人教高一數(shù)學(xué)函數(shù)奇偶性和周期性講義

1、第三節(jié)1、 求函數(shù)解析式的方法： 1、待定系數(shù)法： 若已知函數(shù)解析式的類型，設(shè)出其一般形式，根據(jù)特殊值，確定相關(guān)系數(shù)即可。例1、若已知函數(shù)為一次函數(shù)，且，則的解析式為 2、 解方程法： 利用已給定的關(guān)系式，構(gòu)造出一個新的關(guān)系式，通過解關(guān)于的方程組求出。例2、已知函數(shù)滿足方程，則的解析式是 。3、 配湊法： 對的解析式進(jìn)行配湊變形，使它能用來表示，再用x來替代兩邊所有的即可。4、換元法：設(shè)，解出帶入，求出，注意換元后新元的范圍。例3、已知，則的解析式 。例4、已知，求的解析式。5、 賦值法： 給變量賦予某些特殊值，從而求出其解析式。 例5、已知，對任意的實(shí)數(shù),都有，求的解析式。2、 函數(shù)的奇偶性

2、：（一） 圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)即是偶函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)即是奇函數(shù)1偶函數(shù)（一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)2奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)注意：（1） 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是相對于函數(shù)的整個定義域而言的，是函數(shù)的整體性質(zhì)；（2） 函數(shù)的奇偶性考察的是f(x)和f(-x)的關(guān)系，所以f(x)和f(-x)都應(yīng)該有意義，即x和-x都應(yīng)該在函數(shù)的定義域內(nèi)，所以定義域在數(shù)軸上必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，否則，這個函數(shù)一定不具有奇偶性，即

3、函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）。（3） 函數(shù)的奇偶性必須具有任意性，即對于任意一個x，都有f(-x)=f(x)或者f(-x)=-f(x)。（二）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱（3） 奇偶函數(shù)的性質(zhì)： 1、奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反。2、 任何一個關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)f(x)均可寫成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)和的形式，即，其中，。3、 運(yùn)算性質(zhì)： 根據(jù)性質(zhì)可以判定，4、 奇函數(shù)和偶函數(shù)的特有性質(zhì)： 若奇函數(shù)在x=0處有定

4、義，則必有； 若函數(shù)為偶函數(shù)，則有 奇偶性題型：判斷函數(shù)奇偶性 一般方法：首先確定函數(shù)的定義域，看它是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不是關(guān)于原點(diǎn)對稱，則必不是奇偶函數(shù)；對于解析式較復(fù)雜的函數(shù)，有時需將函數(shù)化簡之后再判定其奇偶性，但一定要考慮其定義域； 對于分段函數(shù)，必須是分段判斷它的奇偶性，只有在每一段都滿足奇偶函數(shù)定義時，才能下結(jié)論。例6、判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）（2）（3）（4）（5）2、 函數(shù)的圖像畫法：1、 對稱： （1） 將函數(shù)關(guān)于x軸對稱，則其函數(shù)解析式變?yōu)?； 將函數(shù)關(guān)于y軸對稱，即此函數(shù)解析式為，因為此時有； 若將函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)變?yōu)?； （2）若將函數(shù)保留x軸上方的部分，再將

5、x軸下方的圖像翻折到x軸上方，即變?yōu)椋?若將函數(shù)圖象y軸右邊的部分保留，并將y軸右側(cè)的部分對稱的翻折到y(tǒng)軸左側(cè)，則函數(shù)解析式為，即此函數(shù)為偶函數(shù)。（3） 函數(shù)的平移： 函數(shù)向右平移a個單位長度，則其解析式變?yōu)椋?函數(shù)向上平移b分單位，則其解析式變?yōu)?b。 即函數(shù)平移的規(guī)律為：左加右減，（針對于x而言，無論其系數(shù)是什么）；上加下減，針對于y。例6、對于任意實(shí)數(shù)，min表示二者中較小的那個數(shù)，對于，則min的最大值為 。 3、 函數(shù)的周期性：1、 定義：如何存在一個非零常數(shù)T，使得函數(shù)定義域的任意x，都有,則稱為周期函數(shù)，T為這個函數(shù)的周期。若所有的周期中存在一個最小正數(shù)，則這個最小正數(shù)為函數(shù)的周期。2、 由函數(shù)周期性的定義知:(1) 若函數(shù)滿足，則函數(shù)為周期函數(shù)，且其周期為2a；(2) 若函數(shù)恒成立，則函數(shù)