第1章函數(shù)、極限與連續(xù)

1、1章章 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù)v1.1 函數(shù)的概念與簡單性質(zhì)函數(shù)的概念與簡單性質(zhì)v1.2 數(shù)列的極限數(shù)列的極限v1.3 函數(shù)的極限函數(shù)的極限v1.4 無窮小量和無窮大量無窮小量和無窮大量v1.5 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 1.1 函數(shù)的概念與簡單性質(zhì)函數(shù)的概念與簡單性質(zhì)v1.1.1 集合、常量與變量集合、常量與變量v1.1.2 函數(shù)的概念函數(shù)的概念v1.1.3 函數(shù)的簡單性質(zhì)函數(shù)的簡單性質(zhì)v1.1.4 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)v1.1.5 初等函數(shù)初等函數(shù)1.1.1 集合、常量與變量集合、常量與變量(1)v1. 集合具有某種特定性質(zhì)事物的總體叫做集合. 組成這個集合的事物稱為

2、該集合的元素. 一般用大寫字母a、b、c、表示集合，用小寫字母a、b、c、表示集合中的元素. 有限集；無限集.;空集，空集用 表示. 常見的數(shù)集有：全體自然數(shù)的集合記作n、全體整數(shù)的集合記作z、全體有理數(shù)的集合記作q，全體實數(shù)的集合記作r. ： ，集合的運算主要有：v集合的并：v集合的交：集合運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律等一系列性質(zhì). abab |abx xaxb或 |abx xaxb且1.1.1 集合、常量與變量集合、常量與變量(2)v2. 區(qū)間與鄰域區(qū)間:開區(qū)間(a,b); 閉區(qū)間a,b; 半開區(qū)間a,b);鄰域: 以點為中心的任何開區(qū)間稱為點的鄰域，記為 v3. 常量與變量常量與變量在

3、任何一個生產(chǎn)過程或科學(xué)實驗過程中，常常會遇到各種不同的量，其中有些量在過程中不起變化，也就是保持一定數(shù)值的量，這種量叫做常量；還有一些量在過程中是變化著的，也就是可以取不同數(shù)值的量，這種量叫做變量( )u a圖1.11.1.2 函數(shù)的概念函數(shù)的概念v定義定義設(shè)和是兩個變量，是一個給定的數(shù)集. 如果對于每一個，變量按照一定的法則(或關(guān)系)總有唯一確定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記為. 稱為自變量，稱為因變量(或函數(shù))，數(shù)集稱為這個函數(shù)的定義域，而因變量的變化范圍稱為函數(shù)的值域.函數(shù)中表示對應(yīng)關(guān)系的記號也可以用 、 等其他字母表示，此時函數(shù)記作 、 等. 分段函數(shù)分段函數(shù)，即用幾個式子分段來表示

4、一個函數(shù). f( )yx( )yf x1.1.3 函數(shù)的簡單性質(zhì)（函數(shù)的簡單性質(zhì)（1）v1. 單調(diào)性單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 從圖形上看，單調(diào)增加函數(shù)表現(xiàn)為曲線從左到右上升，單調(diào)減少函數(shù)表現(xiàn)為曲線從左到右下降. 圖1.5 圖1.6 圖1.7 圖1.8 1.1.3 函數(shù)的簡單性質(zhì)（函數(shù)的簡單性質(zhì)（2）v2. 奇偶性奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域d關(guān)于原點是對稱的，且對于任何xd，恒有f(-x)=f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；如果恒有f(-x)=-f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù). v圖1.91.1.3 函數(shù)的簡單性質(zhì)（函數(shù)的簡單性質(zhì)（3）v3. 周期性周期性通常我們

5、所說的周期指的是最小正周期. v4. 有界性有界性上界;下界 1.1.4 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)v1. 反函數(shù)反函數(shù)v2. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)v將一個函數(shù)代入另將一個函數(shù)代入另一個函數(shù)而得到的一個函數(shù)而得到的函數(shù)稱為上述兩個函數(shù)稱為上述兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù). 1.1.5 初等函數(shù)初等函數(shù)(1)v1. 冪函數(shù)冪函數(shù)v2. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)v3. 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù):指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對數(shù)函指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，記為數(shù)，記為 (a 是常數(shù)且是常數(shù)且a0, a1). yxxyalogayx1.1.5 初等函數(shù)初等函數(shù)(2)v 4. 三角函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中有

