必修4平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、平面向量基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)1 平面向量知識(shí)點(diǎn)小結(jié)一、向量的基本概念1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別. 向量常用有向線段來表示.注意：不能說向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移. 舉例 1 已知(1,2)a，(4,2)b，則把向量abu uu r按向量( 1,3)ar平移后得到的向量是_. 結(jié)果：(3,0)2. 零向量 ：長(zhǎng)度為0 的向量叫零向量，記作：0r，規(guī)定：零向量的方向是任意的；3. 單位向量 ：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與abu u u r共線的單位向量是|ababuuu ruuu r） ；4. 相等向量 ：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等

2、向量，相等向量有傳遞性；5. 平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量ar、 br叫做平行向量，記作：ar br，規(guī)定： 零向量和任何向量平行. 注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！ （因?yàn)橛?r) ；三點(diǎn)abc、 、共線abacuuu ru uu r、共線. 6. 相反向量 ：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量. ar的相反向量記作ar.舉例 2 如下列命題：（1）若| |abrr，則abrr. （2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，

3、終點(diǎn)相同. （3）若abdcuu u ruu u u r，則abcd是平行四邊形 . （4）若abcd是平行四邊形，則abdcu uu ruuu u r. （5）若abrr， bcrr，則acrr. （6）若/ /abrr，/ /bcrr則/ /acrr. 其中正確的是 . 結(jié)果：（4） （5）二、向量的表示方法1. 幾何表示 ：用帶箭頭的有向線段表示，如abuu u r，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2. 符號(hào)表示 ：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如ar， br， cr等；3. 坐標(biāo)表示 ：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量,ijrr為基底，則平面內(nèi)的任一向量 ar可表

4、示為( , )axiyjx yrrr，稱 ( , )x y 為向量 ar的坐標(biāo)，( , )ax yr叫做向量 ar的坐標(biāo)表示 . 結(jié)論：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.三、平面向量的基本定理定理設(shè)12,e err同一平面內(nèi)的一組基底向量，ar是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)12(,) ， 使1122aeerrr. （1）定理核心：1 12 2a e errr； （2）從左向右看，是對(duì)向量ar的分解，且表達(dá)式唯一；反之，是對(duì)向量ar的合成 .（3）向量的正交分解：當(dāng)12,e err時(shí)，就說1 122a eerrr為對(duì)向量ar的正交分解舉例 3 （1）若(1,1)ar

5、，(1, 1)br，( 1,2)cr，則cr . 結(jié)果：1322abrr. （2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 b a.1(0,0)er，2(1,2)er b.1( 1,2)er，2(5,7)er c.1(3,5)er，2(6,10)er d.1(2, 3)er，213,24er（3）已知,ad beuuu r u uu r分別是abc的邊bc，ac上的中線 ,且adauu u rr， bebuu u rr, 則bcuu u r可用向量, a brr表示為 . 結(jié)果：2433abrr. （4）已知abc中，點(diǎn)d在bc邊上，且2cddbu uu ru uu r，cdrabsacuu

6、 u ruu u ruu ur，則rs的值是 . 結(jié)果： 0. 四、實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量 ar的積是一個(gè)向量，記作ar，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：（ 1）模： | | |aarr；（ 2）方向：當(dāng)0時(shí)，ar的方向與 ar的方向相同， 當(dāng)0 時(shí)，ar的方向與 ar的方向相反， 當(dāng)0時(shí)，0arr，注意：0ar. 五、平面向量的數(shù)量積1. 兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量ar， br，作 oaau uu rr，obbuuu rr，則把(0)aob稱為向量 ar， br的夾角 . 當(dāng)0時(shí)， ar， br同向；當(dāng)時(shí)， ar， br反向；當(dāng)2時(shí)， ar， br垂直 .2. 平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量

7、ar， br，它們的夾角為，我們把數(shù)量|cosabrr叫做 ar與 br的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積） ，記作： a brr，即| |cosa babrrrr. 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量. 舉例 4 （1）abc中，|3abuu u r，|4acuu ur，| 5bcu uu r，則abbcu uu ru uu r_. 結(jié)果：9. （2）已知11,2ar，10,2br，cakbrrr，dabrrr，cr與dr的夾角為4，則k _. 結(jié)果： 1. （3）已知|2ar，|5br，3a brr，則|abrr_. 結(jié)果：23. （4）已知,a br r是兩個(gè)非

8、零向量，且| | |ababrrrr，則ar與abrr的夾角為 _. 結(jié)果：30o. 平面向量基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)2 3. 向量 br在向量 ar上的投影：| cosbr，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0. 舉例 5 已知|3ar，|5br，且12a brr，則向量ar在向量br上的投影為 _. 結(jié)果：125. 4. a brr的幾何意義 ：數(shù)量積 a brr等于 ar的模 |ar與 br在 ar上的投影的積 .5. 向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量ar， br，其夾角為，則：（ 1）0aba brrrr；（ 2）當(dāng) ar、 br同向時(shí)，| |a babrrrr，特別地，222|aa aaaarrrrrr

