數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的問(wèn)題和其解決方法

1、數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的問(wèn)題及其解決方法 數(shù)學(xué)概念是事物空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的基本要素。只有正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念，才能有效地進(jìn)行判斷、解釋、推理、運(yùn)算與解決問(wèn)題。因此，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有十分重要的地位，一直是教學(xué)關(guān)注的重點(diǎn)之一。一、數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的問(wèn)題在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師往往先舉幾個(gè)引入例，然后提出概念定義，在黑板上抄寫(xiě)定義，并要求學(xué)生復(fù)述，接著講解例題，最后是練習(xí)、鞏固。這一模式延續(xù)了數(shù)十年。新課程實(shí)施以來(lái)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式逐漸淡出了課堂。探究式、體驗(yàn)式、小組合作等學(xué)習(xí)方式被廣泛運(yùn)用到數(shù)學(xué)概念教學(xué)中來(lái)，課堂教學(xué)發(fā)生了前所未有的積極變化，激發(fā)了學(xué)

2、生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性。然而，伴隨這一積極變化的同時(shí)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)出現(xiàn)的新問(wèn)題也不容忽視。主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面。1. 兜圈子，繞彎子不少教師注重在概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索新知識(shí)的強(qiáng)烈愿望，取得了良好的效果。然而，問(wèn)題情境也是一把“雙面刃”，運(yùn)用不當(dāng)，會(huì)產(chǎn)生“冗余效應(yīng)”和“分散注意效應(yīng)”。例如，某位數(shù)學(xué)教師在“對(duì)稱圖形”教學(xué)中，設(shè)計(jì)了“在優(yōu)美的小提琴協(xié)奏曲'梁?；?#39;選段的渲染中，學(xué)生開(kāi)始觀察'碧草清清花盛開(kāi)，彩蝶雙雙久徘徊'的優(yōu)美畫(huà)面”的導(dǎo)入情境，接著提問(wèn)學(xué)生：蝴蝶有什么特點(diǎn)？學(xué)生答道：“蝴蝶很漂亮”“一只蝴蝶大，一只蝴蝶小”不

3、難看出，上述導(dǎo)入情境雖賞心悅目，但充斥了許多與教學(xué)內(nèi)容無(wú)關(guān)的信息，離數(shù)學(xué)中的對(duì)稱圖形知識(shí)相去甚遠(yuǎn)。導(dǎo)入活動(dòng)雖然占用了較長(zhǎng)時(shí)間，卻沒(méi)有一個(gè)學(xué)生從對(duì)稱的角度指出蝴蝶圖案的特點(diǎn)，未達(dá)到教學(xué)設(shè)計(jì)的預(yù)期目標(biāo)。顯然，這種兜圈子、繞彎子的情境活動(dòng)設(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)移了學(xué)生的數(shù)學(xué)注意力。這是眾多類似事例（如通過(guò)“烏鴉喝水”故事的模擬演示，讓學(xué)生理解“占有空間”的含義等）中的一個(gè)典型案例。當(dāng)前，概念教學(xué)設(shè)計(jì)中存在的簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化現(xiàn)象，與一部分教師誤以為情境一定要有新花樣來(lái)吸引學(xué)生有著一定的關(guān)系。凡事要講求效率，兜圈子、繞彎子、華而不實(shí)、教學(xué)效率低下都是不可取的。我們要珍惜課堂上的每一分鐘，牢固樹(shù)立課堂教學(xué)效率意識(shí)，上好每

4、一節(jié)數(shù)學(xué)概念課。2. 重感知，輕認(rèn)知感知是人們認(rèn)識(shí)事物不可或缺的心理過(guò)程，是對(duì)事物外部特征的直接反映，屬于認(rèn)識(shí)過(guò)程的感性階段。感知所提供的對(duì)事物的認(rèn)識(shí)是簡(jiǎn)單的、表面的、零散的。感知不等于認(rèn)知。例如，學(xué)生感知到的“圓是由一圈彎彎的線組成的”“圓沒(méi)有角，彎彎的，邊很光滑”等外部特征并不等于“圓”的本質(zhì)特征，也不是對(duì)“圓”的認(rèn)知。因?yàn)檫@些外部特征均不涉及“圓”的“一中同長(zhǎng)”的本質(zhì)。然而，在概念教學(xué)，尤其是幾何圖形概念教學(xué)中，重感知、輕認(rèn)知的現(xiàn)象卻不在少數(shù)。例如，學(xué)習(xí)“角”，教師帶了很多“角”的物品，讓學(xué)生看一看、摸一摸，感知角的形狀是“尖尖的”，以銳角的特征去表征角的本質(zhì)特征；然后畫(huà)出若干個(gè)與銳角形

