二次函數(shù)經(jīng)典解題技巧

1、龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義課課題題教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)容教學(xué)容介紹一些些能加快速度的計(jì)算公式介紹一些些能加快速度的計(jì)算公式二次函數(shù)知識點(diǎn)總匯二次函數(shù)知識點(diǎn)總匯b 4ac b23 求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法（1）公式法：y ax bx c ax 2a4a22b4ac b2（，），頂點(diǎn)是，2a4a對稱軸是直線x b.2a（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y axhk的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對稱軸是直線x h.2（3）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方

2、法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.9.拋物線y ax2 bx c中，a,b,c的作用y ax2中的a完全一樣.y ax2 bx c的對稱軸是直線（1）a決定開口方向及開口大小，這與（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線x bbb，故：b 0時(shí)，對稱軸為y軸； 0（即a、b同號）時(shí)，對稱軸在y軸左側(cè)； 0（即a、b異aa2a號）時(shí)，對稱軸在y軸右側(cè).y ax2 bx c與y軸交點(diǎn)的位置.（3）c的大小決定拋物線當(dāng)xc： 0時(shí)，y c，拋物線y ax2 bx c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c） 0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); c 0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于

3、負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對稱軸在11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：（2）頂點(diǎn)式：y軸右側(cè)，則b 0.ay ax2 bx c.已知圖像上三點(diǎn)或三對x、y的值，通常選擇一般式.y axhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.2（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：12.直線與拋物線的交點(diǎn)y ax x1x x2.（1）y軸與拋物線y ax2 bx c得交點(diǎn)為(0,c).y軸平行的直線x h與拋物線y ax2 bx c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah2bh c).（2）與（3）拋物線與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)y ax2 bx c的

4、圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對應(yīng)一元二次方程ax2bx c 0的兩個(gè)實(shí)數(shù) 0拋物線與x軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上） 0拋物線與x軸相切；沒有交點(diǎn) 0拋物線與x軸相離.有兩個(gè)交點(diǎn)（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：同（3）一樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、1 個(gè)交點(diǎn)、2 個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2bx c k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（ 5 ） 一 次 函 數(shù)y kx nk 0的 圖 像l與 二 次 函 數(shù)y ax2bx ca 0的 圖 像g的 交 點(diǎn) ， 由 方 程 組y kx

5、ny ax2bxc的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時(shí)l與g有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)l與g只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解時(shí)l與g沒有交點(diǎn).（6）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y ax2 bx c與x軸兩交點(diǎn)為ax1，0，bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的兩個(gè)根，故的兩個(gè)根，故bcx1 x2 ,x1 x2aaab x1 x2x1 x22x1 x22b24acb 4c4x1x2 aaaa26、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離點(diǎn) p(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：（1）點(diǎn) p(x,y)到 x 軸的距離等y（2）點(diǎn) p(x,y)到 y 軸的距離等于x（3）點(diǎn) p(x,y)到原點(diǎn)的

6、距離等于x2 y25、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義如下圖，過反比例函數(shù)s=pmpn=k(k 0)圖像上任一點(diǎn)p 作xky x xy。 y ,xyk,sk。xyx 軸、y 軸的垂線pm，pn，則所得的矩形pmon 的面積考點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值考點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值4ac b2b如果自變量的取值圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值） ，即當(dāng)x 時(shí)，y最值4a2a如果自變量的取值圍是x1。 x x2，那么，首先要看bb是否在自變量取值圍x1 x x2，若在此圍，則當(dāng) x=時(shí)，2a2ay最值4ac b24a；若不在此圍，則需要考慮函數(shù)在x1 x x2圍的2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，

7、只占 3 分，但掌握這個(gè)知識點(diǎn)，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間）3、直線斜率：y y1k tan2x2 x1b為直線在y軸上的截距4、直線方程：一般兩點(diǎn)斜截距1，一般一般 直線方程ax+by+c=02，兩點(diǎn)由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式:yy1y2y1( xx1)x2x1y y1 k(x x1)-最最常用，記牢3，點(diǎn)斜知道一點(diǎn)與斜率知道一點(diǎn)與斜率4，斜截斜截式方程，簡稱斜截式: ykxb(k0)5 ，截距由直線在x軸和y軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：xy1ab記牢可大幅提高運(yùn)算速度5、設(shè)兩條直線分別為，l1：y k1x b1若l1l2：y k2

8、x b2/ l2，則有l(wèi)1/ l2 k1 k2且b1 b2。l1 l2 k1 k2 1若6、點(diǎn)p（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離:d kx0 y0bk (1)22kx0 y0bk 12對于點(diǎn) p（x0，y0）到直線滴一般式方程ax+by+c=0 滴距離有常用記牢d ax0by0ca2b22 2、 如圖，已知二次函數(shù)y ax24xc的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)a（-1， 0）和點(diǎn)b（0，-5） （1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點(diǎn)p，使得abp的周長最小請求出點(diǎn)p的坐標(biāo)20 a(1) 4(1)c,解： （1）根據(jù)題意，得2 分25 a0 40

