離散頻譜校正技術及其在發(fā)動機扭轉振動測試分析中的應用

1、講座1離散頻譜校正技術及其在發(fā)動機扭轉振動測試分析中的應用一、頻譜分析頻譜分析是現(xiàn)代信號處理技術的最基本和常用的方法之一，在生產實踐和科學研究川獲得日益廣泛的應用。 例如，對汽車、飛機、輪船、汽輪機等各類旋轉機械、電機、機床等機器的主體或部件進行實際運行狀態(tài)下的 譜分析，可以提供設計數(shù)據(jù)和檢驗設計效果，或者尋找振源和診斷故障，保證設備的安全運行等；在聲納系統(tǒng) 中，為了尋找海洋水面船只或潛艇，需要對噪聲信號進行譜分析，以提供有用信息，判斷艦艇運動速度、方向、 位置、大小等。因此對譜分析方法的研究，受到普遍注意和重視，是當前信號處理技術中一個十分活躍的課題。在頻譜分析屮需要考慮兩個重要的問題，一是

2、怎樣提高分析速度，包括釆用fft等各類算法、減少分析點 數(shù)等；二是怎樣提高分析精度，這需要采用加窗、頻譜修正等技術壓低旁瓣、抑制泄漏或修正吋域截斷的彫響。1 傅立葉級數(shù)(1) 周期信號與傅立葉級數(shù)一個周期信號f(t),當滿足狄義赫利(dirichlet)條件，即：周期性函數(shù)在一個周期內只有有限個極值點，只 有有限個第一類間斷點(這種間斷點處左、右極限存在)，而其余各處都是連續(xù)的，這時可以用一個傅立葉級數(shù) 來表示：/w =+£d“ cos®如+休 sin(h690r)/=1- ( (1.1.1)n=i式中：do =*；：/("力(1.1.2)j = ¥ 匸

3、：/ cos(®m(1.1.3)bn =力(1-1.4)為靜態(tài)分量，t為信號周期，./o為基頻且/0 = /t , ”0為第n次諧波的頻率(n二1,2, 3) = 27t/t = 20o為基頻園頻率。第n次諧波的幅值：4” = 賦 + b；(1.1.5)第n次諧波的初相位：(pn = tan-1 (1.1.6)(2) 傅立葉級數(shù)的物理意義a. 任意一個周期函數(shù)，只要滿足一定條件，都可以由以基頻f的諧波與整數(shù)倍基頻的高次諧波的和，這就是 周期信號合成的原理。b. 周期信號中的任一階頻率成分的幅值、相位都可以通過傅立葉級數(shù)展開得到，這是周期信號分解的原理,在機械振動分析屮，常用這一原理來

4、求旋轉機械基頻以及高次諧波的幅值和相位。也就是說周期函數(shù)的頻譜實 質上是由一系列與基頻人有關的離散頻譜構成，基波頻率人和譜線間隔勾；都是1/t。c. 這一原理也可以擴展來求周期信號的（m, k均為正整數(shù)，kvm）倍諧波，只要將新周期擴大 為原周期的m倍，在機械振動分析小，常用這一原理來求旋轉機械渦流振動的半頻成分和扭振中有理數(shù)分頻成 分的幅值和相位。根據(jù)式1.1.3和1.1.4,周期信號的+（m, k均為正整數(shù)，kvm）倍諧波的實部和虛部可變換為：2 cmt,2 . 、 r(nm + k) n 7= yj_/mz/2/(ocoscddt2 rmt/2. (nm + k) t fb伽+約2/ws

5、inlco.tdt相應的幅值和相位為:(nm + k )j a (nm +k)d. 利用整周期信號的傅立葉級數(shù)展開求出的基頻以及高次諧波的幅值和相位對應于對同一周期信號進行 整周期截斷做傅立葉變換（dft）求得的各條譜線的幅值和相位。其實質是対周期信號進行整周期采樣、無泄漏離 散dft求出的基頻和高次倍頻的幅值和相位。第n階的幅值和相位為：&二仏2+礦nan（3）傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式存在有下列關系：p 一丿如+»哪 cos（g）/）=iz?溝3 q-j30sin（/2 690r）=-j；將（1.1.15）代入（1丄1）中并整理得：84) = 5+工(c0叫+j小訕

