極限計(jì)算練習(xí)的解答和其他

1、 極限計(jì)算練習(xí)課堂測(cè)驗(yàn)的題解及其他各位同學(xué)：11月23日下午進(jìn)行了高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）的第2次課堂練習(xí)，從教學(xué)計(jì)劃來(lái)說(shuō)，這是例行的測(cè)驗(yàn)，從學(xué)習(xí)的角度看，也是對(duì)大家大半個(gè)學(xué)期來(lái)學(xué)習(xí)情況的一次檢驗(yàn)。測(cè)驗(yàn)的結(jié)果很不理想，出乎我的預(yù)料。看來(lái)有相當(dāng)數(shù)量的同學(xué)，還沒(méi)有進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)的軌道，沒(méi)有化起碼的功夫。當(dāng)然，學(xué)習(xí)好的同學(xué)也不少，我教的兩個(gè)班上，有近30-40位同學(xué)的成績(jī)一直穩(wěn)定在90分上下，可見(jiàn)他們已經(jīng)具有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很不錯(cuò)。我很欣賞他們。希望他們走向成功的明天。我這么說(shuō)其實(shí)還包含了一層意思：學(xué)數(shù)學(xué)是沒(méi)有底的，不要滿(mǎn)足于目前高等數(shù)學(xué)的層面，因?yàn)檫@門(mén)課畢竟只是對(duì)一般的理工科學(xué)生開(kāi)設(shè)的，要求并不高，不要滿(mǎn)足于能做

2、幾個(gè)題。不知這些同學(xué)有沒(méi)有理解我的苦心。另外，我一直不認(rèn)為分?jǐn)?shù)是衡量數(shù)學(xué)好壞的絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，即使那些考了90分的同學(xué)，只表明你做這幾個(gè)“死”題做的不錯(cuò)，不等于能應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，活的數(shù)學(xué)題你們還沒(méi)有接觸到。所以，每個(gè)人都要保持“在科學(xué)面前要有敬畏之心，謙卑之心”。那些老是不及格，或在4060分上下浮動(dòng)的同學(xué)，要提高警惕，不要在大一上學(xué)期就被拉下，這樣被動(dòng)下去，你的大學(xué)生涯恐怕是不會(huì)樂(lè)觀的，你的心里也許會(huì)有變化。你的這個(gè)大學(xué)上得沒(méi)有意思了。同學(xué)們的隊(duì)伍由此拉開(kāi)了距離就像長(zhǎng)跑一樣，拉開(kāi)了距離，一般是很難追上的。為此，我這里對(duì)其中若干題目進(jìn)行分析，提供幾種思路，供大家思考和回味，特別對(duì)不會(huì)做的同學(xué)，

3、你還是要努力學(xué)懂啊！不要放棄！放棄了，沒(méi)有可能再抓回了，第二年重修的人，很少能夠通過(guò)，這是歷史的教訓(xùn)。我再次強(qiáng)調(diào)，解數(shù)學(xué)題沒(méi)有定規(guī)，解題的角度不是固定不變的，我這里的解法未必覆蓋全部，只是提供一種思考的角度，大家沒(méi)有必要照抄照搬，也沒(méi)有必要用一種解法去否定另一種解法。對(duì)大家而言，能從不同的角度來(lái)分析和求解，是一種最好的學(xué)習(xí)方式。第1大題的6個(gè)小題，比較簡(jiǎn)單，這次沒(méi)有要求大家去做，但對(duì)有些同學(xué)來(lái)講，等助教把試題本發(fā)下后，也請(qǐng)獨(dú)立做一遍。下面我從第2大題開(kāi)始。2. 判別下列極限是否存在，若存在，請(qǐng)計(jì)算器極限值。（1）； 。【分析】本題給出的2個(gè)函數(shù)，在點(diǎn)處沒(méi)有定義！卻要我們求極限，你能理解嗎？這里

4、我要特別強(qiáng)調(diào)，求函數(shù)值時(shí)，必須要有定義，但求極限卻不必要求有定義，理由是極限過(guò)程是，即趨向于0，永遠(yuǎn)不等于0。那么，要判別極限是否存在的充要條件是什么呢？是的左、右極限都存在，并且相等。不知大家對(duì)左、右極限的理解如何? 所謂的右極限是指變量從0的右邊趨向于0，在這個(gè)過(guò)程中變量始終是正的；而的左極限是指變量從0的左邊趨向于0，在這個(gè)過(guò)程中變量始終是負(fù)的。有了這些概念，求解這些題目應(yīng)該是沒(méi)有什么原則困難的。當(dāng)然結(jié)合具體函數(shù)，我們還要解決一些難點(diǎn)。（1）這個(gè)函數(shù)的極限問(wèn)題的難點(diǎn)在于處理好和在的左、右極限。首先右極限 ，其中 第1個(gè)極限 ， 第2個(gè)極限 ， （因?yàn)椋?所以在的右極限等于 。再考慮左極限

