方向?qū)?shù)與梯度70331

1、一、方向?qū)?shù)的定義一、方向?qū)?shù)的定義二、梯度的概念二、梯度的概念三、小結(jié)三、小結(jié)討論函數(shù)討論函數(shù) z = f (x, y) 在一點(diǎn)在一點(diǎn) p沿某一方向的變化率問(wèn)題沿某一方向的變化率問(wèn)題一、方向?qū)?shù)的定義一、方向?qū)?shù)的定義oyx lp x y p .),(),(lim0 yxfyyxxflf 定義定義的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向限為函數(shù)在點(diǎn)限為函數(shù)在點(diǎn)的極限存在，則稱這極的極限存在，則稱這極時(shí)，如果此比時(shí)，如果此比趨于趨于沿著沿著比值，當(dāng)比值，當(dāng)之之兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量lpplpyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)依定義，函

2、數(shù)依定義，函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)p沿著沿著x軸正向軸正向 0 , 11 e、 y軸正向軸正向 1 , 02 e 的方向?qū)?shù)分別為的方向?qū)?shù)分別為yxff ,； 沿沿著著x軸軸負(fù)負(fù)向向、y軸軸負(fù)負(fù)向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是 yxff ,. . 定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxp是是可可微微分分的的， 那那末末函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿任任意意方方向向 l的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)都都 存存在在，且且有有 sincosyfxflf ， 其其中中 為為 x 軸軸到到方方向向 l的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角 xyo例例 1 1 求函數(shù)求函數(shù) yxez2 在點(diǎn)在點(diǎn) )0 , 1(p 處沿從點(diǎn)處沿

3、從點(diǎn) )0 , 1(p 到點(diǎn)到點(diǎn) )1 , 2( q 的方向的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù). . 解解故故x軸到方向軸到方向 l的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角4 . . )0 , 1( xz由由 )0 , 1(yz)4sin(2)4cos(1 lz.22 這里方向這里方向 l即為即為1 , 1 pq, , 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)pq )0 , 1(2ye; 1 )0 , 1(22yxe, 2 對(duì)對(duì)于于三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu ，它它在在空空間間一一點(diǎn)點(diǎn) ),(zyxp沿沿著著方方向向 l的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù) ，可可定定義義為為 ,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣

4、可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其其中中222)()()(zyx ） 同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿 任意方向任意方向 l的方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有 .coscoscos zfyfxflf 設(shè)設(shè)方方向向 l 的的方方向向角角為為 , ,. . 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 d 內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)dyxp ),(，都，都 可定出一個(gè)向量可定出一個(gè)向量 jyfixf ，這向量稱為函，這向量稱為函 數(shù)數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxp的的梯度梯度

5、，記為，記為 二、梯度的概念二、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)問(wèn)題問(wèn)題p. ),( jyfixfyxfgrad sincosyfxflf sin,cos, yfxf ),(eyxfgrad ,cos| ),(| yxfgrad lf 有最大值有最大值. . 設(shè)設(shè) sin cos jie 是方向是方向 l上的單位向量，上的單位向量， 由由方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)公公式式知知 其中其中) ),(eyxfgrad 當(dāng)當(dāng)1) ),(cos( eyxfgrad 時(shí)時(shí)， 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方 向與取得最大方向?qū)?/p>

6、數(shù)的方向一致向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, ,而它的而它的 模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 結(jié)論結(jié)論. | ),(|22 yfxfyxfgrad),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖等高線等高線),(yxfgrad梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量p2),(cyxf 1),(cyxf oyxcyxf ),(12cc 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 g內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)連續(xù)

7、偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)gzyxp ),(，都可，都可 定義一個(gè)向量定義一個(gè)向量( (梯度梯度) ) . ),(kzfjyfixfzyxfgrad 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值最大值. .梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似地類似地, ,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)),(zyxp的梯度的方向與的梯度的方向與 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) p的等量面的等量面czyxf ),

8、(在這點(diǎn)的法線的一在這點(diǎn)的法線的一 個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較 高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方 向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù). . 例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點(diǎn)點(diǎn) )2 , 1 , 1( 處處的的梯梯度度，并并問(wèn)問(wèn)在在 哪哪些些點(diǎn)點(diǎn)處處梯梯度度為為零零向向量量？ 解解由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得 ),(kzujyuixuzyxugrad , 6 )24( )32(kzjyix 故故. 12 2 5)2 , 1 , 1( kjiugrad 在在)0 ,21 ,23(0 p處處梯梯度度為為零零向向量量. . 1 1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向