5、狀相關(guān)的圖形，判斷它們是不是角。再如，在“三角形的穩(wěn)定性”教學(xué)中，比較普遍的做法是通過(guò)教師演示或讓學(xué)生用手拉三角形木架感知是否堅(jiān)固、不變形，并以此解釋三角形的“穩(wěn)定性”，而忽視從“三角形三條邊的長(zhǎng)度一定時(shí)，三角形的形狀和大小不變”上引導(dǎo)學(xué)生理解三角形的穩(wěn)定性，誤導(dǎo)了學(xué)生。筆者認(rèn)為，考慮到小學(xué)生的思維處于形象思維逐步向抽象思維過(guò)渡的發(fā)展階段，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，重視直觀性、感知、體驗(yàn)，無(wú)疑是必要的。但如果止步于對(duì)事物的感知，忽視對(duì)概念本質(zhì)特征的抽象與概括，這樣做實(shí)際上低估了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，勢(shì)必影響其抽象、概括能力和推理能力的發(fā)展。3. 重記憶，輕理解在概念教學(xué)中，重記憶、輕理解的現(xiàn)象仍然比較普遍。

6、主要表現(xiàn)為以下兩點(diǎn)。其一是偏重形式記憶。數(shù)學(xué)中有一些概念是以符號(hào)或式子的形式表示其意義的，而且在運(yùn)用中又往往直接和這些符號(hào)或式子打交道。由此造成一些教師在教學(xué)中疏于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念意義的理解，偏重于學(xué)生記憶概念的外部表現(xiàn)形式。例如，在“倒數(shù)”概念教學(xué)中，部分教師喜歡從倒數(shù)的外部特征（分子、分母上下顛倒位置）入手，類比語(yǔ)文中特殊結(jié)構(gòu)的復(fù)名詞（“蜜蜂、蜂蜜”“天上、上天”等）引入“倒數(shù)”的概念，并且引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注作為倒數(shù)的分子、分母互相顛倒這一形式上的特點(diǎn)。這樣教學(xué)，效果似乎很好，但卻淡忘了“倒數(shù)”概念的應(yīng)用意義與作用，是一種舍本求末的做法。事實(shí)上也確實(shí)如此。如某教師在“倒數(shù)”教學(xué)中遇到學(xué)生提出“六分

7、之四的倒數(shù)是九分之六”時(shí)，頓時(shí)蒙了：“六分之四與九分之六是互為倒數(shù)嗎？倒數(shù)怎么會(huì)是同分母分?jǐn)?shù)呢？”這位教師為什么會(huì)發(fā)蒙呢？原來(lái)，他雖熟諳“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”這一定義，但在潛意識(shí)中還是以“分子、分母互相顛倒”作為“倒數(shù)”概念表征的緣故。教學(xué)中類似的例子不少，如強(qiáng)調(diào)負(fù)數(shù)是帶“”號(hào)的數(shù)，造成相當(dāng)多的學(xué)生在學(xué)了字母表示數(shù)以后，總認(rèn)為a一定是正數(shù)，a才是負(fù)數(shù)。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，無(wú)論圖形還是概念、名詞，不理解其意義，單純的、機(jī)械的形式記憶是靠不住的。形式記憶會(huì)影響學(xué)生后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，是一種短視的教學(xué)行為。其二是偏重概念復(fù)述。概念的定義或描述是對(duì)概念本質(zhì)特征和外延的說(shuō)明，它是判斷、解釋、推理和應(yīng)用的基礎(chǔ)