5、，其中 第1個(gè)極限 ， 第2個(gè)極限 ，所以在的左極限等于 。雖然在時(shí)的左、右極限都存在，但不相等，則在時(shí)的極限不存在。（2）本小題的函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，在在點(diǎn)處沒(méi)有定義，在的兩邊的函數(shù)是不同的。不難計(jì)算得到 ， ，可見(jiàn)在時(shí)的左、右極限都存在，而且相等，則在時(shí)的極限存在，且等于 。3. 計(jì)算下列極限（1）【分析】這是一個(gè)的未定型極限，要做適當(dāng)?shù)奶幚?。解?： 先將根號(hào)中的開(kāi)出來(lái)，然后利用等價(jià)無(wú)窮小公式 值無(wú)窮小量）： 。 （因?yàn)樵跁r(shí)為無(wú)窮小）解法2： 令， 原式。這個(gè)解法稱(chēng)為“倒數(shù)法”，以后在學(xué)積分時(shí)還會(huì)看到它的作用。解法3：對(duì)上式中型極限 采用Lhospital法則，但計(jì)算比上面采用等價(jià)無(wú)窮小

6、麻煩。大家可一試。不要因?yàn)橛?jì)算麻煩就否定它，那是中學(xué)思維。（2） 【分析】 這是一個(gè)型極限。當(dāng)然可以一開(kāi)始就用Lhospital法則，但未必計(jì)算容易。解法一：用等價(jià)無(wú)窮小代換： 時(shí)，有等價(jià)無(wú)窮?。海@樣原式等于 。這樣就得出了結(jié)果，很簡(jiǎn)潔。這里沒(méi)有減法，可以放心地去做。解法二：如果你能看出分子中的第2項(xiàng)等價(jià)于，等價(jià)于，它等于，所以分子可等價(jià)于+； 同理，分母中的第二項(xiàng)，故分母等價(jià)于。這樣，最中結(jié)果等于3。解法三：用Taylor 公式也是一條路，留給大家。一般而言，總是能化簡(jiǎn)的線(xiàn)化簡(jiǎn)，在用其他“重”武器。等價(jià)無(wú)窮小代換，是一種不可缺少的基本功。（3） 解法一：這是數(shù)列的極限，屬于型。數(shù)列的極限無(wú)

7、法直接使用Lhospital法則或Taylor公式等“武器”，但數(shù)列也有無(wú)窮小序列的概念，要充分利用。 本題的難點(diǎn)在于化簡(jiǎn)，提出，使得出現(xiàn)，其次，要把化為以為底的指數(shù)，這些都可以認(rèn)為是最基本的極限方法。 （利用。 最后第2個(gè)等號(hào)是因?yàn)榈葍r(jià)無(wú)窮小 。解法二： 先研究函數(shù)在的極限，然后用到上去。 其實(shí)，解一已經(jīng)很簡(jiǎn)潔，一般不用這么轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去。但有的情況下，這樣思路也有價(jià)值。（4）【分析】這是一個(gè)型極限，它總與有關(guān)。（這一點(diǎn)，請(qǐng)各位千萬(wàn)別忘記?。┙夥ㄒ唬?引入變量代換，令，那么改為， ，又 。故 原式。解法二：型極限問(wèn)題也可以改寫(xiě)為 的形式。由解法一， ，又 故得 原式。（5） 本題用等價(jià)無(wú)窮小做十分

8、容易，留給大家吧。（6）本題是一個(gè)無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小之和的極限，一個(gè)適用于兩面夾準(zhǔn)則的典型題目。留給大家。4. 計(jì)算極限 解：記 。由于 時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)， ，所以我們有 ； 故 原式。 由于在和時(shí)有不同的形式，所以要考慮其左、右極限。，這樣，的左、右極限都存在，且兩者相等，故原式。注：本題的第一步，也是關(guān)鍵的一步是求出的具體形式，這一步本質(zhì)上是求極限。5. 當(dāng)時(shí)，試對(duì)下列無(wú)窮小，確定的值，使：（1） ; （2）。解（1）對(duì)于，首先要確定誰(shuí)是這個(gè)無(wú)窮小的主部？是還是其他？對(duì) 作Maclaulin展開(kāi)：因此，當(dāng)時(shí)，故 。解（2）【分析】首先需要把展開(kāi)成多項(xiàng)式的形式，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式。這樣的展開(kāi)

