第1節(jié)向量極其線性運(yùn)算

1、1向量及其線性運(yùn)算第一節(jié)一、空間直角坐標(biāo)系二、向量及其運(yùn)算三、向量的坐標(biāo)四、小結(jié)21、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)平平面面直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系xyop),(yxxyp點(diǎn)點(diǎn)),(yx圖形圖形方程方程.面幾何問題面幾何問題可以用代數(shù)方法解決平可以用代數(shù)方法解決平:問題問題?數(shù)數(shù)方方法法解解決決空空間間幾幾何何問問題題能能否否用用代代一、空間直角坐標(biāo)系3x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合符合右手系右手系. .即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向從正向x軸以軸以2 角角 度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時(shí)，

2、大拇指的指向時(shí)，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向. 幾個(gè)基本概念、空間直角坐標(biāo)系) 1 (4xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限八個(gè)卦限、坐標(biāo)面及卦限)2(5、坐標(biāo))3(,p對(duì)于空間點(diǎn)對(duì)于空間點(diǎn)xyzop與三坐標(biāo)軸交于與三坐標(biāo)軸交于軸的平面軸的平面點(diǎn)作垂直于三個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)作垂直于三個(gè)坐標(biāo)過過,p,點(diǎn)點(diǎn)zyxxzy),(zyxp11,),(點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)為為稱稱pzyxx為橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo)x為縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)y為豎坐標(biāo)為豎坐標(biāo)z顯然顯然)0 , 0 , 0(o),(00 xaab),(00 yb),(zc00:問題問題?),(在什么位置在什么位置12

3、1pc62、空間兩點(diǎn)間的距離到原點(diǎn)的距離、點(diǎn)),() 1 (zyxpxyzo),(zyxpabcq222qpoqop222zocqp而而222aqoaoq22obx 22yx 2222zyxop222zyxop即即7設(shè)設(shè)),(1111zyxm、),(2222zyxm為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)xyzo 1mpnqr 2m?21 mmd在在直直角角21nmm 及及 直直 角角pnm1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知22212nmnmd(2)、空間兩點(diǎn)間的距離,22221nmpnpm8,121xxpm ,12yypn ,122zznm 22221nmpnpmd .21221221221zzyyxxmm

4、 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：特殊地：若兩點(diǎn)分別為若兩點(diǎn)分別為,),(zyxm)0 , 0 , 0(oomd .222zyx xyzo 1mpnqr 2m9例例 1 1 求證以求證以)1 , 3 , 4(1m、)2 , 1 , 7(2m、)3 , 2 , 5(3m三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.解解 221mm,14)12()31()47(222 232mm, 6)23()12()75(222 213mm, 6)31()23()54(222 32mm,13mm 原結(jié)論成立原結(jié)論成立.10向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.

5、 .向量表示：向量表示：以以1m為起點(diǎn)，為起點(diǎn)，2m為終點(diǎn)的有向線段為終點(diǎn)的有向線段.1m2m a21mm模長為模長為1 1的向量的向量. .21mm00a零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21mm| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：1、向量的概念或或或或或或二、向量及其運(yùn)算11自由向量：自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量不考慮起點(diǎn)位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)空

6、間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn) 與原點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量. . omm121 加法：加法：cba abc平行四邊形法則平行四邊形法則特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac 三角形法則三角形法則2、向量的加減法bac13向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 減法減法)( baba abcbabac )(ba ba ab14設(shè)設(shè) 是是一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a

7、同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa aa2a21 3、向量與數(shù)的乘法15數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.ababa ，使，使一的實(shí)數(shù)一的實(shí)數(shù)分必要條件是：存在唯分必要條件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設(shè)向量設(shè)向量定理定理0兩個(gè)向量的平行關(guān)系兩個(gè)向量的平行關(guān)系16同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|

8、aaa .|0aaa 上式表明：上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量一個(gè)與原向量同方向的單位向量.17例例1 1 化簡化簡 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 181、向量在軸上的投影與投影定理.上的有向線段上的有向線段是軸是軸，設(shè)有一軸設(shè)有一軸uabuuab.abababuuabuabab ，即，即的值，記作的值，記作上有向線段上有向線段叫做軸叫做軸那末數(shù)那末數(shù)是負(fù)的，是負(fù)的，軸反向時(shí)軸反向時(shí)與與是正的，當(dāng)是正的，當(dāng)向時(shí)向時(shí)軸同軸同與與，且當(dāng)，且當(dāng)滿足滿足如果數(shù)如果數(shù)三、向量的坐標(biāo)

