復變函數(shù)小結

1、復復變變函函數(shù)數(shù)映射映射連續(xù)連續(xù)第一章小結第一章小結鄰鄰域域區(qū)區(qū)域域極限極限復復數(shù)數(shù)表表示示代數(shù)表示代數(shù)表示三角表示三角表示指數(shù)表示指數(shù)表示第二章小結第二章小結復變函數(shù)的積分復變函數(shù)的積分積分存在的積分存在的條件及計算條件及計算積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)Cauchy積分定理積分定理原函數(shù)原函數(shù)的概念的概念復合復合閉路閉路定理定理Cauchy積分公式積分公式高階導數(shù)高階導數(shù)公式公式Newton- -Leibniz公式公式第三章小結第三章小結有向曲線有向曲線復數(shù)項級數(shù)復數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)充充要要條條件件必必要要條條件件冪級數(shù)冪級數(shù)收斂半徑收斂半徑R絕絕對對收收斂斂運算與性質(zhì)運算與性質(zhì)為復常數(shù)為

2、復常數(shù)n )(zfnn為函數(shù)為函數(shù) 1nn 收斂條件收斂條件條條件件收收斂斂復數(shù)列復數(shù)列收斂半徑的計算收斂半徑的計算Taylor 級數(shù)級數(shù)Laurent級數(shù)級數(shù)第四章小結第四章小結6復變函數(shù)的積分柯西古薩基本定理oxy柯西積分公式高階導數(shù)公式閉路變形原理0zC ( )d0.f zz 00C( ) d2(. )f zzif zzz( )010C( )2 d().(0,1,2,)()!nnf zizfznzznC ( )d ( )d .f zzf zzC021101()nCindznzz例例1 1 已知調(diào)和函數(shù)已知調(diào)和函數(shù)sin ,xvey 試求一解析函數(shù)試求一解析函數(shù) ,(0)1.使f zuiv

3、f解解dddxyuuxuy ddyxvxvycos dsin dxxey x ey y ( , )(0,0)x yu 0 x dxe x0y sin dxey y 1+cosxxxeeyecosxfuivey sinxieyC (0)1,f 0.C cos1,xeyy xo( ) z0（ ， ）x例例2 2 已知調(diào)和函數(shù)已知調(diào)和函數(shù)cossin,xxve yye xyxy 試求一解析函數(shù)試求一解析函數(shù) ,(0)0.fzuivf 使解解dddxyuuxuy ddyxvxvydcos dsin dcos ddcos dcos dcos ddxxxxxxuey x e yy x e xy xxe y

4、y y e xy y ey yy ( , )(0,0)x yu 0 x ddxxe x e x x 0y cos dcos dcos ddxxxe yy y e xy y ey yy cossin,xxe xye yyxycossinxxfuive xye yyxy(cossin)xxi e yye xyxyC (0)0,f 0.C 9例3證明證明( )| | 1| | 1| | 11|( )| | |( )| 82設在內(nèi)解析,在上連續(xù),且在上證明:f zzzzf zzzf y xoC( ) z12020| | 11( )( )d2()zf zf zzizz 1|( )|2f 2| | 112

5、d12( )2zs 8. 2| | 11|( )| |d12|2zf zzzsz 解解例例4 4 將函數(shù)將函數(shù) 31zef zz 在圓環(huán)域在圓環(huán)域 內(nèi)展為洛朗級數(shù)內(nèi)展為洛朗級數(shù). .0z 31(1)zf zez01!zkkezk 3111!kkzzk 311!kkzk 2111123!4!zzz(1) 01;z(2) 12;z (3) 2;z 內(nèi)展開成內(nèi)展開成LaurentLaurent級數(shù)級數(shù). .例例5 5 將函數(shù)將函數(shù)1 ( )(1)(2)f zzz 在圓環(huán)域在圓環(huán)域(4) 011z解解11 ( )21f zzz111 (1) ( )2112f zzz 1111 (2) ( )12112

6、f zzzz 111(3) ( )()2111f zzzz解解 例例6 6將函數(shù)將函數(shù) 21( )(2)(3)f zzz 在區(qū)域在區(qū)域 021z內(nèi)展開成內(nèi)展開成LaurentLaurent級數(shù)級數(shù). . 11321zz 11(2)z 0(2)kkz 21(3)z 11(2)kkk z 21( )(2)(3)f zzz 21(2)kkk z 例例7 7 將將 zf zz sin在在 0z 內(nèi)展開內(nèi)展開 為為LaurentLaurent級數(shù)級數(shù). . 解解210( 1)sin(21)!kkkzzk 20sin( 1)( )(21)!kkkzf zzzk 內(nèi)展開成內(nèi)展開成LaurentLaurent

