二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)(吳作印)

1、二項(xiàng)式定理（一）教案設(shè)計(jì)貴州省高中數(shù)學(xué)李時(shí)建名師工作室吳作印一、教案設(shè)計(jì)1. 教案內(nèi)容解讀二項(xiàng)式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識(shí)的具體運(yùn)用，是學(xué)習(xí)后一章“隨機(jī)變量及其分布”的基礎(chǔ)。中學(xué)教材中的二項(xiàng)式定理主要包括：二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)，通項(xiàng)公式，楊輝三角，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等。通過(guò)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握“猜想- 歸納 - 論證”的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)在求展開(kāi)式、其通項(xiàng)、證恒等式、近似計(jì)算等方面形成技能；進(jìn)一步體會(huì)過(guò)程分析與特殊化方法等的運(yùn)用；二項(xiàng)式定理的證明是一個(gè)教案難點(diǎn)這是因?yàn)?，證明中符號(hào)比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)。本節(jié)課起到了承上啟下的作用，是對(duì)之前所學(xué)計(jì)數(shù)原理的鞏固，也是對(duì)之

2、后隨機(jī)變量及其分布（特別是超幾何分布）作鋪墊。而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開(kāi)，可以得到優(yōu)美的lim (11) n =e 2.718281n n2.學(xué)生學(xué)情分析二項(xiàng)式定理是初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法的繼續(xù)，它所研究的是一類(lèi)特殊的多項(xiàng)式，表現(xiàn)為二項(xiàng)式的乘方的展開(kāi)式，也是解決某些整除、近似計(jì)算等問(wèn)題的重要方法之一。學(xué)生在初中是以多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)為載體，從具體式子感知多項(xiàng)式的展開(kāi)。學(xué)生進(jìn)入高中一年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，在數(shù)學(xué)符號(hào)化、公理化、抽象化等方面得到了有效的鍛煉，邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法得到了訓(xùn)練，特別是，前一節(jié)學(xué)習(xí)了計(jì)數(shù)原理后，對(duì)該節(jié)課推導(dǎo)二項(xiàng)式定理奠定了基礎(chǔ)

3、。從學(xué)生現(xiàn)階段的思維特點(diǎn)分析，大部分學(xué)生解決 (a b) n 展開(kāi)式采用的是的不完全歸納法 ( 猜想 ) ，與初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式的展開(kāi)結(jié)合起來(lái)，從 (a b) 、 (a b) 2 、 (a b) 3 、 (a b) 4 的展開(kāi)式的形式特點(diǎn)等方面進(jìn)行類(lèi)比，教師可以因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法。然而， n 無(wú)窮大時(shí)，能保證展開(kāi)式恒成立嗎？3教案策略分析考慮到本節(jié)課要讓學(xué)生在以下幾個(gè)方面得到收獲：一是掌握二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過(guò)程（生長(zhǎng)性）；二是基礎(chǔ)知識(shí)，準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念（項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)、通項(xiàng)公式等），并能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法；三是“猜想證明歸納”的一般規(guī)律及方法。基于學(xué)生的認(rèn)知

4、基礎(chǔ)和現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)思維水平，故本節(jié)課從學(xué)生已有的認(rèn)知作為出發(fā)點(diǎn)，先讓學(xué)生計(jì)算234更有效的方法解決該問(wèn)題。采用了數(shù)學(xué)探究式教案模式組織教案，在解決簡(jiǎn)單具體問(wèn)題的基礎(chǔ)上，抽象出解決一般問(wèn)題的方法，讓學(xué)生親身經(jīng)歷“提出問(wèn)題解決問(wèn)題總結(jié)規(guī)律”，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)意識(shí)和習(xí)慣。更是設(shè)置“問(wèn)題串”，促進(jìn)學(xué)生深層次思考。在教案過(guò)程中，設(shè)置“ 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，因疑惑而激趣親身體驗(yàn)，探索新知合作探究，總結(jié)規(guī)律典型例題分析強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固提升”讓學(xué)生體會(huì)研究問(wèn)題的方式方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析概括的能力，以及化歸意識(shí)。教案中教師充分發(fā)揮主導(dǎo)作用，營(yíng)造民主、平等、和諧、積極的課堂氛圍，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生