6、)/?=!式中:c = =(b ja )n2""c =(/?+ /6z )72"n若令（1.1.15）式中第三項n取值從-co到-1,則該項可表示為工 j嚴r,于是得到另一種傅立葉級數(shù)的展開 式，即指數(shù)展開式：式中，c”為傅立葉系數(shù):c呂曬時7( =0,±1,±2,)(1丄18)c”為一復數(shù)，故將上式稱為周期信號的復數(shù)形式傅立葉展開式。由于n可取負數(shù)，4fo就意味著“負頻率”, 這是由復數(shù)表示所引起的。例：周期方波的傅立葉級數(shù)展開函數(shù)表達式為：t0<t<-/(0 =-a2t <t<t2滿足狄義赫得條件,其傅立葉級數(shù)存在。

7、ao = °2an =二 ¥(facos=02n7rt .cosatt2”加-ro1-7/t qcos(l1.20)b=zfl rrf、 inm . )sinattasmat- t/tt.兀tjeo2/177jxasmat- t/asnat)t卜t 2nm 八 asmat)” =12 (i.l21)2a 2acos/77tn7t n7t則:j4a4a34a4a5tzt7tt1 -0 a死罰 f圖1.1.1周期方波的傅立葉級數(shù)式屮九=1/7/(/)二玆 sin/:=12n7t4a. 2加4。. 6加4a. 10加sin+sin+ sin+ 兀 t3兀 t兀 t4ci4

8、6;4q=萬血(2曲)+壽sin(6曲)+弟sin(10曲)+5龍2.傅立葉變換(1) 傅立葉變換傅立葉級數(shù)是將周期信號分解為離散譜線，其積分的上、下限必須滿足整周期的條件，也只能分析離散譜 線，具有很大的局限性。對于一個非周期信號，我們可以把它看成-個周期t趨于無窮大的周期信號，這種信 號的基頻辦、譜線問隔紂。都將變成無窮小而趨近于零。顯然，這時組成頻譜的譜線越來越密集，從而使離散 譜線過渡到連續(xù)頻譜，由此可引出傅立葉變換對的概念。傅立葉正變換的定義：(1.2.1)(1.2.2)幵/)二匚/不曲力傅立葉逆變換的定義是：傅立葉正變換和逆變換構成一個傅立葉變換對，其典型表達式如下:(1.2.3)

9、傅立葉變換的物理意義是建立了吋間域和頻率域的關系，可以將連續(xù)的吋間域函數(shù)變換成連續(xù)的頻率域函 數(shù)，觀察信號的頻率分布；也可以將連續(xù)的頻率域函數(shù)變換成連續(xù)的時間域函數(shù)，觀察信號的波形特征。(2) 脈沖函數(shù)的傅立葉變換建立脈沖函數(shù)的傅立葉變換是重要的，因為它的使用可極大的簡化許多函數(shù)傅立葉變換的推導。a. 脈沖函數(shù)力(/)定義為：oot = 0心 0(124)f 8 (t)dt = 1j 8/函數(shù)的篩選特性(采樣特性)：匸 力=x(0)(1.2.5)(1.2.6)j x 8t - txt)dt = x(/0 )(1.2.7)其川無(。是在(0處連續(xù)的任意函數(shù)。應用脈沖函數(shù)序列的傅立葉級數(shù)展開的定義

10、可以直接得到許多重要 函數(shù)的傅立葉變換。b.力函數(shù)的傅立葉變換函數(shù)為：兀(/) = k8t)(1.2.8)5函數(shù)的傅立葉變換為j oo=keq=k(129)x(/)的傅立葉逆變換為：x(r) =、二 ke df=k j"jcos( 17tft)df + jk 匚 sin( 17tft)df(1210)因為第二個積分的被積函數(shù)是奇函數(shù)，在對稱區(qū)間的積分為零。第一個積分要使用廣義函數(shù)的概念才能算 出(參見papoulis的書第281頁)為：x(r) =kej2df = kcos(2勿)妙=jooj8(1211)即存在下列關系式:匸嚴加妙二匚cos( 2勸)0*(/)(1212)(1213

11、)ji e dt =匚 cos( 27rft)dt = 5(/)這個關系式是推導許多傅立葉變換的基礎j也豪嚴)圖1.2.1 /函數(shù)的傅立葉變換(3) 兒種典型信號的傅立葉變換給出一些典型信號的傅立葉變換對，了解它們變換過程和結果，可使我們進一步加深對傅立葉變換的理解,深入認識信號從時域到頻域的轉換過程，為今后的推導和了解傅立葉變換的性質提供幫助。a.余弦信號的傅立葉變換x（r）= acos（2 型/）其傅立葉變換為:x（/）=f acos（2勸?！睍缫詣窦觠 8j2耐+ £-丿2 刃(/+/o)(1215)j2加(“九)根據(jù)（1213）式有：aa(1216)x（/） = y（/-/0