7、級數(shù)級數(shù). . (1) 12;z(2) 2.z 例例8 8 將將25( )(2)(1)f zzz 在圓環(huán)域在圓環(huán)域y xo( ) zi2i 解解212( )21zf zzz (1) 12,z2112( )()2112zf zzz (2) 2,z 221112( )()12112zf zzzz留數(shù)計算方法可去奇點孤立奇點極點本性奇點函數(shù)的零點與極點的關系留數(shù)定理( )dCf z z 計計算算201.(sin ,cos )d2.( )d3.( )dixRf xxR x ex 留數(shù)在定積分計算中的應用第五章第五章零點的分布定理1 (留數(shù)基本定理) 設函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點12,nz zz外

8、處處解析,C 是 D內(nèi)包含所有奇點在其內(nèi)部的分段光滑正向 Jordan曲線, 則1( )d2Res( ),.nkkCf zzif zz 根據(jù)留數(shù)基本定理,函數(shù)在閉曲線 1z2znzDC.C1C2Cn( )f zC 1Res( ),+Res( ),=0.nkkf zf zz 一一. . 留數(shù)定理留數(shù)定理二二. . 留數(shù)的計算留數(shù)的計算(1) 如果0z為)(zf的可去奇點, 則0Res ( ),0.f z z 成Laurent級數(shù), 求.1 c(2) 如果0z為的本性奇點, )(zf展開則需將)(zf如果 為 的1級極點, 那么0z)(zf法則1(3) 如果0z為的極點, 則有如下計算規(guī)則)(zf

9、000Res ( ),lim() ( ).zzf z zzzf z 法則2設,)()()(zQzPzf )(zP及)(zQ在0z都解析. 如果000()0, ()0, ()0,P zQ zQ z 那么0z為f (z)的1級極點, 并且.)()(),(Res000zQzPzzf 010011dRes ( ),lim()( ).(1)!dnnnzzf z zzzf znz 如果 為 的 級極點 0z)(zfm法則3,nm 例9求 2( )1izef zz 在孤立奇點處的留數(shù). 1()0, ()0, ()20.PieQiQii 所以 是 f (z)的1級極點，并且zi Res ( ), f zi R

10、es ( ),f zi 顯然 和 都在 處解析，且zi ( )izP ze 2( )1Q zz2izz iez ,2ie .22izzieeiz 20例10計算下列積分解| | 3| | 311)tand ;2)sind1zzz zzz 21221sin1)Restan,2(cos)kzkzzz 1 | | 31tand26 ()12zz zii 31112)sin,113!(1)zzz | | 31sind21zziz y xo( ) z21例11解2| | 21計算積分zzzedzz 211Res, 1122zzzzeeze 21Res,1122zzzzeeez 2| | 212122zz

11、zeedzize y xo| 2z ( ) z1 122例12解3,(1):2cos4sin ,02計算積分其中zCedzzC ztitt 3(1)zCedzz 32Re ,1(1)zeisz 1()2lim2zzei ei y xoC( ) z1例13計算積分 4d ,1Czzz 其中 是 2z 的正向. d2 Res( ,1)+Re ( , 1) Res( , Res ,)Cf zifs ff ifi 4412(1)kkz zziz 解1421120.4kkiz C( )d2 Res , Cf z zif 21 12 Res ( ),0ift t 42 Res,01tit 0. 解224解

12、16| | 1sind .zzzzz 例14 計算積分66| | 1sinsind2Re ,0zzzzzziszz 3566sin1()3!5!zzzzzz 115!c (5)60sin1Re ,0lim(sin )5!zzzszzz 01lim( cos )5!zz 15! 6| | 1sin1d2 5!zzzziz 60i 或例15計算積分 440d 0 .xIaxa 解441d.2xIxa 40341, . iizaezae 01Res,Res,if zif z01331144z zz zizz 332222.422222 2iiiaa 3444444iiaeaeiaa 例16計算積分 2sin2d .25xxIxxx 解222Res, 1225zizeiizz 21 2222zizizeiz 22d25zizezzz 2 ( 1 2 )( 12 )2iiii ei y xo RC( ) zR R1 2i 4( 12 )(cos2sin2)2iie 4(2cos2+sin2)2Ie 例17.計算積分 220sind (0).xxIxaxa 解 記 則 是上半平面的奇點22( ),zf zza 0zai 221sind2xxIxxa 1Im 2Re( ),.22izaisf z eaie 221Imd2i