9、c.解得a 1,3 分c 5.2二次函數(shù)的表達(dá)式為y x 4x 54 分2（2）令y=0，得二次函數(shù)y x 4x 5的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)c（5, 0）.5 分由于p是對稱軸x 2上一點(diǎn)，22連結(jié)ab，由于ab oa ob26，要使abp的周長最小，只要pa pb最小.6 分由于點(diǎn)a與點(diǎn)c關(guān)于對稱軸x 2對稱，連結(jié)bc交對稱軸于點(diǎn)p，則pa pb=bp+pc=bc，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得pa pb的最小值為bc.因而bc與對稱軸x 2的交點(diǎn)p就是所求的點(diǎn).8 分設(shè)直線bc的解析式為y kx b，根據(jù)題意，可得b 5,k 1,解得b 5.0 5k b.所以直線bc的解析式為y x 5

10、.9 分因此直線bc與對稱軸x 2的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組x 2,x 2,的解，解得y 3.y x 5所求的點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，-3）.10 分壓軸題中求最值壓軸題中求最值此種題多分類討論，求出函數(shù)關(guān)系式，再求各種情況的最值，最后求出最值。典型例題：1 如圖，在梯形 abcd 中，adbc，b90，bc6，ad3，dcb30.點(diǎn)e、f同時(shí)從 b 點(diǎn)出發(fā)，沿射線bc向右勻速移動(dòng).已知f點(diǎn)移動(dòng)速度是e點(diǎn)移動(dòng)速度的 2 倍，以ef為一邊在cb的上方作等邊efg設(shè) e 點(diǎn)移動(dòng)距離為x（x0）.efg的邊長是_（用含有x的代數(shù)式表示） ，當(dāng) x2 時(shí)，點(diǎn) g 的位置在_；若efg與梯形 abcd 重疊部分面積是

11、 y，求當(dāng) 0 x2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng) 2x6時(shí)，y與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；探求中得到的函數(shù) y 在 x 取含何值時(shí)，存在最大值，并求出最大值.解： x，d 點(diǎn)b e f cga d 當(dāng) 0 x2時(shí)，efg在梯形 abcd 部，所以y分兩種情況：.當(dāng) 2x3時(shí)，如圖 1，點(diǎn) e、點(diǎn) f 在線段 bc 上，efg與梯形 abcd 重疊部分為四邊形 efnm，fncfcn30,fnfc62x.gn3x6.由于在 rtnmg 中，g60，所以，此時(shí)y32x ；4ga dmn34x237 329 39 3（3x6）2.x x 8228.當(dāng) 3x6時(shí)，如圖 2，點(diǎn) e 在線段 bc 上，點(diǎn)

12、 f 在射線 ch 上，efg與梯形 abcd 重疊部分為ecp，ec6x,yb e f c圖 13323 39 3（6x）2.x x 822832x 在 x0 時(shí)，y 隨 x 增大而增大，4當(dāng) 0 x2時(shí)，yx2 時(shí)，y最大3；g189 37 329 39 3當(dāng) 2x3時(shí)，y在 x時(shí)，y最大；x x 77822323 39 3當(dāng) 3x6時(shí)，y在 x6 時(shí)，y 隨 x 增大而減小，x x a d8229 3x3 時(shí)，y最大.p8189 3綜上所述：當(dāng) x時(shí)，y最大77b e c f圖 2如圖，直線h35y x 6分別與 x 軸、y 軸交于 a、b 兩點(diǎn)；直線y x與 ab 交于點(diǎn) c，與過點(diǎn)

13、a 且平行于 y 軸的直線交于點(diǎn)44d.點(diǎn) e 從點(diǎn) a 出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位的速度沿 x 軸向左運(yùn)動(dòng).過點(diǎn) e 作 x 軸的垂線，分別交直線 ab、od 于 p、q 兩點(diǎn)，以 pq 為邊向右作正方形 pqmn.設(shè)正方形 pqmn 與acd 重疊部分（陰影部分）的面積為 s（平方單位） ，點(diǎn) e 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（秒）.（1）求點(diǎn) c 的坐標(biāo).（2）當(dāng) 0t0 時(shí)，直接寫出點(diǎn)（4，9）在正方形 pqmn 部時(shí) t 的取值圍.2）.】2b4ac b,【參考公式：二次函數(shù) y=ax2+bx+c 圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2a4a3y x 6,x 3,4解： （1）由題意，得解得15y .y 5x.4415）.45353（2）根據(jù)題意，得 ae=t，oe=8-t.點(diǎn) q 的縱坐標(biāo)為(8-t)，點(diǎn) p 的縱坐標(biāo)為t，pq=(8-t)-t=10-2t.4444