6、著廣泛的應(yīng)用. 自然界中有很多現(xiàn)象都可用三角函數(shù)來描述，如簡諧振動、交流電等. 三角函數(shù)有正弦函數(shù) 、余弦函數(shù) 、正切函數(shù) 、余切函數(shù) 、正割函數(shù) 、余割函數(shù) ，它們都是周期函數(shù). v5. 反三角函數(shù)反三角函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù). 三角函數(shù) 的反函數(shù)依次為反正弦函數(shù) 、反余弦函數(shù) 、反正切函數(shù) 、反余切函數(shù) . 其圖形分別如圖1.20、圖1.21、圖1.22和圖1.23所示. v6. 初等函數(shù)初等函數(shù)由上述五類基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和函數(shù)復(fù)合步驟構(gòu)成的函數(shù)，稱為初等函數(shù).v7. 建立函數(shù)關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系1.2 數(shù)列的極限數(shù)列的極限v1.2.1 數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的

7、定義v1.2.2 收斂數(shù)列極限的性質(zhì)收斂數(shù)列極限的性質(zhì)v1.2.3 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則v1.2.4 數(shù)列極限的四則運算法則數(shù)列極限的四則運算法則1.2.1 數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義v設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 ，如果對于任意給定的正，如果對于任意給定的正數(shù)數(shù) (無論它多么小無論它多么小)，總存在一個正整，總存在一個正整數(shù)數(shù)n，使得當(dāng)時，使得當(dāng)時nn，不等式，不等式 恒成立，則稱常數(shù)恒成立，則稱常數(shù)a為數(shù)列為數(shù)列 的極限，的極限，或稱數(shù)列或稱數(shù)列 收斂于收斂于a，記為，記為v 或或v幾何解釋幾何解釋 nxnxa nx nxlimnnxa()nxa n 1.2.2 收斂數(shù)列極限的性質(zhì)收

8、斂數(shù)列極限的性質(zhì)v定理定理1(收斂數(shù)列的有界性收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列如果數(shù)列 收斂，則數(shù)列收斂，則數(shù)列 一定有界一定有界. v定理定理2 收斂數(shù)列收斂數(shù)列 的極限是唯一的的極限是唯一的. v推論推論(1) 如果數(shù)列如果數(shù)列 無界，則它一定發(fā)散無界，則它一定發(fā)散.v推論推論(2)如果在兩個不同的點附近都密集如果在兩個不同的點附近都密集的分布著的分布著 的無窮多個點，則該數(shù)列一的無窮多個點，則該數(shù)列一定發(fā)散定發(fā)散. nx nx nx nx nx1.2.3 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則v定理定理3(單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則)單調(diào)有界數(shù)列必單調(diào)有界數(shù)列必有極限有極限. v定理定理4(夾逼

9、準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則)如果數(shù)列如果數(shù)列 、 和和 滿足下列條件滿足下列條件. v(1) v(2) v則數(shù)列則數(shù)列 的極限存在，且的極限存在，且 nx ny nznnnyxz(1,2,3,)n limlimnnnnyaza， nxlimnnxa1.2.4 數(shù)列極限的四則運算法則數(shù)列極限的四則運算法則v定理定理5(數(shù)列極限的四則運算法則數(shù)列極限的四則運算法則) 若若 v ， ，則，則v(1) v(2) v(3) limnnxalimnnyb lim()limlimnnnnnnnxyxyablim()(lim)(lim)nnnnnnnx yxyablimlim(0)limnnnnnnnxxabyyb ，1.

