接求得答案【答案與解析】解：1把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，t0，b=-t；2不變拋物線的解析式為：y=x2-tx，且M的橫坐標為1，當x=1時，y=1-t，M1，1-t，AM=|1-t|=t-1，OP=t，AP=t-1，AM=AP，PAM=90°，AMP=45°；3左邊4個好點在拋物線上方，右

13、邊4個好點在拋物線下方：無解；左邊3個好點在拋物線上方，右邊3個好點在拋物線下方：那么有-4y2-3，-2y3-1，即-44-2t-3，-29-3t-1，且，解得；左邊2個好點在拋物線上方，右邊2個好點在拋物線下方：無解；左邊1個好點在拋物線上方，右邊1個好點在拋物線下方：無解；左邊0個好點在拋物線上方，右邊0個好點在拋物線下方：無解；綜上所述，t的取值范圍是：【總結升華】此題考查了二次函數與點的關系此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合與方程思想的應用類型三、動態(tài)幾何中的函數問題3. 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于，與軸交于A、B兩點，點B的坐標為1求二次函數的

14、解析式及頂點D的坐標；2點M是第二象限內拋物線上的一動點，假設直線OM把四邊形ACDB分成面積為1:2的兩局部，求出此時點的坐標；3點P是第二象限內拋物線上的一動點，問：點P在何處時的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點P的坐標.【思路點撥】1拋物線的解析式中只有兩個待定系數，因此只需將點B、C的坐標代入其中求解即可 2先畫出相關圖示，連接OD后發(fā)現：SOBD：S四邊形ACDB=2：3，因此直線OM必須經過線段BD才有可能符合題干的要求；設直線OM與線段BD的交點為E，根據題干可知：OBE、多邊形OEDCA的面積比應該是1：2或2：1，即OBE的面積是四邊形ACDB面積的，所以先求出四邊形A

15、BDC的面積，進而得到OBE的面積后，可確定點E的坐標，首先求出直線OE即直線OM的解析式，聯立拋物線的解析式后即可確定點M的坐標注意點M的位置 3此題必須先得到關于CPB面積的函數表達式，然后根據函數的性質來求出CPB的面積最大值以及對應的點P坐標；通過圖示可發(fā)現，CPB的面積可由四邊形OCPB的面積減去OCB的面積求得，首先設出點P的坐標，四邊形OCPB的面積可由OCP、OPB的面積和得出【答案與解析】解：1由題意，得： 解得：所以，二次函數的解析式為： ，頂點D的坐標為-1，4. 2畫圖由、四點的坐標，易求四邊形ACDB的面積為9.直線BD的解析式為y=2x+6. 設直線OM與直線BD

16、交于點E，那么OBE的面積可以為3或6.當時，如圖，易得E點坐標-2，-2，直線OE的解析式為y=-x.設M 點坐標x，-x， 當時，同理可得M點坐標 M 點坐標為-1，43如圖，連接，設P點的坐標為，點P在拋物線上， ，當時，. 的面積有最大值當點P的坐標為時，的面積有最大值，且最大值為 【總結升華】此題主要考查了二次函數解析式確實定、圖形面積的解法以及二次函數的應用等知識；2問中，一定先要探究一下點M的位置，以免出現漏解的情況舉一反三：【變式】如下圖，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為3，0，0，1，點D是線段BC上的動點與端點B、C不重合，過點D作直線交折線OAB于點E1記ODE

17、的面積為S，求S與的函數關系式；2當點E在線段OA上時，假設矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊局部的面積是否發(fā)生變化，假設不變，求出該重疊局部的面積；假設改變，請說明理由.【答案】1由題意得B3，1假設直線經過點A3，0時，那么b假設直線經過點B3，1時，那么b假設直線經過點C0，1時，那么b1.假設直線與折線OAB的交點在OA上時，即1b，如圖1，此時點E2b，0.SOE·CO×2b×1b. 假設直線與折線OAB的交點在BA上時，即b，如圖2，此時點E3，D2b2，1.SS矩(SOCDSOAE SD

18、BE ) 3(2b1)×1×(52b)()×3() 2如圖3，設O1A1與CB相交于點M，C1B1與OA相交于點N，那么矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊局部的面積即為四邊形DNEM的面積由題意知，DMNE，DNME，四邊形DNEM為平行四邊形,根據軸對稱知，MEDNED, 又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四邊形DNEM為菱形過點D作DHOA，垂足為H，設菱形DNEM的邊長為a，由題可知，D2b-2，1，E2b，0，DH=1，HE=2b-2b-2=2，HN=HE-NE=2-a，那么在RtDHM中，由勾股定理知：，a=.S四邊形DNEMNE

19、3;DH矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊局部的面積不發(fā)生變化，面積始終為 類型四、直角坐標系中的幾何問題4. 如下圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系OA3，OC2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處1直接寫出點E、F的坐標；2設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；3在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最??？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由【思路點撥】1由軸對稱的性質，可知FB

20、D=ABD，FB=AB，可得四邊形ABFD是正方形，那么可求點E、F的坐標；2拋物線的頂點，那么可用頂點式設拋物線的解析式. 因為以點E、F、P為頂點的等腰三角形沒有給明頂角的頂點，而頂角和底邊都是唯一的，所以要抓住誰是頂角的頂點進行分類，可分別以E、F、P為頂角頂點；3求周長的最小值需轉化為利用軸對稱的性質求解.【答案與解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)連結EF，在RtEBF中,B=90°，EF=.設點P的坐標為(0,n),n0,頂點F(1,2), 設拋物線的解析式為y=a(x-1)2+2，(a0)如圖1，當EF=PF時，EF2=PF2，12+(n-2)2=5，解得

21、n1=0(舍去)，n2=4.P(0，4)，4=a(0-1)2+2，解得a=2，拋物線的解析式為y=2(x-1)2+2如圖2，當EP=FP時，EP2=FP2，(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=(舍去) 當EF=EP時，EP=3，這種情況不存在.綜上所述，符合條件的拋物線為y=2(x-1)2+2(3)存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小如圖3，作點E關于x軸的對稱點E，作點F關于y軸的對稱點F，連結EF，分別與x軸、y軸交于點M、N，那么點M、N就是所求. 連結NF、ME.E(3，-1)、F(-1，2)，NF=NF，ME=ME. BF=4，BE=3.FN+NM+ME=FN+NM+M

22、E=FE=5.又EF=，FN+MN+ME+EF=5+，此時四邊形MNFE的周長最小值為5+.【總結升華】此題考查了平面直角坐標系、等腰直角三角形、拋物線解析式的求法、利用軸對稱求最短距離以及數形結合、分類討論等數學思想. 分類討論的思想要依據一定的標準，對問題分類、求解，要特別注意分類原那么是不重不漏，最簡分類常見的依據是：一是依據概念分類，如判斷直角三角形時明確哪個角可以是直角，兩個三角形相似時分清哪兩條邊是對應邊；二是依運動變化的圖形中的分界點進行分類，如一個圖形在運動過程中，與另一個圖形重合局部可以是三角形，也可以是四邊形、五邊形等. 幾何與函數的綜合題是中考常見的壓軸題型，解決這類問題主要分為兩步：一是利用線段的長確定出幾何圖形中各點的坐標；