二次函數(shù)經(jīng)典解題技巧

1、龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義課課題題教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)容教學(xué)容介紹一些些能加快速度的計算公式介紹一些些能加快速度的計算公式二次函數(shù)知識點總匯二次函數(shù)知識點總匯b 4ac b23 求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：y ax bx c ax 2a4a22b4ac b2（，），頂點是，2a4a對稱軸是直線x b.2a（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y axhk的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線x h.2（3）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方

2、法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證，才能做到萬無一失.9.拋物線y ax2 bx c中，a,b,c的作用y ax2中的a完全一樣.y ax2 bx c的對稱軸是直線（1）a決定開口方向及開口大小，這與（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線x bbb，故：b 0時，對稱軸為y軸； 0（即a、b同號）時，對稱軸在y軸左側(cè)； 0（即a、b異aa2a號）時，對稱軸在y軸右側(cè).y ax2 bx c與y軸交點的位置.（3）c的大小決定拋物線當(dāng)xc： 0時，y c，拋物線y ax2 bx c與y軸有且只有一個交點（0，c） 0，拋物線經(jīng)過原點; c 0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于

3、負(fù)半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：（2）頂點式：y軸右側(cè)，則b 0.ay ax2 bx c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.y axhk.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.2（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點式：12.直線與拋物線的交點y ax x1x x2.（1）y軸與拋物線y ax2 bx c得交點為(0,c).y軸平行的直線x h與拋物線y ax2 bx c有且只有一個交點(h,ah2bh c).（2）與（3）拋物線與x軸的交點二次函數(shù)y ax2 bx c的

4、圖像與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)x1、x2，是對應(yīng)一元二次方程ax2bx c 0的兩個實數(shù) 0拋物線與x軸相交；有一個交點（頂點在x軸上） 0拋物線與x軸相切；沒有交點 0拋物線與x軸相離.有兩個交點（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：同（3）一樣可能有 0 個交點、1 個交點、2 個交點.當(dāng)有 2 個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2bx c k的兩個實數(shù)根.（ 5 ） 一 次 函 數(shù)y kx nk 0的 圖 像l與 二 次 函 數(shù)y ax2bx ca 0的 圖 像g的 交 點 ， 由 方 程 組y kx

5、ny ax2bxc的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時l與g有兩個交點; 方程組只有一組解時l與g只有一個交點；方程組無解時l與g沒有交點.（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y ax2 bx c與x軸兩交點為ax1，0，bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的兩個根，故的兩個根，故bcx1 x2 ,x1 x2aaab x1 x2x1 x22x1 x22b24acb 4c4x1x2 aaaa26、點到坐標(biāo)軸及原點的距離點 p(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：（1）點 p(x,y)到 x 軸的距離等y（2）點 p(x,y)到 y 軸的距離等于x（3）點 p(x,y)到原點的

6、距離等于x2 y25、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義如下圖，過反比例函數(shù)s=pmpn=k(k 0)圖像上任一點p 作xky x xy。 y ,xyk,sk。xyx 軸、y 軸的垂線pm，pn，則所得的矩形pmon 的面積考點三、二次函數(shù)的最值考點三、二次函數(shù)的最值4ac b2b如果自變量的取值圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值） ，即當(dāng)x 時，y最值4a2a如果自變量的取值圍是x1。 x x2，那么，首先要看bb是否在自變量取值圍x1 x x2，若在此圍，則當(dāng) x=時，2a2ay最值4ac b24a；若不在此圍，則需要考慮函數(shù)在x1 x x2圍的2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，

7、只占 3 分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間）3、直線斜率：y y1k tan2x2 x1b為直線在y軸上的截距4、直線方程：一般兩點斜截距1，一般一般 直線方程ax+by+c=02，兩點由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點式:yy1y2y1( xx1)x2x1y y1 k(x x1)-最最常用，記牢3，點斜知道一點與斜率知道一點與斜率4，斜截斜截式方程，簡稱斜截式: ykxb(k0)5 ，截距由直線在x軸和y軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：xy1ab記牢可大幅提高運(yùn)算速度5、設(shè)兩條直線分別為，l1：y k1x b1若l1l2：y k2

8、x b2/ l2，則有l(wèi)1/ l2 k1 k2且b1 b2。l1 l2 k1 k2 1若6、點p（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離:d kx0 y0bk (1)22kx0 y0bk 12對于點 p（x0，y0）到直線滴一般式方程ax+by+c=0 滴距離有常用記牢d ax0by0ca2b22 2、 如圖，已知二次函數(shù)y ax24xc的圖象與坐標(biāo)軸交于點a（-1， 0）和點b（0，-5） （1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點p，使得abp的周長最小請求出點p的坐標(biāo)20 a(1) 4(1)c,解： （1）根據(jù)題意，得2 分25 a0 40