9、；| |a babrrrr是 ar、 br同向的 充要分條件 ；當(dāng) ar、 br反向時(shí)，| |a babrrrr，| |a babrrrr是 ar、 br反向的 充要分條件 ；當(dāng)為銳角時(shí)，0a brr，且 ar、 br不同向，0a brr是為銳角的 必要不充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0a brr，且 ar、 br不反向；0a brr是為鈍角的 必要不充分條件.（ 3）非零向量ar， br夾角的計(jì)算公式：cos|a babrrrr；|a babrrrr.舉例 6 （1）已知( ,2 )ar，(3 ,2)br，如果ar與br的夾角為銳角，則的取值范圍是 _. 結(jié)果：43或0且13；（2）已知ofq的面積

10、為s，且1offqu uu ru uu r，若1322s，則ofuu u r，fquu ur夾角的取值范圍是 _. 結(jié)果：,43；（3）已知(cos ,sin )axxr，(cos ,sin)byyr，且滿足|3 |kabakbrrrr（其中0k）. 用k表示a brr；求a brr的最小值，并求此時(shí)ar與br的夾角的大小 . 結(jié)果：21(0)4ka bkkrr；最小值為12，60o. 六、向量的運(yùn)算1. 幾何運(yùn)算（ 1）向量加法運(yùn)算法則：平行四邊形法則；三角形法則. 運(yùn)算形式：若abauu u rr，bcbuu u rr，則向量acu u u r叫做ar與br的和，即ababbcacuu u

11、 ru u u ruuu rrr；作圖：略 .注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量. （ 2）向量的減法運(yùn)算法則：三角形法則. 運(yùn)算形式：若abauu u rr， acbuu u rr，則 ababaccau uu ruuu ru u u rrr，即由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn). 作圖：略 . 注：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同. 舉例 7 （1）化簡(jiǎn)：abbccduuu ruu uruu u r；abaddcuu u ruuu ru uu u r；()()abcdacbdu uu ru uu ruuu ru uu r . 結(jié)果：aduu ur；cbu uu r；0r；（2）若正方形abcd

12、的邊長(zhǎng)為 1，abauu u rr，bcbu uu rr，accu uu rr，則|abcrrr . 結(jié)果：22；（3）若o是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足2obocobocoau uu ru uuruu u ruu u ru uu r，則abc的形狀為. 結(jié)果：直角三角形；（4）若d為abc的邊bc的中點(diǎn)，abc所在平面內(nèi)有一點(diǎn)p，滿足0pabpcpu uu ruu u ruuu rr，設(shè)|appduu u ru uur，則的值為 . 結(jié)果： 2；（5）若點(diǎn)o是abc的外心，且0oaobcou uu ruu u ruuu rr，則abc的內(nèi)角c為 . 結(jié)果：120o. 2. 坐標(biāo)運(yùn)算 ：設(shè)11

13、(,)ax yr，22(,)bxyr，則（ 1）向量的加減法運(yùn)算：1212(,)abxxyyrr，1212(,)abxxyyrr.舉例 8 （1）已知點(diǎn)(2,3)a，(5,4)b，(7,10)c，若()apabacruuu ru uu ruuu r，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)p在第一、三象限的角平分線上. 結(jié)果：12；（2）已知(2,3)a，(1,4)b，且1(sin,cos )2abxyuuu r，,(,)22x y，則xy .結(jié)果：6或2；（3）已知作用在點(diǎn)(1,1)a的三個(gè)力1(3,4)fu u r，2(2, 5)fuu r，3(3,1)fuu r，則合力123ffffu u ru u ru u ru

14、 u r的終點(diǎn)坐標(biāo)是 . 結(jié)果：(9,1). （ 2）實(shí)數(shù)與向量的積：1111(,)(,)axyxyr.（ 3）若11(,)a x y，22(,)b xy，則2121(,)abxxyyuuu r，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo). 舉例 9 設(shè)(2,3)a，( 1,5)b，且13acabuu u ruu u r，3adabuu uru uu r，則,c d的坐標(biāo)分別是 _. 結(jié)果：11(1,),( 7,9)3. （ 4）平面向量數(shù)量積：1212a bx xy yrr. 舉例 10 已知向量(sin ,cos )axxr，(sin ,sin)bxxr，( 1,0)

15、cr. （1）若3x，求向量ar、cr的夾角；（2）若3,84x，函數(shù)( )f xa brr的最大值為12，求的值 .結(jié)果：（1）150o； （2）12或21. （ 5）向量的模 ：222222|aaxyaxyrrr. 平面向量基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)3 舉例 11 已知,a brr均為單位向量，它們的夾角為60o，那么|3 |abrr . 結(jié)果：13. （ 6）兩點(diǎn)間的距離：若11(,)a xy，22(,)b xy，則222121|()()abxxyy. 舉例 12 如圖，在平面斜坐標(biāo)系xoy中，60 xoyo，平面上任一點(diǎn)p關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若12opxeyeuu u rrr，其中12

