三垂線定理的證明及應(yīng)用教案

1、三垂線定理的證明及應(yīng)用教案三垂線定理的證明及應(yīng)用教案教學(xué)目的使學(xué)生掌握三垂線定理及其應(yīng)用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猬想和論證能力.教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)和新課引入師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)直線與平面的垂直關(guān)系，請(qǐng)大家回答幾個(gè)問(wèn)題：(1)直線與平面垂直的定義.(2)直線與平面垂直的判定定理.(3)何謂平面的斜線、斜線在平面上的射影.生：略.師：(板書(shū))設(shè)斜線2Da=0,作出J在平面a上的射影.(師生共同完成圖1.學(xué)生敘述畫(huà)法，教師畫(huà)圖，再次深化概念.)平面的垂線、斜線及斜線在平面上的射影是三垂線定理的基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生溫故而 知新是十分必要的.二、猜想與發(fā)現(xiàn)師：根據(jù)直線和平面垂直的定義，我們知道，平面內(nèi)的任意一條直線都

2、和平面的垂 線垂直.現(xiàn)在我們想一想，平面內(nèi)的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？（演示教具：用兩根鐵絲在桌面上演示，學(xué)生容易看出平面內(nèi)的任意一條直線，并 不一定和平面的一條斜線垂直.）師：那么，是否平面內(nèi)的所有直線都不和平面的一條斜線垂直呢？演示教具：如圖2,設(shè)直線1（鐵絲）和平面a （桌面）斜交，使直線山（鐵絲）和1 垂直，把直線m沿直線1平行移動(dòng)到平面a內(nèi)的n的位置，此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面a內(nèi)有 直線與平面的斜線垂直.師；如果我們把鐵絲m在平面內(nèi)平行移動(dòng)，使其到不同的位置（直線），那么，這些 直線與鐵絲垂直嗎？學(xué)生根據(jù)“兩條異面直線所成的角”的原理也很快判定這些直線與1（鐵絲）垂 直.1

3、師：平面內(nèi)一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂直呢？即怎樣判定平 面內(nèi)的直線與平面的一條斜線垂直呢？指導(dǎo)學(xué)生用三角板和鉛筆在桌面上搭成模型（如圖3）,使鉛筆與三角板的斜邊垂 直，引導(dǎo)學(xué)生觀察猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律.經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)鉛筆和三角板在平面a內(nèi)的直角邊 垂直時(shí)便與斜邊垂直.師：（啟發(fā)）如何歸結(jié)為數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？（學(xué)生們恍然大悟，終于發(fā)現(xiàn)了，平面內(nèi)的一 條直線如果和平面的斜線的射影垂直就和平面的斜線垂直.）師：實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果是否正確還得進(jìn)行證明.引入新課是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié),新課引入得好，這節(jié)課就成功了一半，教師根 據(jù)教與學(xué)的實(shí)際，提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，從而調(diào)動(dòng) 了

4、學(xué)生的積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的探索能力，體現(xiàn)了教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)思想.三、證明師：現(xiàn)在我們把由實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論表達(dá)成命題的形式.（學(xué)生敘述，教師板書(shū).）已知：如圖4, PA、P0分別是平面a的垂線和斜線，A0是P0在平面a上的射影,acci, alAO.求證：a±P0.國(guó)4師：這是證明兩條直線互相垂直的問(wèn)題.在立體幾何中怎樣證明兩條直線互相垂直 呢？（學(xué)生思考、議論，教師歸納.）師：常用的方法是證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面.現(xiàn)在要證明a_L平面PAO呢？只要證明a_L平面PAO內(nèi)的兩條相交直線即可.證明（師生共同完成.）PA1C1a C丁> AOla= al 平面

5、PA。AOnPA = APO C 平面PAO師：這個(gè)命題的證明，體現(xiàn)了 “由線面垂直證線線垂直”的方法.這個(gè)方法很重要, 大家要給以足夠的重視.上述命題反映了平面內(nèi)的一條直線、平面的斜線和斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影這三者 之間的垂直關(guān)系.這就是有名的三垂線定理.下面請(qǐng)大家根據(jù)已知條件和結(jié)論，把三垂 線定理完整地表達(dá)出來(lái).（學(xué)生敘述，教師板書(shū).）三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么 它也和這條斜線垂直.這樣由具體到抽象地研究問(wèn)題，能夠培養(yǎng)學(xué)生的概括能力.從“猜想”到“證明” 是質(zhì)的升華！是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的重要素質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生證明猬想結(jié)果，總結(jié)定理，比 直接給出定理

6、記得牢，理解得深刻，又能培養(yǎng)學(xué)生的能力.四、剖析定理師：（逐字逐句地閱讀定理，同時(shí)圈點(diǎn)重要字眼，并提出下面幾個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生討論.）（1）本定理的證明過(guò)程是對(duì)水平位置的平面a而進(jìn)行的.那么定理對(duì)其他位置的平 面是否成立？并說(shuō)明理由.（2）直線a是平面a內(nèi)垂直于AO的任意一條直線,a和斜線P0的位置關(guān)系有幾種？ 反映三垂線定理的圖形有幾種可能的情況？并畫(huà)出圖形.（學(xué)生分組討論，教師巡回指導(dǎo)，適時(shí)點(diǎn)撥，解答疑難，啟發(fā)誘導(dǎo)，掌握討論情況, 然后教師總結(jié).）師：（1）三垂線定理對(duì)任意位置的平面都成立.因?yàn)槎ɡ碇胁](méi)有水平平面的限 制.定理的實(shí)質(zhì)是研究平面內(nèi)的一條直線與這個(gè)平面的斜線及斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影

