天一專升本高數(shù)知識點

1、第一講函數(shù)、極限、連續(xù)1、基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像，尤其是圖像包含了函數(shù)的所有信息。2、函數(shù)的性質，奇偶性、有界性奇函數(shù)： f ( x)f ( x) ，圖像關于原點對稱。偶函數(shù)： f ( x)f ( x) ，圖像關于 y 軸對稱3、無窮小量、無窮大量、階的比較設 ，是自變量同一變化過程中的兩個無窮小量，則（ 1）若lim0，則是比高階的無窮小量。c （不為（ 2）若lim0），則與 是同階無窮小量特別地，若 lim 1，則 與 是等價無窮小量（ 3）若 lim ，則 與 是低階無窮小量記憶方法：看誰趨向于0 的速度快，誰就趨向于0 的本領高。4、兩個重要極限（ 1） lim sin x

2、limx1x 0xx0 sin x使用方法：拼湊lim sinlim sin0 ，一定保證拼湊sin 后面和分母保持一致001x1（ 2） lim1lim (1x) xexxx01lim (1)e0使用方法1 后面一定是一個無窮小量并且和指數(shù)互為倒數(shù)，不滿足條件得拼湊。a0 , nm5、 lim Pnxb00, nmxQmX, nmPnx 的最高次冪是n,Qm x 的最高次冪是m.,只比較最高次冪， 誰的次冪高， 誰的頭大， 趨向于無窮大的速度快。 nm ,以相同的比例趨向于無窮大； nm ，分母以更快的速度趨向于無窮大；n m ，分子以更快的速度趨向于無窮大。精選文庫7、左右極限左極限： l

3、im f ( x)Axx0右極限： lim f ( x)Axx0lim f ( x)A充分必要條件是 lim f ( x)lim f ( x) Ax x0x x0x x0注：此條件主要應用在分段函數(shù)分段點處的極限求解。8、連續(xù)、間斷連續(xù)的定義： limylimf (x0x) f ( x0 ) 0x0x 0或 limf (x)f ( x0 )x x0間斷：使得連續(xù)定義limf ( x) f ( x0 ) 無法成立的三種情況x x0f (x0 )不存在， f ( x0 )無意義lim f ( x)不存在xx0lim f ( x)f ( x0 )x x0記憶方法： 1、右邊不存在2、左邊不存在3、左

4、右都存在，但不相等9、間斷點類型（ 1）、第二類間斷點：limf ( x) 、 limf ( x) 至少有一個不存在xx0x x0（ 2）、第一類間斷點：limf ( x) 、 limf ( x) 都存在xx0x x0可去間斷點：lim f ( x)lim f (x)x x0x x0跳躍間斷點：lim f ( x)lim f (x)x x0x x0注：在應用時，先判斷是不是“第二類間斷點” ，左右只要有一個不存在，就是“第二類”然后再判斷是不是第一類間斷點；左右相等是“可去” ，左右不等是“跳躍”10、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（ 1）最值定理：如果f ( x) 在 a,b 上連續(xù)，則f (x)

5、在 a, b 上必有最大值最小值。（ 2）零點定理：如果f (x) 在 a,b 上連續(xù)，且f ( a) f (b) 0 ，則 f (x) 在 a,b內至少存在一點，使得 f ( )02精選文庫第三講中值定理及導數(shù)的應用1、 羅爾定理如果函數(shù) yf (x) 滿足：（ 1）在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)；（ 2）在開區(qū)間（ a,b）內可導；（3） f (a)f (b) ，則在 (a,b)內至少存在一點，使得f ( )0記憶方法：腦海里記著一幅圖：ab2、 拉格朗日定理如果 yf ( x) 滿足（ 1）在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)（ 2）在開區(qū)間（ a,b）內可導；則在 (a,b)內至少存在一點f (b)f