5、學(xué)習(xí)的積極性，以數(shù)學(xué)問(wèn)題情境為立足點(diǎn)，為學(xué)生自主探索、合作交流提供足夠的時(shí)間和空間，放手讓學(xué)生獨(dú)立思考，大膽實(shí)踐，在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上主動(dòng)建構(gòu)。并由此獲得成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，踐行貴州師范大學(xué)呂傳漢教授“教思考，教體驗(yàn)，教表達(dá)”的理念。4教案目標(biāo)設(shè)置知識(shí)與技能：(1) 理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利組合思想證明二項(xiàng)式定理；(2) 能利用通項(xiàng)公式求某一項(xiàng)的系數(shù)。過(guò)程與方法：通過(guò)學(xué)生參與和探究二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識(shí)，合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式

6、定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔和嚴(yán)謹(jǐn)。教案重點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析(ab) 2 、 (ab)3 的展開(kāi)式，推導(dǎo)二項(xiàng)式定理；教案難點(diǎn)： 利用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開(kāi)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式形成單項(xiàng)式之和時(shí)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律。二、教案過(guò)程1. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，因疑惑而激趣教師：請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算下面兩個(gè)題：(ab)2? (ab)3?【教師巡視2分鐘，學(xué)生用初中多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)(ab)2a22abb2，(ab)3 =( ab)(ab)2(a b)( a22ab b2 ) 】教師：有的同學(xué)計(jì)算得很快哦，要不再來(lái)計(jì)算一個(gè)：(ab)4?【觀察學(xué)生反應(yīng)：只有少部分學(xué)生用初中方法埋頭苦干，大部分學(xué)生停下演算靜靜的思考 】【

7、說(shuō)明：學(xué)生 i (i1,2,3.) 表示預(yù)設(shè)學(xué)生可能回答或提出的問(wèn)題】學(xué)生 1： (ab)4 就是 4 個(gè) (ab) 相乘，計(jì)算有點(diǎn)麻煩，要算到什么時(shí)候去哦！學(xué)生 2：我們應(yīng)該尋求一個(gè)能代表這些式子的一個(gè)通式。學(xué)生 3：就像數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？教師：你能猜想 (ab)2016 的展開(kāi)式是什么嗎？【設(shè)計(jì)意圖： 鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想是教案生數(shù)學(xué)思考問(wèn)題的開(kāi)始，也許學(xué)生的猜想沒(méi)有道理，甚至是錯(cuò)誤的，但問(wèn)題意識(shí)的種子卻已在他們的頭腦生根，慢慢發(fā)芽 】教師：同學(xué)們，你們現(xiàn)在的困惑，就是牛頓當(dāng)年的困惑 那是 1664 年冬， 22 歲的牛頓在研讀沃利斯博士的無(wú)窮算術(shù)時(shí)，引發(fā)了許多思考 (ab)2? ( ab)3

8、? (ab)4? 都可以用初中多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)，如果你是牛頓，接下來(lái)會(huì)思考一個(gè)什么問(wèn)題呢？學(xué)生 4：研究這三個(gè)式子展開(kāi)式的規(guī)律，得到一般的規(guī)律。學(xué)生 5：一般情形下，當(dāng) nN 時(shí)， (ab)n 等于多少？教師：同學(xué)們很聰明啊，和偉大的牛頓當(dāng)年想的一樣啊。那么，研究規(guī)律的最終目的是想得到什么結(jié)論？今天，就讓我們沿著大數(shù)學(xué)家牛頓的足跡，重溫他探究、發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的過(guò)程。教師板書(shū)： 二項(xiàng)式定理： (ab)n?【設(shè)計(jì)意圖 】從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)設(shè)置問(wèn)題情境，在困惑中激發(fā)學(xué)生思考解決問(wèn)題方法，讓多數(shù)學(xué)生能動(dòng)手動(dòng)腦，不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的積極性。數(shù)學(xué)不是冰冷的美麗，她是來(lái)自

