二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理

1、二次函數(shù)得基礎(chǔ)二次函數(shù)得基礎(chǔ)一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)概念一、二次函數(shù)概念: :1.二次函數(shù)得概念:一般地,形如（就是常數(shù),)得函數(shù),叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：與一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零.二次函數(shù)得定義域就是全體實(shí)數(shù).、二次函數(shù)得結(jié)構(gòu)特征: 等號(hào)左邊就是函數(shù),右邊就是關(guān)于自變量得二次式,得最高次數(shù)就是. 就是常數(shù),就是二次項(xiàng)系數(shù),就是一次項(xiàng)系數(shù),就是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)得基本形式二、二次函數(shù)得基本形式、 二次函數(shù)基本形式:得性質(zhì):得符號(hào)開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸軸性質(zhì)時(shí)，隨得增大而增大;時(shí)，隨得增大而減?。粫r(shí),有最小值.時(shí),隨得

2、增大而減小;時(shí)，隨得增大而增大;時(shí),有最大值向下軸a 得絕對(duì)值越大,拋物線得開(kāi)口越小。2、 得性質(zhì):上加下減。得符號(hào)開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸軸性質(zhì)時(shí),隨得增大而增大；時(shí),隨得增大而減小;時(shí),有最小值.時(shí)，隨得增大而減?。粫r(shí)，隨得增大而增大;時(shí)，有最大值.向下軸、 得性質(zhì)：左加右減。得符號(hào)開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸x=h性質(zhì)時(shí),隨得增大而增大;時(shí)，隨得增大而減小;時(shí),有最小值.時(shí)，隨得增大而減??；時(shí),隨得增大而增大;時(shí),有最大值.、 得性質(zhì):得符號(hào)向下開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸x=h性質(zhì)時(shí),隨得增大而增大；時(shí)，隨得增大而減小;時(shí),有最小值.時(shí),隨得增大而減小;時(shí)，隨得增大而增大;時(shí)，有最大值.

3、向下x=h三、二次函數(shù)圖象得平移三、二次函數(shù)圖象得平移在原有函數(shù)得基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減,上加下減”.方法二:沿軸平移:向上( (下）下）平移個(gè)單位,變成(或）沿軸平移:向左(右）平移個(gè)單位,變成（或)四、二次函數(shù)與得比較四、二次函數(shù)與得比較從解析式上瞧,與就是兩種不同得表達(dá)形式,后者通過(guò)配方可以得到前者,即,其中五、二次函數(shù)圖象得畫法五、二次函數(shù)圖象得畫法五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式,確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對(duì)稱軸兩側(cè),左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖、一般我們選取得五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸得交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得點(diǎn)、與軸得交點(diǎn)，（

4、若與軸沒(méi)有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得點(diǎn))、畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開(kāi)口方向,對(duì)稱軸,頂點(diǎn),與軸得交點(diǎn),與軸得交點(diǎn)、六、二次函數(shù)得性質(zhì)六、二次函數(shù)得性質(zhì)1、 當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí),隨得增大而減小；當(dāng)時(shí),隨得增大而增大；當(dāng)時(shí),有最小值2、當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí),隨得增大而增大;當(dāng)時(shí),隨得增大而減小;當(dāng)時(shí),有最大值.七、二次函數(shù)解析式得表示方法七、二次函數(shù)解析式得表示方法1、 一般式:(,為常數(shù),)；2、 頂點(diǎn)式:(,為常數(shù),);3、 兩根式：(，,就是拋物線與軸兩交點(diǎn)得橫坐標(biāo)） 、注意:任何二次函數(shù)得解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有

5、得二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式,只有拋物線與軸有交點(diǎn),即時(shí),拋物線得解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式得這三種形式可以互化、八、二次函數(shù)得圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間得關(guān)系八、二次函數(shù)得圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間得關(guān)系1、 二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向上，得值越大,開(kāi)口越小,反之得值越小,開(kāi)口越大; 當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向下,得值越小,開(kāi)口越小,反之得值越大,開(kāi)口越大.總結(jié)起來(lái),決定了拋物線開(kāi)口得大小與方向,得正負(fù)決定開(kāi)口方向,得大小決定開(kāi)口得大小2、 一次項(xiàng)系數(shù)在二次項(xiàng)系數(shù)確定得前提下,決定了拋物線得對(duì)稱軸. 在得前提下,當(dāng)時(shí),，即拋物線得對(duì)稱軸在軸左側(cè);當(dāng)時(shí),即拋物線得對(duì)稱軸就就