16、,e err分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則p點(diǎn)斜坐標(biāo)為( ,)x y. （1）若點(diǎn)p的斜坐標(biāo)為(2, 2)，求p到o的距離|po；（2）求以o為圓心， 1 為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xoy中的方程 . 結(jié)果： （1）2； （2）2210 xyxy. 七、向量的運(yùn)算律1. 交換律： abbarrrr，()()aarr， a bb arrrr；2. 結(jié)合律：()abcabcrrrrrr，()abcabcrrrrrr，()()()a ba babrrrrrr；3. 分配律： ()aaarrr，()ababrrrr，()abca cb crrrrrrr. 舉例 13 給出下列命題：()abca ba

17、 crrrrrrr；()()ab ca bcrrrrrr；222()|2|abaabbrrrrrr； 若0a brr，則0arr或0brr；若a bc brrrr則acrr；22|aarr；2a bbaarrrrr；222()a babrrrr；222()2abaa bbrrrrrr. 其中正確的是 . 結(jié)果： . 說明： （1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除( 相約 ) ；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即()()ab c

18、a bcrrrrrr，為什么？八、向量平行( 共線 )的充要條件221212/ /()(|)0aba ba babx yy xrrrrrrrr.舉例 14 (1)若向量( ,1)axr，(4,)bxr，當(dāng)x_時(shí)，ar與br共線且方向相同 . 結(jié)果： 2. （2）已知(1,1)ar，(4, )bxr，2uabrrr，2vabrrr，且/ /uvrr，則x . 結(jié)果： 4. （3）設(shè)( ,12)paku u u r，(4,5)pbu uu r，(10, )pcku uu r，則k _ 時(shí)，,a b c共線. 結(jié)果：2或 11. 九、向量垂直的充要條件12120| |0aba bababx xy y

19、rrrrrrrr.特別地|abacabacabacabacuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r. 舉例 15 (1)已知( 1,2)oauu u r，(3,)obmu uu r，若oaobuu u ru uu r，則m .結(jié)果：32m；（2）以原點(diǎn)o和(4,2)a為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形oab，90b，則點(diǎn)b的坐標(biāo)是 .結(jié)果： (1,3) 或（ 3， 1） ） ；（3）已知( , )na br向量nmrr，且| |nmrr，則mr的坐標(biāo)是 .結(jié)果：( ,)ba或(, )b a. 十、線段的定比分點(diǎn)1. 定義：設(shè)點(diǎn)p是直線12pp 上異于1p 、2p

20、 的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使12ppppuuu ruuur，則實(shí)數(shù)叫做點(diǎn)p分有向線段12ppuuuu r所成的比，p點(diǎn)叫做有向線段12p puuuu r的以定比為的定比分點(diǎn) . 2.的符號(hào)與分點(diǎn)p的位置之間的關(guān)系（ 1）p內(nèi)分線段12p puuuu r，即點(diǎn)p在線段12pp 上0；（ 2）p外分線段12p puuuu r時(shí)，點(diǎn)p在線段12pp 的延長(zhǎng)線上1，點(diǎn)p在線段12pp 的反向延長(zhǎng)線上10. 注： 若點(diǎn)p分有向線段12ppuu uu r所成的比為，則點(diǎn)p分有向線段2 1p puu uu r所成的比為1. 舉例 16若點(diǎn)p分abuu u r所成的比為34，則a分bpu uu r所成的比

21、為 . 結(jié)果：73. 3. 線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)111(,)p x y，222(,)p xy，點(diǎn)( , )p x y 分有向線段12ppuuuu r所成的比為，則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式為1212,1(1).1xxxyyy. 特別地，當(dāng)1時(shí)，就得到線段12pp 的中點(diǎn)坐標(biāo)公式1212,2.2xxxyyy說明：（1）在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確( , )x y，11(,)xy、22(,)xy的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo). （2）在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比. 舉例 17（1）若( 3, 2)m，(6, 1)n，且13mpmnu

22、uu u ru uuu r，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為.結(jié)果：7( 6,)3；oxy60o平面向量基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)4 （2）已知( ,0)a a，(3,2)ba，直線12yax與線段ab交于m，且2ammbuuuu ru uu u r，則ar . 結(jié)果：或4. 十一、平移公式如果點(diǎn)( , )p x y 按向量( , )ah kr平移至(,)p x y，則,.xxhyyk；曲線( , )0f x y按向量( , )ah kr平移得曲線(,)0f xh yk.說明：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！舉例 18 （1）按向量ar把(2,3)平移到(1, 2)，則按向量ar把點(diǎn)( 7,2)平移到點(diǎn) _. 結(jié)果：( 8,3)；（2）函數(shù)sin 2yx的圖象按向量ar平移后，所得函數(shù)的解析式是cos21yx，則ar_. 結(jié)果：(,1)4. 十二、向量中一些常用的結(jié)論1. 一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；2. 模的性質(zhì)：| |abababrrrrrr. （ 1）右邊等號(hào)成立條件：a brr、 同向或 a brr、 中有 0r| |ababrrrr；（ 2）左邊等號(hào)成立條件：a brr、 反向或 a brr、 中有 0r| |ababrrrr；（ 3）當(dāng) a brr、 不共線| |abababrrr