12、） + y（/ + /0） 余弦信號的傅立葉變換為純實數(shù)，虛部為零，見圖122。亍兀r+幾）3)尹（/-幾）-/o0 /f（q時域波形（b）.傅立葉變換圖122余眩信號的傅立葉變換余弦信號的傅立葉變換對：(1217)4cos（2 硏/） o/o） + fs（/+辦）b. 正弦信號的傅立葉變換(1218)%（/）= a sin（2對j/）參考（1.2.13）式，其傅立葉變換為：x（./asin（2磯”不曲力=丄4曲嚴叫-曲力j 2 jp=_淪嚴皿）_2曲+叫2 =-丿矢（/-辦）+丿哼5（/+/。）正弦信號的傅立葉變換為純虛數(shù)，實部為零，見圖123。 正弦信號的傅立葉變換對：圖123正弦信號的傅

13、立葉變換+ /()ayw-/o)(1.2.20)c. 一般諧波信號的傅立葉變換(1.2.21)x(r)= acos(2;/ + 觀)參考(12式，其傅立葉變換為：x(/) =匚acos(2如的叭* =”(2肘0"陽)+妙0"處)卜-/2和力(1.2.22)弓廠(/-無)+ £廠治+ /j =£次/一 托)cos 此 + jsin 亦+ £§(/ + 托)cos0) jsin£)sin 規(guī)=q/(/ z)cos©)+空/(/ + /)cos©> +j- fa)sin- 3(f一般諧波信號的傅立葉變換為

14、復數(shù)，見圖124。顯然令00=0°，貝9(1221)變?yōu)?x(/) = y<j(/-/o)+y(/ + /o)即余弦信號的傅立葉變換令0o=9o°,貝9(1221)變?yōu)?x(/) = -j(/-/0)+jy(/ + /0)即正弦信號的傅立葉變換一般諧波信號的傅立葉變換對：(1.2.23)a cos(2 磯 f + 0 j o y 8if -/j cos 如 +£/(/ + ./； j cos+ j 力(/ 一 /o)sin 00(/ + /o)sin 0()(a) 時域波形j cos仇亍/一幾)cos血a寸gh)sin 仇*o幾f0 幾fa(/幾)sin血(

15、b).傅立葉變換圖124 般諧波信號的傅立葉變換d. 直流信號的傅立葉變換兀($) = k(1.2.24)參考(1.2.13)式，其傅立葉變換為:=k 匚 cos( 2兀ft )dt=k(/)(1.2.25)直流信號的傅立葉變換為純實數(shù)，是頻率為零而幅值為k的§函數(shù)，見圖125。 直流信號的傅立葉變換對：k o w)k f欣)«嚴(1.2.26)0t0q).吋域波形(b).傅立葉變換圖125直流信號的傅立葉變換e. 矩形窗的傅立葉變換矩形脈am < toa(l2.27)xo =y|/| = ±r00t傅立葉變換=cos(2硼)力-丿馮打 sin(2 硼)df

16、aja(1.2.28)77 sin(2 對兀)-sin(-2 對兀)+ -± cos(2 對兀)-cos(-2 對乙)2砒2可-w(f)1-t0t t時域信號圖126矩形窗的時域信號與窗譜模函數(shù)令積分區(qū)間為|-r/2,t/2l即新區(qū)間為原區(qū)間的一半，則上式變?yōu)?x(/)= at （ "jt、sm（二一）2兀jt2sin(x(0)= atcotf哈明(hann i ng)和海寧(hamm i ng)窗d + (l-q)c()s(加/ 仏)0(1.2.29)考慮被積函數(shù)為奇函數(shù)時積分為零，其傅立葉變換為:令:a 4-（1- a） cos（學jf-"頑 dt詢；廠力+（

17、 _心嚴任|嚴刃c sin（2/t（.）/ 、m （加）=2血好+（5l嚴日 =2血疇厶（-ox（/f則(1.2.30)可以寫為:cos（2勸）+ 丿 sin（2 勸）mcos(2和)力=a+ 丄（一幺）j； cos（空 + ijtft） + cos（ - 27vf't）dt20t（）人=a "2嚴' + 斗（1 一a）/； cos2加（/ + 十）+ cos2加（/ + 當）m 血2愿）（/ + *） sin2 龍7；（/ +龍（/ +丄）27；3 （）7t（f） 27；x（f） = aq（f-a）q（1.2.30）（1.2.31）（1.2.32）哈明(hannin