8、。怎樣讓學(xué)生掌握概念？有些教師只是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生復(fù)述一遍概念的定義。結(jié)果，學(xué)生雖會(huì)背概念，但遇到具體問(wèn)題時(shí)，卻茫然不知如何用概念，即所謂“死知識(shí)”。例如，在探索四分之一+二分之一時(shí)，雖然許多學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義熟記于心，但卻有半數(shù)以上（54.5）的學(xué)生直接用分母加分母、分子加分子的方法求和（北京市海淀區(qū)翠微小學(xué)，劉蓮，北京市海淀區(qū)上地實(shí)驗(yàn)小學(xué)，吳金華，2008）。這從一個(gè)側(cè)面反映了相當(dāng)多的學(xué)生受思維定勢(shì)的影響，仍習(xí)慣于按整數(shù)加法的模式直接去相加，而不是結(jié)合分?jǐn)?shù)意義去理解分?jǐn)?shù)加法的意義（相同分?jǐn)?shù)單位下的份數(shù)相加）。因此，衡量學(xué)生是否理解和掌握概念，不是看他會(huì)不會(huì)說(shuō)概念或背概念，而是看能否在具體情境中做

9、出正確判斷、解釋和運(yùn)用。4. 重枝節(jié)，輕本質(zhì)在概念教學(xué)中，一些教師雖然重視了概念的理解，但往往關(guān)注枝節(jié)，從概念的枝節(jié)上提問(wèn)題，忽視對(duì)概念的本質(zhì)理解。例如，關(guān)于“角”的認(rèn)識(shí)，許多教師都在角的大小與角的兩邊長(zhǎng)短有無(wú)關(guān)系上做文章，花很大精力讓學(xué)生討論。實(shí)際上，教材中或教師、學(xué)生所畫(huà)的角，不論角的兩邊畫(huà)多長(zhǎng)，本質(zhì)上都是射線，是無(wú)限長(zhǎng)的。區(qū)分這些角，并非看角的兩邊長(zhǎng)短，而是看這兩條邊的位置關(guān)系，看這兩條邊的張口大小，這才是對(duì)角概念的本質(zhì)把握。又如，一些學(xué)生誤認(rèn)為對(duì)邊不在水平位置的平行四邊形不是平行四邊形。問(wèn)題出在哪兒呢？原來(lái)是有些教師總結(jié)平行四邊形特征時(shí)強(qiáng)調(diào)“上下兩條邊平行，左右兩條邊也平行”這一非本質(zhì)

10、特征的緣故。再如，有的教師在“體積和容積”教學(xué)中，提出了這樣的問(wèn)題：水杯的體積與容積哪個(gè)大？同一個(gè)物體的體積是否一定大于容積？試想，這是體積與容積概念的本質(zhì)嗎?事實(shí)上，體積與容積哪個(gè)大是一個(gè)與度量有關(guān)的問(wèn)題，不是體積與容積概念的本質(zhì)問(wèn)題。若容器(如水杯)的厚度可以忽略不計(jì)，則它的體積與容積在數(shù)值上便相等。上述四個(gè)方面的問(wèn)題既有區(qū)別又有聯(lián)系，一方面反映了一些教師在概念教學(xué)理念上的偏差，另一方面也反映了部分教師在數(shù)學(xué)概念理解上的偏差。二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)問(wèn)題的解決方法為克服和解決數(shù)學(xué)概念教學(xué)中存在的上述問(wèn)題，筆者認(rèn)為應(yīng)從以下兩個(gè)方面入手解決。1. 簡(jiǎn)化導(dǎo)入情境，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山學(xué)生的概念學(xué)習(xí)，是在教師的指導(dǎo)下