9、可用Taylor公式。，所以 ；注意到在時(shí) ，因此 。根據(jù)題意 ，故 ， 。6. 討論函數(shù)的連續(xù)性，并對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行討論。【分析】函數(shù)連續(xù)性的判斷，基本工具還是極限。解：函數(shù)為初等函數(shù)，故除了外（在這些點(diǎn)上函數(shù)沒(méi)有定義），函數(shù)處處連續(xù)。 ： 因涉及到的極限的特殊性，需要考慮左、右極限。 整理： 因?yàn)?（） 。故是跳躍型間斷點(diǎn)。和是可去間斷點(diǎn)，這2點(diǎn)留給大家了。7. 設(shè)，確定的值，使得在內(nèi)連續(xù)。解：在除外的所有點(diǎn)，是初等函數(shù)，故都是連續(xù)的。所以，只需確定的值，使在連續(xù)。具體地，就是根據(jù)在處連續(xù)的充要條件是其左、右極限存在且相等，并等于函數(shù)值。（請(qǐng)注意基本概念的正確性，概念清楚了，要做什么也就明確了

10、，不會(huì)做題的最大障礙其實(shí)是概念不清?。?在處的左極限為 ，（這是因?yàn)?，又 ， 故 ） 在處的右極限為， （這是因?yàn)?， 又 ，故 ） 根據(jù)題給條件，在處的函數(shù)值為 ，所以，根據(jù)在處連續(xù)的充要條件是“其左、右極限存在且相等，并等于函數(shù)值”，得到方程組 ，不難解出 。8. 確定的值，使下式成立：?！痉治觥?這是一個(gè)經(jīng)常見(jiàn)到的題目。他們的要求很明確，求出的值，因此，我們必須建立3個(gè)方程，解了這樣的方程，才能解除未知量。如何建立方程呢？只能從已知條件中尋找，別無(wú)出路。題目給你什么信息呢？看起來(lái)只有一個(gè)極限式，但這個(gè)式子告訴你的不止一個(gè)信息。第一， 當(dāng)時(shí)， 是個(gè)無(wú)窮小量（所以極限為0）；第二， 當(dāng)時(shí)，

11、 至少是二價(jià)無(wú)窮小，換言之，它本身就是無(wú)窮?。坏谌?， 當(dāng)時(shí)， 也是無(wú)窮小。這些條件都是理解了無(wú)窮小的概念后，才可能明確上述信息。充分利用這3個(gè)條件，就可以求出的值。這再次強(qiáng)調(diào)基本概念的重要性。有了這3個(gè)條件，理論上可以建立聯(lián)立方程組，志是求解的可行之路。不過(guò)，解方程組（何妨又是非線(xiàn)性的方程組）不是最佳選擇。如果能合理安排這3個(gè)條件的次序，使未知參數(shù)能一個(gè)一個(gè)的解出，那么可以避免求解方程組。那么如何安排次序呢？這要看問(wèn)題的“結(jié)構(gòu)”，充分利用極限的性質(zhì)。（從這一點(diǎn)看，解題技巧還是有用的，這要靠“孰能生巧”。）由第二點(diǎn)，得 ，馬上得到 。再由第三點(diǎn)，得 ，左邊是一個(gè)型極限，可用洛必塔法則： ，這樣，

12、 也就很容易地求出了。好了?，F(xiàn)在只剩下一個(gè)未知量，可以用第一點(diǎn)條件：，同樣用洛必塔法則，左邊是 這時(shí)再次為型極限，再用洛必塔法則，得 ，故 。OK！事情就這樣一步一步地解決了。不難吧，哥們姐們，不要被外表蒙蔽了，只要概念清晰，步驟得當(dāng)，難題總是由一個(gè)個(gè)并不難的小題組成的?；馑鼈?，腳下便是走向成功之路。這個(gè)題我之所以做得比較仔細(xì)，是它有代表性，請(qǐng)不會(huì)做的同學(xué)仔細(xì)體會(huì)。當(dāng)然，思路有了，求極限的基本計(jì)算還是要會(huì)做的，否則只是空頭理論家。9. 設(shè)，求。【分析】這是一個(gè)典型的求數(shù)列極限的題目。常用“數(shù)列單調(diào)有界準(zhǔn)則”，來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題。當(dāng)然有些數(shù)列不滿(mǎn)足單調(diào)有界，也會(huì)存在極限。對(duì)這樣的數(shù)列就需要其他方法

13、了。 先在草稿紙上試算一下，看看這個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)：，好，可想到它的極限是1.618033989。如果你熟悉著名的Fibonacci數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，你馬上能猜想到本題的數(shù)列是由Fibonacci數(shù)列產(chǎn)生的，生成的規(guī)則是：將Fibonacci數(shù)列的每2項(xiàng)組成一組，把這個(gè)組的后一項(xiàng)去除前一項(xiàng)，組成的數(shù)學(xué)就是本題的，它的極限是1.618033989。 問(wèn)題是怎么去證實(shí)這件事？從試算結(jié)果看，本題的數(shù)列是滿(mǎn)足“單調(diào)有界的。所以本題屬于常規(guī)題。有界性很好辦，但單調(diào)性有些麻煩。解： ，易知，。 （因?yàn)椋?。故?shù)列滿(mǎn)足有界性（同時(shí)有上界和下界。再看單調(diào)性。數(shù)列的單調(diào)性