18、g) w：令e 5,新的區(qū)間為原區(qū)間的-半，即“少哈明(hanning)窗的傅立葉變換為:（、1 sin（ jtft ） x"fsin rct廠)右+丄v t)sin ttt f-+ i rv兀f i ）t）（1233）令4 = 2砒,貝9(1233)式變換為:sin（卑）.x（69）=匸=v 72 co 41t2嚴頭+判sin4-60島（1234）令:（1235）則(1234)式變換為:x(q = *q(q)+2tua)+ t )/+ q co亍丿(1.2.36)(b) 傅立葉變換圖127哈明(hanning)窗的傅立葉變換哈明(hanning)窗的傅立葉變換對:(1.2.37)x

19、(/) =1 sin(勿)24%7171(1238)海寧(having) w：令a=0.54,新的區(qū)間為原區(qū)間的-半，即"知參照哈明亦斶窗的傅立葉變換推導得到海亍窗的傅立葉變換對:0.5 - 0.46cos(%壯(1239)x(/j = 054s"n©7)+0 23< 1、r 1、sin/+tsintf一一t17丄1 /2%( /-丄t /(1.2.40)（q.吋域波形（b）.傅立葉變換圖1.2.8海寧（ilammi ng）窗的傅立葉變換g.脈沖序列（采樣函數(shù)）用脈沖序列（采樣函數(shù)）傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式展開式進行傅立葉變換得:(1.2.41)xrm &quo

20、t;弘叫v,孚（）(1.2.42)(b)】cz)-l/a/=-7o1/az = /o/（a）時域波形（b）傅立葉級數(shù)圖129脈沖序列（釆樣函數(shù)）函數(shù)的傅立葉變換時域 曲）頻域x(/)線性相加 如+曲）線性相加 x&）+2）時間尺度的改變 xkt）頻率尺度的改變ki u丿（3）傅立葉變換的性質表4.1.1傅立葉變換的性質時間尺度的改變頻率尺度的改變 x(幼)1 i兀4丿對稱性 燦)對稱性4-/)時間位移 x(o)相移x(f)小2磯調制頻率位移x"-九)實、偶函數(shù)實、偶函數(shù) xe(f)=raf)實、奇函數(shù) 兀0("虛、奇函數(shù)x°(/)二。(/)實函數(shù) 兀ck)

21、實部為偶函數(shù) 虛部為奇函數(shù)x二心+兒虛函數(shù))= jao)實部為奇函數(shù) 煨部為偶函數(shù) x(n=&&)+兒(力時域卷積定理40 加)x(/) h(r)兩時域信號卷積的傅立葉變換 為各信號傅立葉變換的乘積頻域卷積定理w) 加)xh®兩時域信號相乘的傅立葉變換 為各信號傅立葉變換的卷積fx(r>(z)=x(/)*w(/)巴什瓦定理x(/)時域信號的總能量等于 頻域中計算的總能量 £/(訕二匚|x(/f妙3.頻譜分析(1) 頻譜分析的基本用途圖131是典型時域信號的頻譜分析，其實質是諧波(余弦波)分解確定諧波的頻率、幅值和相位，其特 點是把復雜的吋域信號變換成簡

22、潔的頻率信號，一目了然的觀察到信號有哪些頻率，其相位和幅值大小是多少, 可對信號進行簡明和直觀的分析。圖1.3.1典型吋域信號的頻譜分析(2) .頻譜的作法(離散傅立葉變換dft)時域連續(xù)信號x(t)的采樣信號為x(n) - %(!)& (?) =_ 血v)=班込)n = 0,±1,±2,±8卜為釆樣間隔。離散傅立葉變換為：%(/)=匚兀力頻率、時間離散化得：(1.3.1)(1.3.2)x(k) = £ x(nt)ej2mtn = -oo(1.3.3)進行時域截斷，得到實際計算的離散頻譜為n-l也丄x伙)=工兀(泌/)n fs/j=0二-jknh

23、=0(1.3.4)n-l=x4)cos(n=0式中k為譜線號，n為時域序列長度，y = v-taf-i2 龍實部x r(k) = x(n)cos( z：h)/=on(1.3.5)nt2兀虛部x,伙)=一 £xo)sin(加)n=0n_ 込 令w =嚴,則n-1 x仏)=£兀0)“如?i=0w"-n=w"(1.3.6)(1.3.7)市此有離散傅立葉變換對:1 匕jknx(n) = xx(k)e “n w=ox 伙)=£ xn)e nn=0 = 0,l,，nl£ = 0,l,，n l(1.3.8)這就是離散傅立葉變換(dft)的基本公式。

