新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)《推理與證明》知識(shí)歸納總結(jié)

1、推理與證明知識(shí)歸納總結(jié)第一部分合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解合情推理的含義（易混點(diǎn)）理解歸納推理和類比推理的含義，并能運(yùn)用它進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理（重點(diǎn)、難點(diǎn)）了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用（難點(diǎn)）一、知識(shí)歸納：合情推理可分為歸納推理 和類比推理 兩類：歸納推理 : 1.歸納推理 :由某類事物的部分 對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象 具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí) 概括出 一般結(jié)論 的推理，稱為歸納推理 .簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到 整體 、由 個(gè)別 到一般 的推理 . 2.歸納推理的一般步驟:第一步，通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì); 第二步，從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想

2、） . 思考探究 : 1.歸納推理的結(jié)論一定正確嗎? 2.統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，是否屬歸納推理? 題型 1 用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律1、觀察：7152 11；5.516.52 11；331932 11；. 對(duì)于任意正實(shí)數(shù),a b，試寫出使2 11ab成立的一個(gè)條件可以是 _. 點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特征特征是被開(kāi)方數(shù)之和為22，故22ba推理與證明推理證明合情推理演繹推理直接證明間接證明類比推理歸納推理分析法綜合法反證法數(shù) 學(xué) 歸 納2、蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖 . 其中第一個(gè)圖有1 個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖

3、有 7 個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19 個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以( )f n表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則(4)f=_;( )f n=_. 【解題思路】找出)1()(nfnf的關(guān)系式解析 ,1261)3(,61)2(, 1) 1(fff37181261)4(f133)1(6181261)(2nnnnf總結(jié)：處理“遞推型”問(wèn)題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系類比推理1.類比推理 :由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類 對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有 這些特征的推理.簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊 到特殊 的推理 . 2.類比推理的一般步驟:第一步：找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征 ；第二步：用一類對(duì)

4、象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想 . 思考探究 : 1.類比推理的結(jié)論能作為定理應(yīng)用嗎? 2.(1)圓有切線，切線與圓只交于一點(diǎn)，切點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.由此結(jié)論如何類比到球體? (2)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論? 題型 2 用類比推理猜想新的命題例已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的13，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_. 【解題思路】從方法的類比入手解析 原問(wèn)題的解法為等面積法，即hrarahs3121321，類比問(wèn)題的解法應(yīng)為等體積法，hrsrshv4131431即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高41總結(jié)： （1）不僅要注意形式的類

5、比，還要注意方法的類比（2）類比推理常見(jiàn)的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等合情推理1.定義 :歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理 .簡(jiǎn)言之，合情推理就是合乎情理的推理 . 2.推理的過(guò)程 : 從 具 體 問(wèn) 題 出發(fā)觀察、分析、 比較、聯(lián)想歸納、類比思考探究 : 1.歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系? 1）歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，

6、它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。2）類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。第二部分演繹推理學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解演繹推理的含義（重點(diǎn)）掌握演繹推理的模式，會(huì)利用三段論進(jìn)行簡(jiǎn)單推理（重點(diǎn)、難點(diǎn)）合情推理與演繹推理之間的區(qū)別與聯(lián)系一、知識(shí)歸納：演繹推理的含義: 1.演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論 . 演繹推理又叫邏輯 推理 . 2.演繹推理的特點(diǎn)是由一般到特殊 的推理 . 思考探究 : 演繹推理的結(jié)論一定正確嗎? 演繹推理的模式1.演繹推理的模式采用“三段論”:(1

7、)大前提已知的一般原理 (m 是 p); (2)小前提所研究的特殊情況 (s 是 m); (3)結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷(s是 p). 2.從集合的角度看演繹推理: (1)大前提 :xm 且 x 具有性質(zhì)p; (2)小前提： ys且 sm (3)結(jié)論： y 具有性質(zhì)p . 演繹推理與合情推理提出猜想合情推理與演繹推理的關(guān)系:(1)從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特說(shuō)的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理. (2)從推理所得的結(jié)論來(lái)看，合情推理的結(jié)論不一定正確 ，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.