11、，按照預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)主動(dòng)獲得概念和建構(gòu)意義的過(guò)程。對(duì)于重要的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，首先要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到引入新概念的必要性。這樣做既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索新知識(shí)的強(qiáng)烈愿望，又能激活學(xué)生的思維。其深層意義還在于使學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)中乃至科學(xué)中任何新概念的提出都是一種需要，數(shù)學(xué)概念并不是某個(gè)人或數(shù)學(xué)家臆想出來(lái)的東西。概念教學(xué)的第一步就是導(dǎo)入概念。概念如何導(dǎo)入，將直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)概念的理解和接受。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念導(dǎo)入有問(wèn)題導(dǎo)入、故事導(dǎo)入等多種方式。無(wú)論以什么方式導(dǎo)入，一要適合兒童的情趣，二要利于學(xué)生建立起清晰的表象。為此，要簡(jiǎn)化導(dǎo)入情境，做到開(kāi)門(mén)見(jiàn)山。具體來(lái)說(shuō)就是：圍繞提出新概念的必要性和概念的本質(zhì)去

12、創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)單的、有現(xiàn)實(shí)背景或數(shù)學(xué)背景的情境，并配以逐步遞進(jìn)的問(wèn)題（問(wèn)題串）。例如，在“對(duì)稱圖形”的概念教學(xué)中，有的教師設(shè)計(jì)了這樣的情境：首先，逐一呈現(xiàn)生活中常見(jiàn)的對(duì)稱圖形（飛機(jī)、三葉草、蝴蝶、蜜蜂、“喜喜”字等圖案），在欣賞的過(guò)程中感受圖形的對(duì)稱美。接著，提出問(wèn)題：（1）仔細(xì)觀察這些圖形的形狀（提示：左右兩部分或上下兩部分），你發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點(diǎn)？（2）對(duì)折這些圖形（事前發(fā)給每個(gè)學(xué)生上述圖形的圖片），你又發(fā)現(xiàn)了什么？它和你通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)的特點(diǎn)有什么關(guān)系嗎？通過(guò)觀察和折紙活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)對(duì)稱圖形的基本特征。課堂上雖然沒(méi)有熱烈的場(chǎng)面，但學(xué)生個(gè)個(gè)聚精會(huì)神地投入到觀察和折紙活動(dòng)之中，認(rèn)真思考問(wèn)

13、題。通過(guò)實(shí)踐與思考，在交流和討論中學(xué)生認(rèn)識(shí)了對(duì)稱圖形具有“圖形的一部分沿直線對(duì)折后與另一部分能完全重合”的特征。實(shí)踐表明，該情境設(shè)計(jì)開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)（經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)對(duì)稱圖形基本特征的探索過(guò)程，認(rèn)識(shí)對(duì)稱圖形的基本特征）展開(kāi)新知識(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，給學(xué)生提供了充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)（觀察與實(shí)踐操作），幫助學(xué)生建立起清晰的表象，激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性。學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，還獲得了廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。上述案例具有普遍意義，值得我們認(rèn)真思考與借鑒。2. 巧設(shè)問(wèn)題情境，理解概念概念教學(xué)的第二步就是理解概念。正確理解概念是運(yùn)用概念解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，十分重要。理解概念，不能僅停留在字面意義或圖形的說(shuō)明

14、上，而應(yīng)重在理解概念的要素及相互關(guān)系。因?yàn)楦拍畹囊厥菢?gòu)成概念的基本元素，它們之間的相互關(guān)系反映了概念的本質(zhì)特征。為了幫助學(xué)生理解概念，可將其分為初步理解概念和深入理解概念兩個(gè)層次?！俺醪嚼斫飧拍睢笔侵概甯拍畹臉?gòu)成要素及相互關(guān)系。這是理解概念的基本要求。通過(guò)怎樣的途徑和方式能較好地幫助和促進(jìn)學(xué)生理解概念呢？一個(gè)有效的策略是在問(wèn)題情境中理解概念。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的本質(zhì)比較抽象，難以直接看出來(lái)。在問(wèn)題情境中學(xué)習(xí)，可以變抽象為具體，既有利于學(xué)生理解概念，又便于考查學(xué)生是否理解概念。例如，針對(duì)學(xué)生初學(xué)減法時(shí)，在運(yùn)用中常常將加法和減法相混這一現(xiàn)象，某教師設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題情境：“（圖示）一條船上共有9個(gè)人