24、(3)由dft的結果作譜ftldft 得到：實部 r(k) £ = 0,1,nl 虛部人伙)k=0,l,7v-l幅值譜£ = (),1,n l(1.3.9)功率譜b二右住(£) + /：“)k = 0,l,n_(1310)對數(shù)譜c() = 10 logb() = 20 loga(k) (db)分貝(1.3.11)相位譜(1312)上述四種譜£=0,1,n / 2 1是正頻率部分；k =jv/2,.,/v_l是負頻率部分。幅值譜代表了該諧波頻率時域信號的有效值，是時域信號各諧波的幅值隨頻率的線性分布；功率譜代表功 率，是諧波頻率時域信號幅值的自乘，突出主要

25、頻率成分；對數(shù)譜反應平均主義，小值加大權，大值加小權， 突出幅值小的頻率成分。譜圖橫坐標確定頻率：f = fk af頻率分辯率(1.33)» fs 采樣頻率(hz)分析點數(shù)(山以n=8為例，fs=80hz,圖1.3.2是某信號的譜分析結果，要特別注意圖屮橫坐標正負頻率的關系。 對實信號來說，dft實部為偶對稱，虛部為奇對稱，故幅值譜為偶對稱，如圖1.3.3所示。-40 -30 -20 -100 10203040506070 f (hz)(1 1) 123|4|567 k(0n-l)j負頻率正頻率負頻率圖1.3.2譜分析橫坐標止負頻率的關系幅值譜系數(shù)的說明：a. 由于作dft為n點投影

26、累加，故n增大，x(k)增大，以直流為 例很容易理解這一點，為使譜分析幅值能反應信號的實際幅值大小, 故應除以n,這樣a(0)就是均值；b. 由于作dft后有一半的能量到了負頻率區(qū)域，故要真實反應 信號幅值，應乘以2,這樣系數(shù)就是2/n；頻譜分為雙邊譜和單邊譜, 雙邊譜是指正負頻率都存在時的頻譜，單邊譜是指只存在正頻率部 分，把負頻率部分的能量疊加到相應正頻率部分，即正頻率部分幅 值乘2時的頻譜。c. 按照電學上的習慣，對正弦交流信號，有效值為峰值的1/v2, 故為使幅值譜反應交流信號的有效值，這樣：幅值譜系數(shù)幅值譜中a(/) =如信號為xr) = asin(乃班/)a為幅值d. 頻譜的幅值有

27、三種表示方法，一種是有效值譜，一種是單峰值譜，一種是雙峰值譜。單峰值譜就是上式 幅值譜乘以系數(shù)血，雙峰值譜是上式幅值譜乘以系數(shù)2血。各種頻譜分析儀器根據(jù)測試分析對象的不同采用 英屮的一種，如用電渦流相對式位移傳感器測試分析旋轉機械軸相對軸承的振動位移時采用雙峰值譜；測齒輪a(k)ai箱箱體的振動吋多采用有效值譜。(4)由譜分析的結果合成時域波形(相位6的含義)圖1.3.4是某信號的譜分析結果，根據(jù)此結果合成的時域信號為:e(k)0 切aa兀=右 cos( 2 妙 / + & j + 定 cos( 2硏 / + 2)( 1.3.圖1.3.5相位o對應于時間序列起點的位置但要說明，ftld

28、ft而得到的相位角0誤差極大，最大誤差達±90°。4信號處理的里程碑：時域到頻域的轉換(1) .快速傅立葉變換fft (fast fourier transform)的歷史概述在十九世紀六十年代中期的美國“總統(tǒng)科學i咨詢委員會”的一次會議期間，加文(garwin)注意到圖基正在 寫有關傅立葉變換的文章。當時加文在他自己的研究中，極需要一個計算傅立葉變換的快速方法，因此，他詳 細詢問了圖基關于計算傅立葉變換的技術知識。圖基概括地對加文介紹了一種方法，它實質上就是后來著名的 庫利一圖基算法。隨后加文就到約克敦(yprktown heights)的ibm研究所計算中心去，請求把該方法程序化。當時，庫利是ib m研究中心的一個比較新的工作人員，由于他是唯一的一個沒有重要工作的人，因此主動承擔了這個任務。在 加文的迫切要求下，庫利很快設計出一個計算機程序，之后他就回到自己的工作項目上去，他以為這個題目已 經結束，可以把它忘掉。然而，人們紛