6、(a)，使得 f ( )ab腦海里記著一幅圖：ab（ * ）推論1 ：如果函數(shù)yf (x) 在閉區(qū)間a,b 上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內可導，且f (x)0 ，那么在 (a, b) 內 f ( x) =C 恒為常數(shù)。記憶方法：只有常量函數(shù)在每一點的切線斜率都為0。（ * ）推論 2：如果f (x), g( x) 在 a, b 上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b) 內可導，且f ( x)g ( x), x(a,b) ，那么 f ( x)g( x)c記憶方法：兩條曲線在每一點切線斜率都相等3、 駐點滿足 f ( x)0 的點，稱為函數(shù)f (x) 的駐點。幾何意義：切線斜率為0 的點，過此點切線為水平線4、極

7、值的概念3精選文庫設 f ( x) 在點 x0 的某鄰域內有定義，如果對于該鄰域內的任一點x,有 f ( x)f ( x0 ) ，則稱 f ( x0 ) 為函數(shù)f (x) 的極大值， x0 稱為極大值點。設 f (x) 在點 x0 的某鄰域內有定義，如果對于該鄰域內的任一點x,有 f ( x)f (x0 ) ，則稱 f ( x0 ) 為函數(shù)f (x) 的極小值， x0 稱為極小值點。記憶方法：在圖像上，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。5、 拐點的概念連續(xù)曲線上，凸的曲線弧與凹的曲線弧的分界點，稱為曲線的拐點。注 yx3在原點即是拐點6、 單調性的判定定理設 f (x) 在 (a,b)

8、內可導，如果f ( x)0 ，則 f (x) 在 ( a,b) 內單調增加；如果 f ( x)0 ，則 f ( x) 在 (a,b) 內單調減少。記憶方法：在圖像上凡是和右手向上趨勢吻合的，是單調增加，在圖像上凡是和左手向上趨勢吻合的，是單調減少，7、 取得極值的必要條件f(x)0 ；f( x)0 ；可導函數(shù) f ( x) 在點 x0 處取得極值的必要條件是f ( x0 )08、 取得極值的充分條件第一充分條件：設 f (x) 在點 x0 的某空心鄰域內可導，且f (x) 在 x0 處連續(xù)，則（ 1）如果 xx0時， f(x)0;xx 時， f (x)0,那么 f (x) 在x0 處取得極大值

9、f ( x0 ) ；0（ 2）如果 xx0時， f(x)0；xx 時， f (x)0，那么 f (x) 在 x0 處取得極小值f ( x0 ) ；0（ 3）如果在點x的兩側， f(x) 同號，那么 f ( x) 在x處沒有取得極值；004精選文庫記憶方法：在腦海里只需記三副圖，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。第二充分條件：設函數(shù) f (x) 在點 x0 的某鄰域內具有一階、二階導數(shù)，且f( x0 )0， f ( x0 )0則 （1）如果 f ( x0 )0 ，那么 f (x) 在 x0 處取得極大值f ( x0 ) ；（2）如果 f ( x0 )0 ，那么 f (x) 在 x0 處取得

10、極小值f ( x0 )9、 凹凸性的判定設函數(shù) f (x) 在 (a,b) 內具有二階導數(shù)， （ 1）如果 f ( x)0, x( a,b) ，那么曲線f (x) 在 ( a,b) 內凹的；（2）如果 f ( x) 0, x( a,b) ，那么 f (x) 在 (a,b) 內凸的。圖像表現(xiàn)：凹的表現(xiàn)凸的表現(xiàn)10、漸近線的概念曲線 f ( x) 在伸向無窮遠處時，能夠逐步逼近的直線，稱為曲線的漸近線。（ 1）水平漸近線：若 lim f ( x)A,則 yf (x) 有水平漸近線 y Ax(2) 垂直漸近線：若存在點x0， lim f ( x)，則 yf (x) 有垂直漸近線 x x0x（ 2）求