10、3 函數(shù)的極限函數(shù)的極限v1.3.1 x時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限v1.3.2 xx0時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限v1.3.3 函數(shù)極限的運算法則函數(shù)極限的運算法則定理2(函數(shù)極限的四則運算法則) 定理3(復(fù)合函數(shù)的極限運算法則) v1.3.4 兩個重要極限兩個重要極限定理4(函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則)1.3.1 x時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限v定義定義1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)當(dāng) 時有定義，如時有定義，如果對于任意給定的正數(shù)果對于任意給定的正數(shù) (無論它有多么無論它有多么小小)，總存在一個正數(shù)，總存在一個正數(shù)x，使得對滿足不，使得對滿足不等式等式 的一切的一切x，對應(yīng)的函數(shù)值，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足都滿足

11、 ，則常數(shù)，則常數(shù)a稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)當(dāng)當(dāng) 時的極限，記作時的極限，記作v或或 v xlim( )xf xa( )()f xa x xaxx( )f xa1.3.2 xx0時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限v定義定義2v設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點 的某一去心鄰域內(nèi)有的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的正數(shù)定義，如果對于任意給定的正數(shù) (無無論它多么小論它多么小)，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對于，使得對于滿足不等式滿足不等式 的所有的所有x，對應(yīng)，對應(yīng)的函數(shù)值的函數(shù)值f(x)都滿足不等式都滿足不等式 ，則常數(shù)則常數(shù)a稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)當(dāng)當(dāng) 時的極限，時的極限，記作記作 或或 . 0

12、 x00 xx( )f xa0 xx0lim( )xxf xa0( )()f xa xx1.4 無窮小量和無窮大量無窮小量和無窮大量v1.4.1 無窮小量無窮小量定義1 定理1 定理2 定義2 定理3 定理4 v1.4.2 無窮大量無窮大量定義3 定理5 1.5 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性v1.5.1 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性v1.5.2 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點v1.5.3 初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)v1.5.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.5.1 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性v定義定義1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的某一鄰的某一鄰域內(nèi)有定義，

13、如果域內(nèi)有定義，如果 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在點在點 處連續(xù)處連續(xù). v定義定義2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點的某一鄰域內(nèi)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果有定義，如果 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 在點在點 處連續(xù)處連續(xù). v定義定義3若若 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 在點在點 處左連續(xù)；若處左連續(xù)；若 ，則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點在點 處右連續(xù)處右連續(xù). ( )yf x0 x0lim0 xy ( )f x0 x( )yf x00lim( )()xxf xf x( )f x0 x00lim( )()xxf xf x( )f x0 x00lim( )()xxf xf x( )f x0 x1.5.2 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點v設(shè)

14、函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的某一去心鄰的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)在點在點 不連不連續(xù)，則續(xù)，則 稱是函數(shù)稱是函數(shù)f(x)一個間斷點一個間斷點. v無窮間斷點無窮間斷點 v可去間斷點可去間斷點 v第一類間斷點第一類間斷點 v第二類間斷點第二類間斷點 ( )yf x0 x0 x0 x1.5.3 初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)v定理定理1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)和和g(x)在在 處連續(xù)，處連續(xù)，則則 、 、 在在 連續(xù)連續(xù). v定理定理2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 連續(xù)，連續(xù)，且且 ，而函數(shù)，而函數(shù) 在在 處連續(xù)，處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)

15、在在 處也連處也連續(xù)續(xù). v定理定理3若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)在在 區(qū)間上連續(xù)且單區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)增加調(diào)增加(減少減少)，則其反函數(shù)，則其反函數(shù) 也在對應(yīng)也在對應(yīng)的區(qū)間的區(qū)間 上連續(xù)且單調(diào)增加上連續(xù)且單調(diào)增加(減少減少). 0 x0 x( )( )f xg x( ) ( )f x g x0( )()0)( )fxg xg x( )x0 x00()xu ( )yfx( )f u0uu0 xxxi( )xy( ),yxiy yf xxi1.5.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)v定理定理4(最大值最小值定理最大值最小值定理)若函數(shù)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)，則上連續(xù)，則f(x)在在 上一定能取得最大值和上一定能取得最大值和最小值最小值. 即存在即存在 ，使得，使得v定理定