函數(shù)及其圖像知識點

1、函數(shù)及其圖像知識點一、函數(shù)的概念、變量（自變量、因變量）、常量的概念。變量：在某一函數(shù)變化過程中，可以取不同數(shù)值的量，叫做變量。自變量：在某一函數(shù)變化過程中，主動變化的量的叫做自變量。因變量：在某一函數(shù)變化過程中，因為自變量的變化而被動變化的量叫做因變量。此時，我們也稱因變量是自變量的函數(shù)常量：在某一函數(shù)變化中，始終保持不變的量，叫做常量。練習：在函數(shù)中，自變量是 ，因變量是 ，常量是 ， 叫做 的函數(shù)。二、函數(shù)的三種表示方法：解析法：就是用一個函數(shù)關(guān)系式來表示函數(shù)變化規(guī)律。列表法：就是用一個數(shù)據(jù)表來表示函數(shù)變化規(guī)律。圖像法：就是用線性圖像來表示函數(shù)變化規(guī)律。三、函數(shù)自變量的取值范圍：函數(shù)自變

2、量取值范圍的確定如下表：函數(shù)解析式類型自變量取值滿足的條件應(yīng)用舉例整式全體實數(shù)（x為任意實數(shù)）分式分母不為零二次（偶次）根式被開方數(shù)非負四、平面直角坐標系：在平面上畫兩條原點重合、互相垂直且具有相同單位長度的數(shù)軸，這就建立了平面直角坐標系。水平的數(shù)軸叫做橫軸（x軸），取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做縱軸（y軸），取向上為正方向；兩條數(shù)軸的交點O叫做坐標原點。x軸和y軸將坐標平面分成四個象限（如圖）:五、平面內(nèi)點的坐標：（橫坐標，縱坐標）如圖：過點P作x軸的垂線段，垂足在x軸上表示的數(shù)是2，因此點P的橫坐標為 2 過點P作y軸的垂線段，垂足在y軸上表示的數(shù)是3，因此點P的縱坐標為 3 所以點P的坐

3、標為（2 , 3）六、平面內(nèi)特殊位置的點的坐標情況：（連線）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x軸上 y軸上（- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a） (b , 0)七、點的表示（橫坐標，縱坐標）注意：不要丟了括號和中間的逗號；表示的意思：當時，如點A（2，1） 表示：當時，注意軸上點的特征：即縱坐標等于0;軸上點的特征：即：橫坐標等于0。 概括：坐標軸上的點的橫坐標和縱坐標至少有一個為0。八、對稱點的坐標關(guān)系：關(guān)于x軸對稱的點：橫坐標 ，縱坐標 。關(guān)于y軸對稱的點：橫坐標 ，縱坐標 。關(guān)于原點對稱的點：橫坐標 ，縱坐標 。關(guān)于軸對稱_；關(guān)于軸對稱_；關(guān)于原點對

4、稱_思考：如何解決點關(guān)于y=x，y=-x對稱，以及點旋轉(zhuǎn)90°之后的坐標。九、數(shù)軸上的點和 是一一對應(yīng)的；在平面直角坐標系中的點和 也是一一對應(yīng)的。十、點到軸的距離為_；到軸的距離為_1、點（-3，2）到X軸的距離是 ，到Y(jié)軸的距離是 2、點P在第3象限，P到X軸的距離是4，到Y(jié)軸的距離是3，那么點P的坐標是 十一、點的平移：向上平移2格_；向下平移3格_；向右平移1格_；向右平移5格_（概括：左右平移改變的是橫坐標，上下平移改變的是縱坐標）十二、兩點之間的距離：在同一條水平上線上的時候：求A、B兩點之間的距離概括：A、B兩點之間的距離為：或當兩點不在同一水平上的時候，我們是通過構(gòu)造