9、c.解得a 1,3 分c 5.2二次函數(shù)的表達(dá)式為y x 4x 54 分2（2）令y=0，得二次函數(shù)y x 4x 5的圖象與x軸的另一個交點坐標(biāo)c（5, 0）.5 分由于p是對稱軸x 2上一點，22連結(jié)ab，由于ab oa ob26，要使abp的周長最小，只要pa pb最小.6 分由于點a與點c關(guān)于對稱軸x 2對稱，連結(jié)bc交對稱軸于點p，則pa pb=bp+pc=bc，根據(jù)兩點之間，線段最短，可得pa pb的最小值為bc.因而bc與對稱軸x 2的交點p就是所求的點.8 分設(shè)直線bc的解析式為y kx b，根據(jù)題意，可得b 5,k 1,解得b 5.0 5k b.所以直線bc的解析式為y x 5

10、.9 分因此直線bc與對稱軸x 2的交點坐標(biāo)是方程組x 2,x 2,的解，解得y 3.y x 5所求的點p的坐標(biāo)為（2，-3）.10 分壓軸題中求最值壓軸題中求最值此種題多分類討論，求出函數(shù)關(guān)系式，再求各種情況的最值，最后求出最值。典型例題：1 如圖，在梯形 abcd 中，adbc，b90，bc6，ad3，dcb30.點e、f同時從 b 點出發(fā)，沿射線bc向右勻速移動.已知f點移動速度是e點移動速度的 2 倍，以ef為一邊在cb的上方作等邊efg設(shè) e 點移動距離為x（x0）.efg的邊長是_（用含有x的代數(shù)式表示） ，當(dāng) x2 時，點 g 的位置在_；若efg與梯形 abcd 重疊部分面積是

11、 y，求當(dāng) 0 x2時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng) 2x6時，y與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；探求中得到的函數(shù) y 在 x 取含何值時，存在最大值，并求出最大值.解： x，d 點b e f cga d 當(dāng) 0 x2時，efg在梯形 abcd 部，所以y分兩種情況：.當(dāng) 2x3時，如圖 1，點 e、點 f 在線段 bc 上，efg與梯形 abcd 重疊部分為四邊形 efnm，fncfcn30,fnfc62x.gn3x6.由于在 rtnmg 中，g60，所以，此時y32x ；4ga dmn34x237 329 39 3（3x6）2.x x 8228.當(dāng) 3x6時，如圖 2，點 e 在線段 bc 上，點

12、 f 在射線 ch 上，efg與梯形 abcd 重疊部分為ecp，ec6x,yb e f c圖 13323 39 3（6x）2.x x 822832x 在 x0 時，y 隨 x 增大而增大，4當(dāng) 0 x2時，yx2 時，y最大3；g189 37 329 39 3當(dāng) 2x3時，y在 x時，y最大；x x 77822323 39 3當(dāng) 3x6時，y在 x6 時，y 隨 x 增大而減小，x x a d8229 3x3 時，y最大.p8189 3綜上所述：當(dāng) x時，y最大77b e c f圖 2如圖，直線h35y x 6分別與 x 軸、y 軸交于 a、b 兩點；直線y x與 ab 交于點 c，與過點

13、a 且平行于 y 軸的直線交于點44d.點 e 從點 a 出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度沿 x 軸向左運(yùn)動.過點 e 作 x 軸的垂線，分別交直線 ab、od 于 p、q 兩點，以 pq 為邊向右作正方形 pqmn.設(shè)正方形 pqmn 與acd 重疊部分（陰影部分）的面積為 s（平方單位） ，點 e 的運(yùn)動時間為 t（秒）.（1）求點 c 的坐標(biāo).（2）當(dāng) 0t0 時，直接寫出點（4，9）在正方形 pqmn 部時 t 的取值圍.2）.】2b4ac b,【參考公式：二次函數(shù) y=ax2+bx+c 圖象的頂點坐標(biāo)為（2a4a3y x 6,x 3,4解： （1）由題意，得解得15y .y 5x.4415）.45353（2）根據(jù)題意，得 ae=t，oe=8-t.點 q 的縱坐標(biāo)為(8-t)，點 p 的縱坐標(biāo)為t，pq=(8-t)-t=10-2t.4444