第03節(jié)模擬方法（幾何概型）——概率的應(yīng)用

1、考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)幾何概型2017-全國(guó)卷i t45分屬于面積之比的兒何概型數(shù)學(xué)運(yùn)算2016全國(guó)卷ii t8-5分屬于長(zhǎng)度之比的幾何概型數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析幾何概型的考查主要是幾何概型概念的理解以及如何把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為幾何概型，幾何概型所涉及的幾何度量一般是長(zhǎng)度、面積、體積、角 度等，難度不大，一般出現(xiàn)在選擇題中.課前回潁教材招知識(shí)清單1. 模擬方法對(duì)于某些無(wú)法確切知道概率的問(wèn)題，常借助模擬方法來(lái)估計(jì)某些隨機(jī)事件發(fā)生的概 率.用 模擬方法 可以在短時(shí)間內(nèi)完成大量的重復(fù)試驗(yàn).2. 幾何概型(1) 向平面上有限區(qū)域(集合)g內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)m,若點(diǎn)m落在 了區(qū)域5一 g的概 率與g的 面

2、積 成正比,而與g的 形狀、 位置 無(wú)關(guān),即p(點(diǎn)m落在gj=!gi的面積g的面積則稱這種模型為幾何概型.(2) 兒何概型屮的g也可以是 空間中 或 直線上 的有限區(qū)域,相應(yīng)的概率是 體 積之比或長(zhǎng)度之比3. 幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1) 無(wú)限性：.在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果 有無(wú)限多個(gè)(2) 等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.4. 幾何概型的概率公式構(gòu)成事件4的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)尸=試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積).提醒：辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1) 幾何概型中，線段的端點(diǎn)，圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.(2) 易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點(diǎn)是基本事件的發(fā)

3、生是等可能的，不同之處 是幾何概型中基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限的.氐|小題查檢1. 判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“ 丁”，錯(cuò)誤的打“x”)(1) 幾何概型中，每一個(gè)基本事件都是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域 屮的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等.()(2) 在兒何概型定義屮的區(qū)域可以是線段、平面圖形或空間兒何體.()(3) 與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).()(4) 兒何概型與古典概型中的基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，其基本事件個(gè)數(shù)都有 限.()答案：(1)7(2)v(3)x(4)x2. 在線段0,3上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為()a.

4、*b.扌c. |d. 1解析：選b為幾何概型，屬于長(zhǎng)度之比，長(zhǎng)度為3,本事件對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度為1,概率為3. (2017-全國(guó)卷i )如圖，正方形abcd內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切 圓屮的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的屮心成屮心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn) 取自黑色部分的概率是()解析：選b 不妨設(shè)正方形abcd的邊長(zhǎng)為2,則正方形內(nèi)切圓的半徑為1,可得s正方由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得s x=s白=戸h = 2s 爭(zhēng) 2 7t 所以由幾何槪型知所求槪率=tt77=q-故選b.5正方彫 22 o4. (教材習(xí)題改編)在四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面

5、扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是()abcd解析：選a 由幾何槪型知識(shí)可求得四個(gè)選項(xiàng)的概率分別為g,a中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)最犬.課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一與長(zhǎng)度（角度）有關(guān)的幾何概型明技法1.與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型如杲試驗(yàn)的結(jié)杲構(gòu)成的區(qū)域的兒何度量可用長(zhǎng)度表示，可直接用概率的計(jì)算公式求解.2.與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概 率，且不可用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段.提能力【典例】（1）（2016-全國(guó)卷ii）某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持 續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到

6、該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率 為（）a工e §10f 8c.d.3io4015 5解析：選b 至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為-4q=|,故選b.（2）如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線07落在30。角的終邊上，任作一條射線0a,則 射線0a落在z.yot內(nèi)的概率為.解析：如題圖，因?yàn)樯渚€04在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，所以04落在yot內(nèi)的概率為60° _1360° = 6-刷好題1.（2017-江蘇卷）記函數(shù)夬對(duì)=乜6+兀一,的定義域?yàn)閐在區(qū)間4,5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x, 則xd的概率是.解析：由 6+x“no,解得一2wxw3, .'