11、斜漸近線：若limf ( x), limf(x)axb ，則y axb為其斜漸近線。xaxx5精選文庫11、洛必達法則遇到“ 0 ”、“”，就分子分母分別求導，直至求出極限。0如果遇到冪指函數(shù)，需用f ( x)eln f ( x)把函數(shù)變成“0”、“”。0第二講 導數(shù)與微分1、 導數(shù)的定義（ 1）、 f ( x0 )limy limf ( x0x) f ( x0 )0x 0x0（ 2）、 f ( x0 )limf (x0h)f (x0 )h 0h（ 3）、 f (x0 )limf (x)f (x0 )x x0xx0注：使用時務必保證x0 后面和分母保持一致，不一致就拼湊。2、 導數(shù)幾何意義：f

12、 ( x0 ) 在 xx0 處切線斜率法線表示垂直于切線，法線斜率與f ( x0 ) 乘積為 13、 導數(shù)的公式，記憶的時候不僅要從左到右記憶，還要從右到左記憶。4、 求導方法總結（1）、導數(shù)的四則運算法則uvuv(u ? v)u ? vv ? uuu vv uvv2（ 2）、復合函數(shù)求導：yfx 是由 yf (u) 與 u(x) 復合而成，則dydy ? dudxdudx（ 3）、隱函數(shù)求導對于 F ( x, y)0 ，遇到 y，把 y 當成中間變量u，然后利用復合函數(shù)求導方法。6精選文庫（ 4）、參數(shù)方程求導x(t)dydy(t )確定一可導函數(shù) ydt設(t )f ( x) ，則dx(t

13、 )ydxdtdyd ( dy )d 2 yd ()dxdxdtdx2dxdxdt(5) 、對數(shù)求導法先對等號兩邊取對數(shù)，再對等號兩邊分別求導（ 6）、冪指函數(shù)求導冪指函數(shù) yu(x)v( x) ，利用公式 aeln aln u ( x )v ( x )ev( x ) ln u ( x )y e然后利用復合函數(shù)求導方法對指數(shù)單獨求導即可。第二種方法可使用對數(shù)求導法，先對等號兩邊取對數(shù)，再對等號兩邊分別求導注：優(yōu)選選擇第二種方法。5、 高階導數(shù)對函數(shù) f ( x) 多次求導，直至求出。6、 微分dyy dx記憶方法：微分公式本質上就是求導公式，后面加dx，不需要單獨記憶。7、 可微、可導、連續(xù)之

14、間的關系可微可導可導連續(xù)，但連續(xù)不一定可導8、 可導與連續(xù)的區(qū)別。腦海里記憶兩幅圖（1）（ 2）yx2 在 x=0 既連續(xù)又可導。yx 在 x=0 只連續(xù)但不可導。所以可導比連續(xù)的要求更高。7精選文庫第四講不定積分一、原函數(shù)與不定積分1、 原函數(shù)：若F ( x) f ( x) ，則 F ( x) 為 f (x) 的一個原函數(shù)；2、 不定積分：f (x) 的所有原函數(shù) F ( x) +C 叫做 f ( x) 的不定積分，記作f (x)dx F ( x) C二、不定積分公式記憶方法：求導公式反著記就是不定積分公式三、不定積分的重要性質1、f (x)dxf (x)或d f (x)dx f (x)dx

15、2、f (x)dxf (x) c注：求導與求不定積分互為逆運算。四、積分方法1、 基本積分公式2、 第一換元積分法（湊微分法）把求導公式反著看就是湊微分的方法，所以不需要單獨記憶。3、 第二換元積分法axb,令taxba2x2令 xa sin t三角代換x2a2令xa sectx2a2令xa tan t三角代換主要使用兩個三角公式：sin 2 t cos2 t 1, 1 tan2 t sec2 t4、 分部積分法udvuvvdu第五講定積分1、定積分定義bnlimf ( i )xia f (x) dxx0 i1如果 f ( x) 在 a,b上連續(xù)，則f (x) 在 a, b 上一定可積。理解：