9、現(xiàn)實(shí)的火熱思考。問(wèn)題情境中滲透數(shù)學(xué)史，且緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)。（點(diǎn)評(píng)：與數(shù)學(xué)史情境有機(jī)結(jié)合，把學(xué)生帶入本課時(shí)學(xué)習(xí)主題。）2.親身體驗(yàn)，探索新知教師：接下來(lái)我們來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)該從哪里入手呢？學(xué)生 6：從上面的特殊情況入手，研究、發(fā)現(xiàn)它們展開(kāi)后的規(guī)律，再推廣到這種一般情況。學(xué)生 7：好像每一項(xiàng)都有 a,b ，只是系數(shù)不同。學(xué)生 8：不對(duì)！有一項(xiàng)只有a ，有一項(xiàng)只有 b 。教師：“從特殊到一般”是研究問(wèn)題的常用方法。同學(xué)們觀察得很仔細(xì)?。。A(yù)設(shè)：學(xué)生應(yīng)該能觀察出展開(kāi)式中項(xiàng)的規(guī)律，若觀察不出來(lái)，教師適當(dāng)點(diǎn)撥。）教師：記得剛才有同學(xué)說(shuō)，( ab)4 就是四個(gè) (ab) 相乘，剛才求得的展開(kāi)式是這樣

10、的： (ab) 4(ab)(ab)(ab)(ab)a44a3b 6a2b24ab3b4 。請(qǐng)思考問(wèn)題：展開(kāi)式中各種類(lèi)型的項(xiàng)是如何得到的？展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)是如何確定的？（點(diǎn)評(píng)：具有導(dǎo)向性的問(wèn)題能指引學(xué)生明確研究方向，教師做到了適時(shí)點(diǎn)撥）學(xué)生 9：分步計(jì)數(shù)原理：第一步，第一次取有兩種不同的方法；第二步，第二次取有兩種不同的方法，共四步，共有2416 項(xiàng)。學(xué)生 10：但是展開(kāi)式只有5 項(xiàng) 哦，合并同類(lèi)項(xiàng)了！【設(shè)計(jì)意圖 】考慮到所任教的學(xué)生是貴州省一類(lèi)示范高中的實(shí)驗(yàn)班，基礎(chǔ)較扎實(shí)，所以直接用課本 30 頁(yè)的探究作為該節(jié)課探究載體。教師確定研究方向后讓學(xué)生自主探究，留給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間。因?yàn)榻處熖?/p>

11、出的兩個(gè)問(wèn)題具有明顯的指向性，預(yù)設(shè)能夠讓學(xué)生回憶計(jì)數(shù)原理。若學(xué)生遇到困難，教師可以回到 (ab) 2 展開(kāi)式進(jìn)行點(diǎn)撥。【預(yù)設(shè)學(xué)生遇到困難，教師提示】(a b) 2(a b)( a b) 是 2個(gè) ( ab) 相乘，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，每個(gè)( ab) 再相乘時(shí)有兩種選擇，選a 或選 b ，而且每個(gè) ( ab) 中的 a 或 b 都選定后，才能得到展開(kāi)式的一項(xiàng)。于是，由分步乘法原理，再合并同類(lèi)項(xiàng)之前，(ab) 2 的展開(kāi)式有 4 項(xiàng)，而且每一項(xiàng)都是 a2k bk (k0,1,2) 的形式。每個(gè)都不取 b 的情況有 1 種，即 C20,即 a2前的系數(shù)為 C 20 ；恰有 1個(gè)取 b 的情況有 2種