8、 第三部分直接證明與間接證明學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。2、了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。知識(shí)歸納：三種證明方法 : 綜合法、分析法、反證法分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中， 分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題。對(duì)于解答證明來(lái)說(shuō)，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。反證法：它是一種間接

9、的證明方法. 用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：(1) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2) 根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理, 直到推理中導(dǎo)出矛盾為止(3) 斷言假設(shè)不成立(4) 肯定原命題的結(jié)論成立用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)； (2)歸謬； (3)結(jié)論。重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問(wèn)題或證明數(shù)學(xué)命題考點(diǎn) 1 綜合法在銳角三角形abc中, 求證 :cbacbacoscoscossinsinsin解析 abc為銳角三角形，baba22，xysin在)2,0(上是增函數(shù)，bbacos)2sin(sin同理可得cbco

10、ssin，accossincbacbacoscoscossinsinsin考點(diǎn) 2 分析法已知0ba, 求證baba解析 要證baba，只需證22)()(baba即baabba2，只需證abb，即證ab顯然ab成立，因此baba成立總結(jié)：注意分析法的“格式”是“要證-只需證 - ” ，而不是“因?yàn)? 所以 - ”考點(diǎn) 3 反證法已知) 1(12)(axxaxfx，證明方程0)(xf沒(méi)有負(fù)數(shù)根【解題思路】 “正難則反” ，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾解析 假設(shè)0 x是0)(xf的負(fù)數(shù)根，則00 x且10 x且12000 xxax112010000 xxax，解得2210 x，

11、這與00 x矛盾，故方程0)(xf沒(méi)有負(fù)數(shù)根總結(jié)：否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多第四部分?jǐn)?shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。2掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的方法，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題3能通過(guò)“歸納- 猜想 - 證明”處理問(wèn)題。知識(shí)歸納：數(shù)學(xué)歸納法的定義：一般地 , 當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n的所有正整數(shù)n都成立時(shí) , 可以用以下兩個(gè)步驟 : (1) 證明當(dāng) n=n0時(shí)命題成立 ; (2) 假設(shè)當(dāng) n=k（ ?+，且 ? ?0）時(shí)命題成立,證明 n=k+1 時(shí)命題也成立. 在完成了這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)于不小于n

12、0的所有正整數(shù)都成立. 這種證明方法稱為 數(shù)學(xué)歸納法 . 1數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無(wú)窮的歸納有限的演繹（遞推關(guān)系）2數(shù)學(xué)歸納法步驟：（1） （遞推奠基） ：當(dāng) n 取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；（2） （遞推歸納） ： 假設(shè)當(dāng) n=k(kn*，且 kn0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng) n=k+1 時(shí)結(jié)論也正確。 （歸納證明）由 (1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n 都正確。例 1 已知 n 是正偶數(shù)， 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)n=k（2k且為偶數(shù)） 時(shí)命題為真， ，則還需證明（）a.n=k+1 時(shí)命題成立 b. n=k+2時(shí)命題成立 c. n=2k+2時(shí)命題成立 d. n=2（k+

13、2）時(shí)命題成立解析 因 n 是正偶數(shù)，故只需證等式對(duì)所有偶數(shù)都成立，因k 的下一個(gè)偶數(shù)是k+2，故選 b 總結(jié)：用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意觀察幾個(gè)方面：（1）n 的范圍以及遞推的起點(diǎn)（2）觀察首末兩項(xiàng)的次數(shù)（或其它），確定 n=k 時(shí)命題的形式)(kf（3）從) 1(kf和)(kf的差異，尋找由k 到 k+1 遞推中，左邊要加（乘）上的式子例 2、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2) 1(21)1(3221nnn解析 （1）當(dāng) n=1 時(shí)，左 = 2，右 =2，不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k 時(shí)等式成立，即2) 1(21) 1(3221kkk則)2)(1() 1(21)2)(1()1(32212kkkkkkk02)2()1()2)(1(