14、常用相鄰兩項(xiàng)之差或商來(lái)刻畫(huà)。比如 此值若大于1，則數(shù)列單調(diào)。但從上面的式子還不好下結(jié)論。用常用相鄰兩項(xiàng)之差也會(huì)遇到些困難。下面我們用最常用也是最基本的方法：數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證單調(diào)性。因?yàn)?，故。又假設(shè)對(duì)任意正整數(shù)，有，由此來(lái)證明。方法是借助于函數(shù)的單調(diào)性。設(shè)。則其導(dǎo)函數(shù) ，故函數(shù)單調(diào)遞增。對(duì)于，得 。因?yàn)?，故立即?。這樣就有歸納法證明了數(shù)列的單調(diào)性。我建議同學(xué)們還可以用遞歸方法來(lái)研究單調(diào)性，即建立 與，乃至之間的定量關(guān)系，也可以推得單調(diào)性的結(jié)論?？傊?，方法有很多，需要經(jīng)常練習(xí)。解決了“單調(diào)有界”后，可以斷定 存在。記。在迭代式兩邊取的極限，得 ，即得方程，解得 ，舍去負(fù)值，得 。10. 計(jì)算下列極

15、限： （1） 解：本題顯然是型極限。解題的思路是形成一些無(wú)窮小量，那么在求極限時(shí)自然就消為零了。 。（因?yàn)椋?）注：本題自然也可以用洛必塔法則。但需要導(dǎo)數(shù)計(jì)算。請(qǐng)點(diǎn)擊一試。（2）解： 由于分母趨于11=0，故本題屬于型極限。如果一開(kāi)始用洛必塔法則，當(dāng)然從理論上講是沒(méi)有錯(cuò)的，但要考慮求導(dǎo)后是否更簡(jiǎn)潔，如果更繁雜，可考慮先簡(jiǎn)化。 ， （這時(shí)出現(xiàn)了我們熟知的） 。這樣做比直接用洛必塔法則更方便。請(qǐng)你用洛必塔法則再做一次。（3）解：本題屬于 型。注意到函數(shù)是冪指函數(shù)，我們可以將其對(duì)數(shù)化或指數(shù)化來(lái)處理。，于是，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求極限 。這是一個(gè)型極限，可以用洛必塔法則做。如果不用它，一時(shí)還想不出更好的方法。

16、 （ ） 。上述推導(dǎo)中的用了 ， 等關(guān)系。于是，本題的最后答案是 。本題的難度是較高的。但只要思路清晰，方法對(duì)頭，計(jì)算無(wú)誤，那么問(wèn)題并不那么可怕。（4）解: 本題屬于型。解題思路先設(shè)法化為型或，便于應(yīng)用洛比塔法則。 這里談?wù)勎业慕忸}風(fēng)格。第一，盡量化出無(wú)窮小來(lái)，因?yàn)闊o(wú)窮小的極限為零，?？珊?jiǎn)化問(wèn)題；第二，看到對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，盡量應(yīng)用。所以看到這個(gè)題，想法把變?yōu)椋院缶统鰜?lái)關(guān)于的極限。實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)變的途徑是倒數(shù)變換。令，于是 （注：是趨向于1的，故到這里化出了一個(gè)無(wú)窮小 ） （哈哈，把對(duì)數(shù)函數(shù)化掉了！） （ 利用） （到了這里，極限就變?yōu)樾??？捎寐灞人▌t）經(jīng)過(guò)常規(guī)計(jì)算，不難得到 ， （請(qǐng)你自己做）于是 。（5）解：這是求數(shù)列的極限。我們知道，數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以我們先求相應(yīng)函數(shù)的極限： 照我的解題習(xí)慣，把化為，。令， 則有 （至此，變成型極限了，好用洛必塔法則了，我就不做下去了）本題的結(jié)果等于 。你做對(duì)了嗎？上面是這次課堂測(cè)驗(yàn)的全部解答。你最好自己獨(dú)立做一遍，有問(wèn)題是在看上面的解答。再說(shuō)一次，方法不是唯一的，你完全可以用你自己的方法。利用這次機(jī)會(huì)，我再趁這此機(jī)會(huì)，做些利用Taylor公式求極限的題目。再說(shuō)一次，下面的題目用其他方法也可以做，我這里只是展示Taylor公式方法。1.因?yàn)轭}中的已經(jīng)是多項(xiàng)式了，