極值點(diǎn)偏移問題專題

1、極值點(diǎn)偏移冋題專題（0）偏移新花樣（拐點(diǎn)偏移）例1已知函數(shù)f x 21 n x x2 x，若正實(shí)數(shù)xi , X2滿足f為+f x2 =4 ,求證：x1 x22。證明：注意到 f 1 =2， f x1 +f x2 =2f 1f x1 +f x2 =2f 1r2 c ref x =+2x 10xf x = j 2，f 1 =0，則（1,2 ）是f x圖像的拐點(diǎn)，若拐點(diǎn)（1,2）x也是f x的對稱中心，則有x! x2=2，證明x! x2 2則說明拐點(diǎn)發(fā)生 了偏移，作圖如下想到了“極值點(diǎn)偏移”，想到了“對稱化構(gòu)造”，類似地，不妨將此問題命名為“拐點(diǎn)偏移”，仍可用“對稱化構(gòu)造”來處理.不妨設(shè)0人1 X2

2、，要證x-ix22x22x-i1f x2f 2x14f為f 2為4f x-)f 2 x-)2x:2 x 22x12 x得F x在0,1上單增，有F x F 14，得證。2、極值點(diǎn)偏移PK拐點(diǎn)偏移常規(guī)套路0)為 x22怡2、拐點(diǎn)偏移fX。0(1)(2)極值點(diǎn)偏移問題專題x1.xx1 x2 2xqr （ 1）對稱 .-化構(gòu)造（常規(guī)套路）（2010天津）求函數(shù)f x已知函數(shù)g1 時(shí)，f X已知函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間和極值;x的圖像與fxe%X1x的圖像關(guān)于直線x 1對稱，證明:(3)如果x1 x，且f xi f x2，證明:Xi x 2.，得fo)在(一比1上/在(i+衛(wèi))上 ,/(力有極大值/(i)

3、=- r無極小值;e(2) 的團(tuán)像與/(jc)的圏像關(guān)于直線兀"對稱”則鞏©的解忻貳為y = /(2-x),構(gòu)這輔助函數(shù)F(工)二/(尤)一 &(*) = /(刃卩工)F(xK) + /(r= e_r(l-x)+cI_3(x-ll訴W)當(dāng)Q1時(shí).x-l>0 f e-e"1 >0 r則r(x)>0 得凡工|在(1,P)上單増制F(x)>F(l)=0 即 f()>g(x).(3) 由結(jié)合川工)的單調(diào)性可設(shè)旺"吒可將花代入(2 )中不爭式得, V/(jq) = /(x,)故-乜).又禺 <12-乞 <1 r/H

4、l在I；-®)上單眉故西> 2兩f衛(wèi)+兩>2來瀝:微信公眾號(hào)中學(xué)數(shù)學(xué)硏討部落點(diǎn)評：該題的三問由易到難，層層遞進(jìn)，完整展現(xiàn)了處理極值點(diǎn)偏移問題的一般方法對稱化構(gòu)造的全過程，直觀展示如下：例1是這樣一個(gè)極值點(diǎn)偏移問題：對于函數(shù)f x xeX，已知f x1f x2 ，x1x2，證明 Xjx22 .再次審視解題過程，發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1) Xi, X2 的范圍 0 Xi 1 X2 ;(2) 不等式 f x f 2 x x 1 ;(3) 將X2代入(2)中不等式，結(jié)合f x的單調(diào)性獲證結(jié)論. 把握以上三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，就可輕松解決一些極值點(diǎn)偏移問題.例2（2016新課標(biāo)I卷）已知函數(shù)

5、f x x 2 ex a x 1 2有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求a的取值范圍；（2） 設(shè)xi , X2是f x的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：xi X2 2 .解：（1）0,，過程略；（2）由（1）知f x在 ,1上，在1, 上Z，由f為 f X2 0 , 可設(shè)為1 x .構(gòu)造輔助函數(shù)F x f x f 2 xF x f x f 2 xx 1 ex 2a 1 x e2 x 2ax 1 ex e2 x當(dāng) x 1 時(shí)，x 1 0 , ex e2 x 0，則 F x 0 ,得 F x 在,1 上 Z , 又 F1 0，故 Fx 0 x 1，即 fx f 2 x x 1 .將治代入上述不等式中得f f X2 f 2 ，又X

6、2 1 , 21 ,f x在1, 上Z，故 x1 2 x1 , x1 x2 2 .通過以上兩例，相信讀者對極值點(diǎn)偏移問題以及對稱化構(gòu)造的一般步 驟有所了解.但極值點(diǎn)偏移問題的結(jié)論不一定總是 X1 X22X0，也可以是X1X2£，借鑒前面的解題經(jīng)驗(yàn)，我們就可給出類似的過程.例3已知函數(shù)f x xlnx的圖像與直線y m交于不同的兩點(diǎn)A X1, y1 , B X2,y2，求證：2 .e證明：（i ） f x ln x 1,得fx在0,1上，在丄， 上Z ;當(dāng)0 x 1 ee時(shí)，fx 0 ； f 10 ；當(dāng) x 1 時(shí)，fx 0 ；當(dāng) x 0 時(shí)，fx 0（洛10X1x2 1 .e（ii）

7、構(gòu)造畫數(shù)戸氏匸“劉一/ 丁rJ_尸（工）（小縣f e x 1+ki）=（1+呵十7）-1 +ln x + 11f 1A當(dāng) 0 弋耳 <-時(shí)，l+lnjf<0 r 15<0則 r（x）>0 r 得戸（工| 在 0.- ；±/ ,有（iil）梅兩代入（II）中不寺?lián)舻?（西）<e兀I心）同雹<-y .來瀝：微信公眾號(hào)中學(xué)數(shù)學(xué)硏討胡落 e"上/ r 故 X, < -小結(jié)：用對稱化構(gòu)造的方法解極佳點(diǎn)偏移問題大致分為以下三步:stepl :求導(dǎo)，獲得f x的單調(diào)性，極值情況，作出f x的圖像，由f xi f X2得Xi , X2的取值范圍（數(shù)形結(jié)合）；step2 :構(gòu)造輔助函數(shù)（對結(jié)論Xi X22x。，構(gòu)造2F x f x f 2Xq x ;對結(jié)論 xx2x：，構(gòu)造 F x f x f jX° ）,x