5、直角三角形的方法來進行求解的，這就需要用到勾股定理的相關(guān)知識，同時也要用到中兩點在同一水平線上的時候，兩點之間的距離求法。A、B兩點之間的距離：A、 B兩點的中點坐標為：1、點A（0，2）與點B（0，-3）,則AB= 2、點A（2，0）與點B（-5，0）,則AB= 3、點A（2，3）與點B（3，2）,則AB= 十三、畫函數(shù)圖像通常用描點法，步驟是：列表、描點、連線三步。十四、如何根據(jù)解析式作圖，在作圖的過程中，我們應(yīng)該關(guān)注哪些方面確定的取值范圍，特別要小心有些情況下并不能取到所有的值，圖像也會受到一定的限制。初步判斷函數(shù)圖像的增、減性，來初步判斷函數(shù)應(yīng)該是上升的、還是下降的。判斷函數(shù)圖像是直線

6、、還是雙曲線（可以通過的指數(shù)來判斷，也可以通過變化速度是勻速的還是變速的來進行判斷）最后從函數(shù)與軸（未必一定會有）、軸的交點；以及極值點（未必一定會有）；對稱性（如原點對稱）；分段性；從而畫出比較準確的草圖。十五、點是否在函數(shù)圖像上：（其本質(zhì)就是判斷這個點所代表的的值是不是解析方程的解）如：判斷點是否在函數(shù)圖像上，即相當于是不是方程的解。或者說：當，是否會等于6。1、點（-3，2），（,）在函數(shù)的圖像上，則2、已知一次函數(shù)y=kx+5的圖象經(jīng)過點（1，2），則k= .十六、已知橫坐標求縱坐標、或者已知縱坐標求橫坐標：如：的圖像上 已知點A的橫坐標為2，點B的縱坐標為-4；求點A、B的坐標。解析

7、：A點相當于問你，當 時，；B點相當于問你：時，。十七、尋找與題意相符的函數(shù)圖像：QPRMN（圖1）（圖2）49yxO在矩形中，動點從點出發(fā)，沿方向運動至點處停止設(shè)點運動的路程為，的面積為，如果關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示，則當時，點應(yīng)運動到（ ）A處 B處 C處 D處十八、一次函數(shù)的定義：函數(shù)解析式是用自變量的一次整式表示的函數(shù)叫做一次函數(shù)。形如：特別的，當b=0時，一次函數(shù)也叫做正比例函數(shù)。十九、一次函數(shù)的圖像是一條 ，因此畫一次函數(shù)的圖像只需要取 個點。二十、函數(shù)圖像上的點：（注：點的橫坐標就是x的值，點的縱坐標就是y的值）已知點A（2，a）在一次函數(shù)上，則a= 。直線過點（ ，0）、（0，

8、 ）請你寫出直線上任意兩個點的坐標 。二十一、一次函數(shù)的性質(zhì)：由k值的正負來決定。K的取值代數(shù)性質(zhì)幾何性質(zhì)k>0y隨x的增大而增大函數(shù)的圖像從左到右是上升的K<0y隨x的增大而減小函數(shù)的圖像從左到右是下降的練習：已知點（x1，y1）和點（x2，y2）在函數(shù)的圖像上，且x1 >x2，那么y1 y2已知點（x1，y1）和點（x2，y2）在函數(shù)的圖像上，且y1>y2,那x1 x2 二十二、一次函數(shù)的圖像特征：由k、b的取值決定k的取值b的取值經(jīng)過象限圖像k>0b>0一、二、三b=0一、三b<0一、三、四k<0b>0一、二、四b=0二、四b<

9、0二、三、四練習：1、一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第 象限。2、直線過第一、二、四象限，則直線不經(jīng)過 象限。二十三、一次函數(shù)與y軸的交點坐標：（0，b）與x軸的交點坐標：（，0）練習：一次函數(shù)與y軸的交點坐標是 。一次函數(shù)與x軸的交點坐標是 。二十四、求兩個一次函數(shù)圖像的交點坐標：就是把這兩個一次函數(shù)的解析式組成方程組，得到一個二元一次方程組，解方程組便得到它們的交點坐標。練習：一次函數(shù)和的交點坐標是 二十五、一次函數(shù)的作圖：首先它的圖像是一條直線，而確定一點直線只需要兩個點，所以通常只要在直角坐標系中，描出兩個點并連接即可。通常的作法是：取與軸和軸的兩個交點。如：作函數(shù)的圖像 當時， 即為一次函數(shù)與軸