15、，船艙外有4個(gè)人。下面哪個(gè)算式可以直接用來(lái)表示船艙內(nèi)有幾個(gè)人？（1）9+4=；（2）9-4=；（3）9-=4；（4）+4=9。”該題的設(shè)計(jì)重點(diǎn)不是計(jì)算本身，而是側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)一個(gè)新的問(wèn)題情境時(shí)，思考選擇哪種算法來(lái)解決問(wèn)題。這就需要學(xué)生對(duì)各選項(xiàng)中的運(yùn)算意義和問(wèn)題的意義有深刻的思考。本題的正確選項(xiàng)（2）代表了學(xué)生對(duì)減法意義的理解。又如，教學(xué)“角”概念，雖然有的教材直接從生活中的事物抽象出各種角的圖形，且沒(méi)有給出“角”的定義或描述性文字，但仍要注重對(duì)“角”概念的理解-其要素是“有同一個(gè)端點(diǎn)，有兩條射線”。要素之間的相互關(guān)系是“由同一個(gè)端點(diǎn)引出兩條射線組成的圖形”。這個(gè)本質(zhì)特征決定了“角”不限于形

16、狀是“尖尖的”這一種情形，由同一個(gè)端點(diǎn)引出兩條射線可以有各種不同的位置，其形狀可以是“尖尖的”，也可以是“鈍鈍的”，還可以是“平平的”等。為幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解角的含義，有的教師做了這樣的設(shè)計(jì)：（1）設(shè)計(jì)畫(huà)角活動(dòng)（要求畫(huà)3個(gè)不同的角）；（2） 呈現(xiàn)角的各種變式圖形（直角、鈍角、平角等），判斷這些圖形是不是角，并說(shuō)明理由；（3）呈現(xiàn)角的簡(jiǎn)單組合（如），指出其中有哪幾個(gè)角，并說(shuō)明理由。問(wèn)題（1）不是單純的畫(huà)角練習(xí)，而是通過(guò)要求學(xué)生畫(huà)不同的角，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生思考什么是不同的角，從角的外延上幫助學(xué)生理解角的含義。問(wèn)題（2）是對(duì)問(wèn)題（1）的補(bǔ)充，針對(duì)部分學(xué)生存在的“角是尖的”這一思維定勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)一個(gè)

17、新的問(wèn)題情境時(shí)，認(rèn)真思考角的含義，從而做出正確的判斷。問(wèn)題（3）是解決復(fù)雜情境下角的辨別。學(xué)生在辨別時(shí)需思考角的含義，并據(jù)此從復(fù)雜的情境下分離出構(gòu)成角的要素。這種有層次、多角度的理解角的概念的問(wèn)題情境設(shè)計(jì)，在教學(xué)實(shí)踐中取得了預(yù)期效果。有些概念（如圓）的要素涉及位置和大?。〝?shù)量關(guān)系），搞清楚它們的不同作用，直接關(guān)系到該知識(shí)的拓展與應(yīng)用。為幫助學(xué)生理解各要素的作用，需要設(shè)計(jì)相關(guān)的問(wèn)題情境。例如，教學(xué)“圓”的概念，通過(guò)呈現(xiàn)大小不同的同心圓和大小相同、位置不同的兩個(gè)等圓的情境，可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)圓心和半徑這兩個(gè)要素的不同作用：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。學(xué)生由此可進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到：（1）畫(huà)一個(gè)圓，首

18、先要確定圓心的位置，然后確定半徑；（2）移動(dòng)某個(gè)圓，實(shí)際上就是移動(dòng)圓心；平移某個(gè)圓，實(shí)際上就是平移這個(gè)圓的圓心。為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念要素的理解，有時(shí)也設(shè)計(jì)一些反例讓學(xué)生判斷其正誤。仍以角的概念為例，如呈現(xiàn)大家熟悉的將角的一條邊改為曲線，判斷它是不是角，或?qū)⒔堑膬蓷l邊都改為曲線，判斷它是不是角等。在此需要提醒的是，不要人為地編出許多新花樣，干擾學(xué)生對(duì)概念的理解。如果說(shuō)“初步理解概念”著重解決概念構(gòu)成要素之間的基本關(guān)系是什么，那么“深入理解概念”是發(fā)現(xiàn)和理解概念構(gòu)成要素之間的新關(guān)系。方法有三。其一，設(shè)計(jì)變式問(wèn)題（或圖形），發(fā)現(xiàn)要素之間的新關(guān)系。以“圖形的周長(zhǎng)”概念教學(xué)為例，在學(xué)生明了圖形周長(zhǎng)含義的基