16、既然在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上形成的就是一個封閉的曲邊梯形，面積存在所以一定可積，因為面積是常數(shù)，所以定積分如果可積也是常數(shù)。2、定積分的幾何意義如果 f (x) 在 a, b 上連續(xù)，且 f ( x)0 ，則ba, x b, x 軸所圍成的（ 1）f ( x) dx 表示由 f (x) ， xa8精選文庫b曲邊梯形的面積。 S= af ( x)dx 。如果 f (x) 在 a, b 上連續(xù)，且 f ( x)0， S=b（ 2）a f ( x)dx 。3、定積分的性質：bb（ 1）a kf ( x)dxk a f ( x)dxbbb（ 2） af ( x)g (x)dx =af ( x)d

17、xag (x)dxbcb（ 3） a f ( x)dxa f ( x)dxc g( x)dxbbaaab（ 4）1dxf ( x) dx 0f ( x)dxf (x)dxaababb（ 5）如果 f ( x)g( x) ，則 af ( x)dxa g( x)dx（ 6）設 m,M 分別是 f ( x) 在 a,b 的 min, max, 則m(ba)bM (ba)f ( x) dxaMm記憶：小長方形面積曲邊梯形面積大長方形面積（ 7）積分中值定理b如果 f (x) 在 a,b 上連續(xù)，則至少存在一點a,b ，使得 a f ( x)dxf ()(ba)記憶：總可以找到一個適當?shù)奈恢?，把凸出來?/p>

18、部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲邊梯形變成一個長方形。1稱babaf (x)dx為 f (x) 在 a, b 上的平均值。4、 積分的計算（ 1）、變上限的定積分xf ( x)( f (t) dt )ax注：由此可看出來(x) a f (t) dt 是 f (x) 的一個原函數(shù)。而且變上限的定積分的自變量只有一個是 x 而不是 t9精選文庫（ 2）、牛頓萊布尼茲公式b設 f (x) 在 a,b 上連續(xù)， F ( x) 是 f (x) 的一個原函數(shù)， 則 a f ( x)dxF ( x) baF (b)F ( a)由牛頓公式可以看出，求定積分，本質上就是求不定積分，只不過又多出一步代入

19、積分上下限，所以求定積分也有四種方法?；痉e分公式第一換元積分法（湊微分法）第二換元積分法分部積分法5、 奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分（ 1）、若 f ( x) 在a, a 上為奇函數(shù)，則（ 2）、若f ( x) 在a,a 上為偶函數(shù)，則注：此方法只適用于對稱區(qū)間上的定積分。6、 廣義積分aaaaf ( x)0af ( x)2f ( x)dx0（1）無窮積分cabf ( x) dxlimaf (x)dxcf ( x)dxlimbf ( x)dxcccf ( x) dxf ( x)dxcf ( x)dx7、 定積分關于面積計算f (x)g( x)b面積 Saf (x)g( x) dx ，記

20、憶：面積等于上函數(shù)減去下函數(shù)在邊界a, b 上的定積分。dx( y)x( y)cd面積 S= c( y)( y) dy記憶方法：把頭向右旋轉90°就是第一副圖。10精選文庫8、 旋轉體體積（1）yf (x)abx曲線 f ( x) 繞 x 軸旋轉一周所得旋轉體體積： Vxb2af ( x) dx（2）、f (x)g( x)abx 軸旋轉一周所得旋轉體體積：b2x g 2 ( x) dx陰影部分繞繞Vxa f（ 3）、ydx( y)cxx ( y) 繞 y 軸旋轉一周所得旋轉體體積d2： Vy( y) dyc(4) 、ydx( y)x( y)cxy 軸旋轉一周所得旋轉體體積 : Vyd