6、是軸;當(dāng)時(shí),即拋物線對(duì)稱軸在軸得右側(cè). 在得前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，,即拋物線得對(duì)稱軸在軸右側(cè);當(dāng)時(shí),，即拋物線得對(duì)稱軸就就是軸;當(dāng)時(shí),即拋物線對(duì)稱軸在軸得左側(cè).總結(jié)起來(lái),在確定得前提下,決定了拋物線對(duì)稱軸得位置.得符號(hào)得判定：對(duì)稱軸在軸左邊則,在軸得右側(cè)則,概括得說(shuō)就就是“左同右異”總結(jié):3、 常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)時(shí),拋物線與軸得交點(diǎn)在軸上方,即拋物線與軸交點(diǎn)得縱坐標(biāo)為正;當(dāng)時(shí)，拋物線與軸得交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)得縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí),拋物線與軸得交點(diǎn)在軸下方,即拋物線與軸交點(diǎn)得縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來(lái),決定了拋物線與軸交點(diǎn)得位置總之,只要都確定,那么這條拋物線就就是唯一確定得二次函數(shù)解

7、析式得確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)得解析式必須根據(jù)題目得特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)眯问?，才能使解題簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1、 已知拋物線上三點(diǎn)得坐標(biāo),一般選用一般式；2、 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(小)值,一般選用頂點(diǎn)式；、已知拋物線與軸得兩個(gè)交點(diǎn)得橫坐標(biāo),一般選用兩根式;4、 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同得兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.九、二次函數(shù)圖象得對(duì)稱九、二次函數(shù)圖象得對(duì)稱二次函數(shù)圖象得對(duì)稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)、 關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后,得到得解析式就是;關(guān)于軸對(duì)稱后,得到得解析式就是;2、 關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后,得到得解析

8、式就是;關(guān)于軸對(duì)稱后,得到得解析式就是;、 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到得解析式就是；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到得解析式就是;、 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即:拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 10)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到得解析式就是;關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到得解析式就是.5、 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后,得到得解析式就是根據(jù)對(duì)稱得性質(zhì),顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線得形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此永遠(yuǎn)不變.求拋物線得對(duì)稱拋物線得表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算得原則,選擇合適得形式,習(xí)慣上就是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知得拋物線)得頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,再確定其對(duì)稱拋物線得頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,然后再寫出其對(duì)稱拋物線得表達(dá)式十、二次函數(shù)與

9、一元二次方程十、二次函數(shù)與一元二次方程: :1、 二次函數(shù)與一元二次方程得關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）:一元二次方程就是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)得特殊情況、圖象與軸得交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)時(shí),圖象與軸交于兩點(diǎn),其中得就是一元二次方程得兩根.這兩點(diǎn)間得距離、當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)時(shí),圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)、當(dāng)時(shí),圖象落在軸得上方,無(wú)論為任何實(shí)數(shù),都有;當(dāng)時(shí),圖象落在軸得下方,無(wú)論為任何實(shí)數(shù),都有.、拋物線得圖象與軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為,；3、 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié):求二次函數(shù)得圖象與軸得交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)得最大(小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式; 根據(jù)圖象得位置判斷二次函數(shù)中,，得符號(hào),或由二次函數(shù)中,得符號(hào)判斷圖象得位置，要數(shù)形結(jié)合; 二次函數(shù)得圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可利用這一性質(zhì),求與已知一點(diǎn)對(duì)稱得點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸得一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)、與二次函數(shù)有關(guān)得還有二次三項(xiàng)式,二次三項(xiàng)式本身就就是所含字母得二次函數(shù);下面以時(shí)為例,揭示二