19、礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)求正方形變式圖形周長(zhǎng)的問(wèn)題：給出若干邊長(zhǎng)相同的正方形變式圖形（如下圖）和正方形的邊長(zhǎng)（如3厘米），求各個(gè)圖形的周長(zhǎng)。對(duì)初學(xué)圖形周長(zhǎng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)充滿挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。為求各個(gè)變異正方形的周長(zhǎng)，學(xué)生需要將它們分別與原來(lái)的正方形加以比較，分析變異圖形的各邊和原正方形相應(yīng)邊的位置關(guān)系。關(guān)系弄明白了，周長(zhǎng)也就知道了。由此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形周長(zhǎng)的一個(gè)有趣現(xiàn)象：原來(lái)一個(gè)圖形的大小和形狀變化以后，周長(zhǎng)卻能保持不變，即所謂“形變長(zhǎng)不變”。類似的例子還有很多，這里就不一一列舉了。其二，在應(yīng)用中探索概念要素之間的新關(guān)系。應(yīng)用既是概念學(xué)習(xí)的目的，也是深化概念學(xué)習(xí)的手段和途徑。因此，重要概念的應(yīng)用教學(xué)不僅僅要

20、關(guān)注問(wèn)題的解決，還要關(guān)注對(duì)概念的深化理解，探索概念要素之間的新關(guān)系（即概念的其他性質(zhì)），拓展對(duì)概念的認(rèn)識(shí)。下面，我們來(lái)看“分?jǐn)?shù)”概念教學(xué)的一個(gè)例子。學(xué)生通過(guò)實(shí)物和圖形等直觀模型理解了分?jǐn)?shù)中分子和分母的意義。實(shí)際上，這個(gè)理解還是很膚淺的。多數(shù)學(xué)生只是知道分?jǐn)?shù)中分子和分母分別表示什么，還缺乏整體領(lǐng)會(huì)分?jǐn)?shù)數(shù)值的意義（即分?jǐn)?shù)是把整體平均分以后表示這樣的一份或幾份的大小的數(shù)）。為解決這一認(rèn)識(shí)問(wèn)題，可以在初學(xué)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用加以強(qiáng)化與內(nèi)化，完成對(duì)分?jǐn)?shù)數(shù)值的意義的認(rèn)識(shí)。如通過(guò)比較分?jǐn)?shù)1/2和1/4的大?。ǚ?jǐn)?shù)數(shù)值的比較），學(xué)生會(huì)將關(guān)注點(diǎn)同時(shí)聚焦于分子和分母的整體，認(rèn)識(shí)到在不同分母條件下，這兩個(gè)分

21、子“1”表示的數(shù)值大小是不同的：1/2中的1表示整體（比如一張餅）2等份中的1份（半張餅）；1/4中的1表示整體（比如一張餅）4等份中的1份（半張餅的一半，即一角餅）。因此，1/21/2。類似地，運(yùn)用畫(huà)圖（圓或正方形）方法，學(xué)生能直觀地判斷出1/2比5/8小。進(jìn)一步，通過(guò)在數(shù)線上表示1/2和5/8，學(xué)生會(huì)清晰地看到，數(shù)線上表示1/2的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離是0與1之間距離的一半，而表示5/8的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離超過(guò)了一半，離1較近，顯示出1/2比5/8小。又因?yàn)?/2和5/8都在0與1之間，顯示出1/2和5/8都比整數(shù)1小。接著可以引導(dǎo)學(xué)生想象，分?jǐn)?shù)在0與1之間密密麻麻地排列著。通過(guò)分?jǐn)?shù)大小叭較的活動(dòng)，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)數(shù)值比較的一個(gè)有趣性質(zhì)：分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分母大分?jǐn)?shù)值反而小。不