21、2 ( y)2 ( y) dy陰影部分繞繞c11精選文庫（二）、直線與平面的相關考試內容一、二元函數(shù)的極限定義：設函數(shù) zf ( x, y) 在點 ( x0 , y0 ) 某鄰域有定義 （但 ( x0 , y0 ) 點可以除外） ，如果當點 ( x, y) 無論沿著任何途徑趨向于(x0 , y0 ) 時，zf (x, y) 都無限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱當點 ( x, y) 趨向于 (x0 , y0 )時， zf ( x, y) 以 A 為極限，記為limf ( x, y)A( x, y)( x0 , y0 )二、二元函數(shù)的連續(xù)性若 limf ( x, y)f ( x0 , y0 ) ，則

22、稱 zf (x, y) 在點 (x0 , y0 ) 連續(xù)。( x, y) ( x0 , y0 )注： zf ( x, y) 的不連續(xù)點叫函數(shù)的間斷點，二元函數(shù)的間斷點可能是一些離散點，也可能是一條或多條曲線。三、二元函數(shù)的偏導數(shù)zf x(x, y)limf ( xx, y)f ( x, y)xx 0xzf y( x, y)limf ( x, yy)f (x, y)yy 0y四、偏導數(shù)求法由偏導數(shù)定義可看出，對哪個變量求偏導就只把哪個變量當成自變量，其它的變量都當成常數(shù)看待。五、全微分： dzz dxz dyxy六、二元函數(shù)的連續(xù)、偏導、可微之間的關系二元函數(shù)可微，則必連續(xù)，可偏導，但反之不一定

23、成立。若偏導存在且連續(xù)，則一定可微。函數(shù) zf ( x, y) 的偏導存在與否，與函數(shù)是否連續(xù)毫無關系。七、二元復合函數(shù)求偏導設 zf (u, v),u( x, y), v(x, y) ，zzuzvzzuzv則uxvx，uyvyxy注：有幾個中間變量就處理幾次，按照復合函數(shù)求導處理。八、隱函數(shù)求偏導方程 F ( x, y, z)0 確定的隱函數(shù)為zf ( x, y) ，則對等號兩邊同時對x 求導，遇到 z 的函數(shù)，把 z 當成12精選文庫中間變量。第八講多元函數(shù)積分學知識點一、二重積分的概念、性質n1、f (x, y)dxdy limf (i ,i )i ，幾何意義：代表由f (x, y) ，

24、D 圍成的曲頂柱體體積。Dd0 i12、性質：（ 1）kf ( x, y)dxdykf (x, y)dxdyDD（ 2）f (x, y)g( x, y)dxdy =f (x, y)dxdy+g(x, y)dxdyDDD（ 3）、dxdyDD（4） DD1D2 ,f (x, y)dxdy=f ( x, y) dxdy +f ( x, y)dxdyDD1D2(5)若 f ( x, y)g( x, y) ，則f (x, y)dxdyg(x, y)dxdyDD（ 6）若 m f ( x, y)M , 則 mDf (x, y)dxdyMDD(7) 設 f ( x, y) 在區(qū)域 D 上連續(xù)，則至少存在一

25、點 (, )D ，使f (x, y)dxdy f ( , )DD二、計算（ 1） D: a x b, 1 ( x)y2 ( x)f (x, y)dxdyb2 ( x )f ( x, y) dyadx1( x )D（ 2） D： c y d, 1 ( y)x2 ( y) ，d2 ( x )Df ( x, y ) dxdycdy1 ( x ) f ( x, y ) dy技巧：“誰”的范圍最容易確定就先確定“誰”的范圍，然后通過劃水平線和垂直線的方法確定另一個變量的范圍（ 3）極坐標下：x r cos, yr sin, dxdyrdrdf ( x, y ) dxdydr (), r sin) rdr0f ( r cosD三、曲線積分1、第一型曲線積分的計算（ 1）若積分路徑為L ： y( x), axb ，則13精選文庫f ( x, y)ds =b1( x) 2 dxf ( x, ( x)La（ 2）若積分路徑為L ： x( y), cyd ，則f ( x, y)ds=d( y), y)1( y) 2 dyf (Lc（ 3）若積分路為L ：x(t )，t，則