10、的交點坐標。當時，即為一次函數(shù)與軸的交點坐標。二十六、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式：設(shè)出要求的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)條件列出方程；解方程，從而得到所求的函數(shù)關(guān)系式。練習：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（-1,1）和點（1，-5），求這個一次函數(shù)的關(guān)系式。二十七、一次函數(shù)圖像的平移：例如：向上平移5個單位_；向下平移2個單位_備注：上下平移（值不變）向左平移1個單位_；向右平移2個單位_備注：左右平移（值不變）直線y=2x-3向下平移4個單位可得直線y=_, 再向左平移2個單位可得直線y=_二十八、一次函數(shù)與三角形：當b0時，一次函數(shù)的圖像與y軸的交點（0，b），與x軸的交點（，0）和原點（0,0）組成一

11、個直角三角形。這個直角三角形的面積練習：一次函數(shù)的圖像與y軸的交點A的坐標為（ ， ），與x軸的交點B的坐標為（ ， ），RtABO的面積等于 在解決面積問題中經(jīng)常用點，主要用于充當三角形的高。如下列求陰影部分的面積：二十九、直線之間的位置關(guān)系已知直線： 平行的充要條件：且 重合的充要條件：且 垂直的充要條件：三十、直線位置關(guān)系與方程組的解之間的關(guān)系兩直線相交說明方程組有唯一解；平行說明方程組無解；重合說明方程組有無窮多個解。如方程組的解為。則交點坐標為。三十一、反比例函數(shù)：反比例函數(shù)（共三種表示方式）： 其中更方便于求解解析式，而且也更容易應(yīng)該于判斷點是否在某個反比例函數(shù)圖像上。提醒：關(guān)于中

12、等于多少該如何判斷得引起大家的重視；如中的是多少呢？1、已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則m的值等于（ ）。A.±1 B.1 C. D.1 2、已知變量y與x成反比例，并且當x2時，y3。（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當y2時x 的值；三十二、正比例和反比例函數(shù)圖像均關(guān)于原點對稱。正比例函數(shù)反比例函數(shù)：經(jīng)過象限單調(diào)性草圖經(jīng)過象限單調(diào)性草圖一、三單調(diào)遞增一、三單調(diào)遞減二、四單調(diào)遞減二、四單調(diào)遞增越大，直線越陡越大，雙曲線離軸越遠正比例函數(shù)與反比例函數(shù)有交點的條件(如上圖所示)：反比例函數(shù)和正比例函數(shù)經(jīng)過相同的象限，即：、同號；或者說： 正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的兩個交點關(guān)于原點成中心對

13、稱：例如：已知一個正比例函數(shù)與一個反比例函數(shù)圖像其中一個交點的坐標為（2,3），則另一個交點的坐標為 ，這個正比例函數(shù)的解析式為 ，反比例函數(shù)的解析式為 。三十三、判斷函數(shù)圖像的正誤：xyCOxyDOxyBOxyAO1、當k>0時，反比例函數(shù)和一次函數(shù)y=kx-k的圖象大致為（ ）2、函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（   ）。 三十四、反比例有關(guān)的面積問題（圖7三角形AOB的面積有多種方法）三十五、函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系：指示：解決此類題目的關(guān)鍵在于，找到圖像的交點，并且理解交點的意思，之后再過交點作x軸的垂線，并且左右平移垂線，進行觀察。例1：畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像，指出：（1）取什么值時，函數(shù)值等于0（2）取什么值時，函數(shù)值大于0例2、如圖14，已知，是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求直線與軸的交點的坐標及的面積；(3)求方程的解（請直接寫出答案）；(4) 求不等式的解集（請直接寫出答案）；例3、如圖，直線與反比例函數(shù)（x<0）的圖像交點A、點B，與x軸相交于點C，其中點A的坐標為