12、，即 C21 ，即 ab 前的系數(shù)為 C21 ；恰有 2個(gè)取 b 的情況有 1種，即 C22，即 b2 前的系數(shù)為 C22 ；因此，(a b) 2(a b)(ab) a22abb2C20 a2C21 ab C22 b2【設(shè)計(jì)意圖】 預(yù)設(shè)當(dāng)學(xué)生思維遇阻時(shí)，降低難度，讓學(xué)困生體會(huì)展開(kāi)式的項(xiàng)及其各項(xiàng)系數(shù)的由來(lái)；引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)以及項(xiàng)的個(gè)數(shù)，這也為推導(dǎo) (ab)n 的展開(kāi)式提供了方法，使學(xué)生在后續(xù)的探究“法”。學(xué)生： 教師：同學(xué)們分析得不錯(cuò)。其實(shí)，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，( ab)4 展開(kāi)式的每一項(xiàng)都是從這四個(gè)括號(hào)中各任取一個(gè)字母相乘得到的。我們分析的結(jié)論是有五種不同類(lèi)型的項(xiàng)，第一類(lèi)

13、：四個(gè)括號(hào)都取a 相乘得到 a4 ；第二類(lèi)：三個(gè)括號(hào)都取 a ，一個(gè)括號(hào)取 b 得到 a 3b；第三類(lèi) ，第四類(lèi) 教師： A 同學(xué)，你具體分析 a3 b有哪幾種情形可以得到？它的系數(shù)4 又是如何確定的？學(xué)生 A ： a3 b是這四個(gè)括號(hào)中一個(gè)括號(hào)取b ，另三個(gè)括號(hào)取 a 相乘得到的，共有四種取法，所以系數(shù)為4。教師： A 同學(xué)回答得很好，觀察得很仔細(xì)，很好地回答了問(wèn)題，請(qǐng)坐！教師：接下來(lái)我們一起看其他情形。（教師多媒體動(dòng)畫(huà)演示）【設(shè)計(jì)意圖】 由比課本例題稍微難一點(diǎn)的具體問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生再思考，目的是讓學(xué)生找到二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)及其各項(xiàng)的系數(shù)，對(duì)于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)及時(shí)給予充分的表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì)。這個(gè)過(guò)程讓學(xué)生親

14、身經(jīng)歷了從“繁雜計(jì)算之苦”到領(lǐng)悟“分步乘法原理與組合數(shù)的簡(jiǎn)潔美”，這也是一個(gè)內(nèi)化的過(guò)程。（點(diǎn)評(píng)：教師 動(dòng)畫(huà)演示，加深學(xué)生對(duì)展開(kāi)式來(lái)龍去脈的理解，為合作探究作鋪墊。 ）預(yù)設(shè)：若學(xué)生還是觀察不出其規(guī)律，采取如下方式?？梢詾闅w納二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式作鋪墊。說(shuō)明： 教師分析 ( ab)2 展開(kāi)式每一項(xiàng)特征，并師生共同歸納出其表達(dá)式； (ab)3 ， (ab)4由學(xué)生獨(dú)立思考并展示。3.合作探究，總結(jié)規(guī)律教師：接下來(lái)我們要牛頓一樣的思考！問(wèn)題：一般情形下，當(dāng)n N 時(shí)， (a b)n 等于多少？【說(shuō)明】將學(xué)生分成 9 組，每組 7 人， 2 人負(fù)責(zé)展開(kāi)式書(shū)寫(xiě)并證明； 2 人負(fù)責(zé)歸納展開(kāi)式的特征； 3 人

15、負(fù)責(zé)展開(kāi)式的記錄、展示。目的是這樣分層提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。學(xué)生小組討論，歸納并總結(jié)。時(shí)間是8 分鐘。【多媒體展示】 (a b) nCn0 anC n1 a n 1bC nr an r b rC nn bn（1） 共有 n 1 項(xiàng)；（2） 二項(xiàng)式系數(shù)： C n0、 C n1 、 C n2 、 C nk 、 C nn ；（3）通項(xiàng)： Tr 1 C nra n rb r（4） 注意區(qū)分項(xiàng)，項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)這三個(gè)概念?！驹O(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)，加強(qiáng)師生、生生之間的交流。充分體現(xiàn)教師主導(dǎo)學(xué)生主體地位，學(xué)生深層次的參考與到課堂學(xué)習(xí)，成為課堂的主人，加深對(duì)所得結(jié)論的理解，培養(yǎng)學(xué)生自主、合作、交