9、19ouab1軸同方向的單位向量，軸同方向的單位向量，是與是與設(shè)設(shè)ue.)(eabab 的相互位置如何，的相互位置如何，三點(diǎn)三點(diǎn)軸上任意三點(diǎn)，不論這軸上任意三點(diǎn)，不論這是是設(shè)設(shè)ucba,ebceabeac)()()( 即即,)(ebcab .bcabac ,bcabac e20空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可

10、在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 21空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影u aa 過過點(diǎn)點(diǎn)a作作軸軸u的的垂垂直直平平面面，交交點(diǎn)點(diǎn)a 即即為為點(diǎn)點(diǎn)a在在軸軸u上上的的投投影影.22空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uaa bb 已知向量的起點(diǎn)已知向量的起點(diǎn)a和終點(diǎn)和終點(diǎn)b在在軸軸u上的投影分別為上的投影分別為ba ,那那么軸么軸u上的有向線段上的有向線段ba 的的值，稱為向量在軸值，稱為向量在軸u上的投影上的投影.23abjupr.ba 向量向量ab在軸在軸u上的投影記為上的投影記為關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向向量量ab在在軸軸u上上的的投

11、投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以軸軸與與向向量量的的夾夾角角的的余余弦弦：abjupr cos| ab 證證uaba b b abjuprabju pr cos| ab u 24定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負(fù)；投影為負(fù)；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 25關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理（投影定理（2 2）兩兩個(gè)個(gè)向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個(gè)個(gè)向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .prpr)(pr2121ajajaajuuuaa

12、 bb cc （可推廣到有限多個(gè)）（可推廣到有限多個(gè)）u1a2a262、向量的坐標(biāo)表達(dá)式標(biāo)表達(dá)式、起點(diǎn)在原點(diǎn)向量的坐) 1 (xyzo基本單位向量基本單位向量ikijk),(,zyxpa終點(diǎn)為終點(diǎn)為為起點(diǎn)在原點(diǎn)為起點(diǎn)在原點(diǎn)設(shè)向量設(shè)向量a),(zyxpjabcaoi xboj ycokzqqaaoqoboi xj yi xpoapqqocoqokzj yi x27的向量的向量起點(diǎn)在原點(diǎn)終點(diǎn)為起點(diǎn)在原點(diǎn)終點(diǎn)為),(zyxppoa坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)表達(dá)式kzj yi xa也可記為也可記為,zyxa 其中其中,在三坐標(biāo)軸上的投影在三坐標(biāo)軸上的投影為為azyx的坐標(biāo)的坐標(biāo)稱為稱為akzj yi x,.在三軸

13、上的分向量在三軸上的分向量稱為稱為a顯然顯然,000o,001i,010j,100k28式、任一向量的坐標(biāo)表達(dá))2(,),(為起點(diǎn)為起點(diǎn)是以是以設(shè)設(shè)111zyxabaa為終點(diǎn)的向量為終點(diǎn)的向量以以),(222zyxbxyzoababaaaobo)(kzjyix222)(kzjyix111kzzjyyixx)()()(121212,121212zzyyxxa即即29(3)、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kba

14、jbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 302例例,451321ba已知已知ba32 求求:解解 ba32,45133212,12153642,619131非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1m 2m 3、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式32xyzo 1m 2m 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaa

15、aa pqr向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式21212121rmqmpmmm ,zyxaaaamm21設(shè)設(shè)330222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,cos222zyxxxaaaaaa ,cos222zyxyyaaaaaa .cos222zyxzzaaaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式341coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量可用的方向余弦表示為特殊地：單位向量可用的方向余弦表示為35例例 4 4 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的單單位位向向量量的的分分解解式式. 解解所求向量有兩

16、個(gè)，一個(gè)與所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與 同向，一個(gè)反向同向，一個(gè)反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 36例例 6 6 設(shè)設(shè)kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x軸軸上上的的投投影影及及在在y軸軸上上的的分分向向量量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投影影為為13 xa,在在y軸上的分向量為軸上的分向量為j7.37對(duì)角線的長為對(duì)角線的長為|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平平行行四四邊邊形形的的對(duì)對(duì)角角線線的的長長度度各各為為11, 3.mn 設(shè)設(shè)jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,為邊的平行四邊形的對(duì)角線的長度為邊的平行四邊形的對(duì)角線的長度. 7例例:解解38空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式（注意它與平面直角坐標(biāo)系的（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別區(qū)別）（軸、面、卦限）（軸、面、卦限）四、小結(jié) 21221221221zzyyxxmm 39向量的概念