7、;.£>=2,3-如圖，區(qū)間-4z5的長(zhǎng)度為9,定義域d的長(zhǎng)度為5,:p=k-4,習(xí)h-4 -3 -2 -1 0 1234 5 力答案：i2.如圖所示，在abc中，zb=60°, zc=45°,高人=前，在abac內(nèi)作射線am 交bc于點(diǎn)m,則bm< 的概率為.解析：因?yàn)?zb=60。，zc=45。，所以 zbac=75°. 在 rtzxabd 中，ad=書,zb=60。，ah所以 bd=t?6（r=u zbad=30。，記事件n為“在zbac內(nèi)作射線am交bc于點(diǎn)m,使bm<v ,則可得zbamvzbad時(shí)事件n發(fā)生.30°

8、2由幾何概型的概率公式得p（n）=務(wù)答案二與體積有關(guān)的幾何概型明技法與體積有關(guān)的幾何概型的求法對(duì)于與體積有關(guān)的兒何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積（總空間）以及事件的體積（事 件空間），對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件求解.提能力【典例】已知在四棱錐/mbcd屮，丄底面abcd,底面abcd是正方形，pa=ab2=2,在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)o,則三棱錐o的體積不小于彳的概率為解析：如圖所示，設(shè)ad, bc, pc, pd的中點(diǎn)分別為e, f, g, h,當(dāng)點(diǎn)o在幾何體2cdefgh內(nèi)部或表面上時(shí)，vo-pay 在幾何體cdefgh中，連接gd, ge,則5=ug-cdef+又 yp-a

9、bcd=f 則所求概率為§=花3d答案爲(wèi)刷好題1. 一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點(diǎn)m是ab的中點(diǎn)，一只蝴蝶在兒何體adf-bce內(nèi)口由飛翔，則它飛入幾何體f-amcd內(nèi)的概率為（）b.d.解析：選d因?yàn)?人四邊形人血:必尸二才/, v八df-bce=¥ ,護(hù)1所以它飛入幾何體f-amcd內(nèi)的概率為=2-2.在棱長(zhǎng)為2的正-方體abcd aibiciqi中，點(diǎn)0為底面abcd的中點(diǎn)，在正方體abcdab|cd|內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)p,則點(diǎn)p到點(diǎn)0的距離大于1的概率為（）b.兀12解析：選b 點(diǎn)p到點(diǎn)0的距離大于1的點(diǎn)位于以o為球心，以1為半徑的半球外.記234xfx13”“點(diǎn)

10、p到點(diǎn)o的距離大于1 ”為事件m,則p(m)=尹=1 一巨.與面積有關(guān)的幾何概型析考情在高考中與面積有關(guān)的兒何概型是高考?？伎键c(diǎn)，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度 屬于屮等，分值5分.提能力命題點(diǎn)與平面圖形面積有關(guān)的幾何概型【典例1】已知菱形abcd的邊長(zhǎng)為4, zabc=150。，若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn) 到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離大于1的概率為()解析：選d 由題設(shè)菱形abcd的邊長(zhǎng)為4, zabc=150°,知菱形的面積sabcd=2x xabxbcxsin 150°=4x4x|=8,設(shè)事件m為“該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離大于1”，則事件m對(duì)應(yīng)的區(qū)域是菱形內(nèi) 部且在以頂

11、點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓外的部分，如圖所示，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得 8 7t71p(m)=1-.命題點(diǎn)2：與線性規(guī)劃知識(shí)交匯命題的幾何概型【典例2 (2018-鄭州模擬)若不等式,+),202所表示的平面區(qū)域?yàn)閙,不等式組 xy0f表示的平面區(qū)域?yàn)閚,現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域n內(nèi)拋-粒豆子則豆子落在區(qū)域m內(nèi)兀一6的概率為.解析：作出不等式組與不等式表示的可行域如圖所示，平面區(qū)域n的面枳為|x 3x(67t+2)=12,區(qū)域m在區(qū)域n內(nèi)的面積為+兀(、吃)2=號(hào)，故所求概率戸=春=占-50402010y x=30 x=5010203)4050答案£悟技法求解與面積有關(guān)的兒何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域以求而積，必要時(shí)可根據(jù) 題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.刷好題某校早上8： 00開(kāi)始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上.7： 307： 50之i'可到校,且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為(用數(shù)字作答).解析：設(shè)小張與小王的到校時(shí)間分別為7: 00后第兀分鐘，第