16、流的能力；讓學(xué)生在探索過(guò)程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，做到呂傳漢教授提出的“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”?！締?wèn)題】各二項(xiàng)式系數(shù)之和是多少？即 C n0C n1C nrC nn?【教師點(diǎn)撥】（ 1 ） 將 二 項(xiàng) 式 定 理 左 邊 a、 b 都 賦 值 為 1 ， 得Cn0C n1C nrC nn2n ；（2）二項(xiàng)式定理給出了一個(gè)恒等式，即對(duì)兩項(xiàng)a 、 b 的一切取值都成立，因此對(duì)其特殊值也成立，賦值法是解決與二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)有關(guān)問(wèn)題的重要手段 。 在 二項(xiàng) 式定 理中令 bx ，那 么二 項(xiàng)式 定理 變成 一個(gè)關(guān)于 x 的 函數(shù)f ( x)(ax) na0a1 xa2 x2an xn 。所有各項(xiàng)

17、系數(shù)和就是f (1) ?！驹O(shè)計(jì)意圖】 適當(dāng)拔高，給學(xué)生提供思考的空間，好的數(shù)學(xué)問(wèn)題能點(diǎn)燃學(xué)生的激情，好奇心總能激發(fā)學(xué)生有效參與課堂學(xué)習(xí)。4. 典型例題分析例 1： 求 (2x1 )6 的展開(kāi)式.x【要求】 學(xué)生 4 分鐘自主完成，然后教師投影展示部分學(xué)生成果；預(yù)設(shè)：學(xué)生可能出現(xiàn)的兩種解法： 方法一：直接展開(kāi)；方法二：先化簡(jiǎn)后展開(kāi)。重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)方法二，先通分化簡(jiǎn)，再運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，降低計(jì)算難度。【追問(wèn)】 例題中的第二項(xiàng)，第二項(xiàng)系數(shù)，第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是多少？（點(diǎn)評(píng)：方法的優(yōu)化有助于解決問(wèn)題的“精、準(zhǔn)、簡(jiǎn)”，不斷的追問(wèn)強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)容易混淆知識(shí)點(diǎn)理解）5. 強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固提升A組基礎(chǔ)題（1）求

18、( pq) 7 的展開(kāi)式；（2）求 (12 x) 7 的展開(kāi)式的第 4 項(xiàng)的系數(shù)；1 93（3）求 (x) 的展開(kāi)式中 x 的系數(shù)；（4）求 (x 32x) 7 的展開(kāi)式的第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；【設(shè)計(jì)意圖】 設(shè)置題目由淺入深，面向全體學(xué)生，鞏固新知，把課本例題2 安排在訓(xùn)練題組中。B組提升題（ 1）若 ( xa ) 9 的展開(kāi)式中x3 的系數(shù)是84 ，則ax（ 2）求( x1)(x2)( x3)(x4)( x5) 的展開(kāi)式中含x4 項(xiàng)的系數(shù)為.【設(shè)計(jì)意圖】 設(shè)置問(wèn)題在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，跳一跳，夠得著。知識(shí)的靈活運(yùn)用，對(duì)所學(xué)新知識(shí)點(diǎn)有效提升。三、歸納總結(jié)（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)？（2）你掌握了哪些學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法？【設(shè)計(jì)意圖 】師生共同就上述問(wèn)題進(jìn)行討論、交流、總結(jié)，讓學(xué)生充分發(fā)表自己的意見(jiàn)。學(xué)生自己總結(jié)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，加深理解。四、作業(yè)布置P37 習(xí)題 A 組第 2 題（ 2）；第 4 題（ 2）（ 3）；第 5 題。五、教案反思1、 教案設(shè)計(jì)中，設(shè)置了“創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，因疑惑而激趣親身體驗(yàn)，探索新知合作探究，總結(jié)規(guī)律典型例題分