7、 三者的垂直關(guān)系，與平面的位置無(wú)關(guān).（2）因?yàn)閍是平面a內(nèi)的任意一條直線，所以a與斜線P0的位置關(guān)系有兩種情況: 一是不過(guò)斜足0的異面垂直；一是過(guò)斜足0的相交垂直.反映三垂線定理的圖形有四種 情況（如圖5）.(3)圖5以上四種情況的圖形在證題時(shí)都是經(jīng)常遇到的，應(yīng)該靈活運(yùn)用三垂線定理.a不過(guò) 斜足。時(shí)的情況容易被忽略，這是證題時(shí)確定三垂直關(guān)系的一個(gè)難點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)給以足夠的 重視.剖析定理是幾何教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié).通過(guò)剖析，可以加深對(duì)定理的理解，為 應(yīng)用定理奠定基礎(chǔ)，這是提高教學(xué)質(zhì)量的重要措施.五、定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用是學(xué)習(xí)定理的重要環(huán)節(jié).它既能鞏固所學(xué)知識(shí)又能培養(yǎng)能力.師：請(qǐng)同學(xué)們證明下題：已知：

8、如圖6,。是ABC的垂心，PO_L平面ABC,連結(jié)PA.求證：BCXPA.囪6（學(xué)生思考后，教師分析.）師；根據(jù)題意，P。是平面的垂線，顯然PA是平面A3C的斜線,而B(niǎo)CU平面ABC,所以，要證明BC_LPA,只要證明BC垂直P(pán)A在平面ABC上的射影即可.那么，怎 樣確定PA的射影呢？請(qǐng)大家把證明過(guò)程寫(xiě)在練習(xí)本上.（同時(shí)指定一學(xué)生上黑板板演.）生：（板演）因?yàn)镻O、PA是平面的垂線和斜線，連結(jié)A0且延長(zhǎng)交BC于D（圖7）,則 A0是PA在平面ABC上的射影.又0是AABC的垂心，所以AD_LBC,由三垂線定理可得 BCXPA.F圖7師：請(qǐng)談?wù)勛C明的思路.生：先找出平面的垂線、斜線以及這條斜線在

9、平面上的射影，.師：他回答完整嗎，生：應(yīng)先確定一個(gè)平面及平面內(nèi)的一條直線.師：這點(diǎn)補(bǔ)充得好！三垂線定理是證明空間兩條直線互相垂直的重要方法,應(yīng)用三 垂線定理的思維過(guò)程是：“一定"定平面及平面內(nèi)的一條直線；“二找”找這個(gè)平面的垂線、斜線及斜線在這個(gè)平面上的射影；“三證”一證明平面內(nèi)的一條直線與射影垂直.在復(fù)雜圖形中應(yīng)用三垂線定理時(shí)，需要先確定反映三垂線定理的基本圖形，然后 才能著手證明，因而掌握三垂線的證題步驟是十分必要的.師：我們來(lái)研究第二道題.（板書(shū).）已知：正方體ABCD-ABCD.求證：（DAQJLBG； （2）AQJ_平面GDB.先考慮ACJLBC如何證明？圖aB(在此指導(dǎo)下

10、，學(xué)生們通過(guò)認(rèn)真觀察，獨(dú)立思考，確定平面BCCH及平面內(nèi)的一條 直線BQ, AB是平面BCC瓜的垂線，AC是斜線，從而找到了反映三垂線定理的基本圖 形.連結(jié)BC 用三垂線定理證明樂(lè)C_LBC，.)證明略.師：把第小題作為條件證明第小題，只需再證A,C_LBD就可以了.學(xué)生連結(jié)AC,順利地證明了 A£_LBD,第(2)小題的證明就水到渠成了.證明過(guò)程 是：由(1)得 AglBC同理證AglBD卜nAgl平面C】DB.BCDDB 二 B師：在數(shù)學(xué)證明中，相同的證明方法可用“同理可證”代替推理過(guò)程.但必須注意 推理的嚴(yán)密性.例如，上面的證明過(guò)程中，要防止漏掉BGGDB=B.(證明時(shí)，有些同

11、 學(xué)漏掉了這一點(diǎn)，經(jīng)教師指導(dǎo)才改正，“同理”的運(yùn)用也是如此.)講定理的應(yīng)用時(shí)，關(guān)鍵是選好例題.這兩道題的安排是由易到難，第一道題是直 接應(yīng)用定理，第二道題難度增大，要求學(xué)生在復(fù)雜的圖形中通過(guò)觀察和分析確定反映三 垂線定理的基本圖形，再應(yīng)用定理，以培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用定理的能力.六、小結(jié)(師生共同進(jìn)行.)(1)本節(jié)課的教學(xué)可概括為四個(gè)字：猜、證、剖、用，即猜想平面內(nèi)的直線與平面 的斜線垂直的特征；證明三垂線定理；剖析定理的內(nèi)容；應(yīng)用定理證題.(2)敘述三垂線定理的內(nèi)容，定理的證明方法是證明空間兩條直線互相垂直的基本 方法，稱為線面垂直法.(3)此定理是空間兩條直線垂直的判定定理，與平面的位置無(wú)關(guān).運(yùn)用定理的步驟 是：“一定、二找、三證明”.七、課外作業(yè)課本習(xí)題：略.補(bǔ)充題：寫(xiě)出三垂線定理的逆定理，并加以證明.課后扎記學(xué)生們反映這樣講定理好，記